Đề tài Ứng dụng của đạo hàm khi giải phương trình, bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị : TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN Mã số : .. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện : VŨ NGỌC HÒA Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý Giáo dục: 1 Phương pháp dạy bộ môn 1 Phương pháp giáo dục: 1 Lĩnh vực khác 1 Có đính kèm: 1 Mô hình 1 Phần mềm 1 Phim ảnh 1 Hiện vật khác Năm học : 2011 – 2012 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN Mã số : .. SẢN PHẨM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện : VŨ NGỌC HÒA Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục: 1 Phương pháp dạy bộ môn 1 Phương pháp giáo dục: 1 Lĩnh vực khác 1 Có đính kèm: 1 Mô hình 1 Phần mềm 1 Phim ảnh 1 Hiện vật khác Năm học : 2011 – 2012 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I- THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN : Họ và tên: VŨ NGỌC HÒA Ngày tháng năm sinh: Ngày 30 tháng 7 năm 1967 Nam, Nữ: Nam Địa chỉ : P2 KP6A, tổ 14, phường Tam Hiệp , TP Biên Hòa Điện thoại: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0907185797 Fax : Email: ngochoa9630@yahoo.com Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Trấn Biên II -TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: ĐHSP Năm nhận bằng : 1995 Chuyên ngành đào tạo: Toán học III- KINH NGHIỆM KHOA HỌC: Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán Số năm có kinh nghiệm: 26 Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1.Sai lầm của học sinh khi giải toán 2.Dùng lượng giác để giải bất đẳng thức 3.Môt số kinh nghiệm dạy hình học không gian SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Trấn Biên CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc Biên Hòa, ngày 20 tháng 5 năm 2012 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học : 2011 – 2012 Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Họ và tên tác giả: VŨ NGỌC HÒA Đơn vị (tổ) : Toán Lĩnh vực : Quản lý giáo dục 1 Phương pháp dạy học bộ môn 1 Phương pháp giáo dục 1 Lĩnh vực khác . 1 Tính mới Có giải pháp hoàn toàn mới 1 Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 1 Hiệu quả Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả 1 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 1 Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 1 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 1 Khả năng áp dụng : Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt 1 Khá 1 Đạt 1 Đưa ra các giải pháp kiến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt 1 Khá 1 Đạt 1 Đã được áp dụng thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt 1 Khá 1 Đạt 1 XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên và ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu) A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lí do chọn đề tài Trong các đề thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi ta thường gặp các bà toán giải phương trinh, bất phương trinh đôi khi có chứa cả tham số. Đối với nhiều học sinh công việc này không hề đơn giản ! Đề tài : “ Ứng dụng của đạo hàm khi giải phương trình và bất phương trình” giúp học sinh giải quyết vấn đề trên II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh giải quyết các bài toán phương trình bằng cách ứng dụng giải tích giải quyết các bài toán đại số III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương trình, bất phương trình, giới hạn, đạo hàm, tính đơn điệu của hàm số - Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần:đạo hàm, giới hạn, sự liên tục ,phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit. IV. Kế hoạch nghiên cứu Từ đầu năm học 2011 đến hết năm học 2012, nhất là đầu năm học lớp 12 khi học sinh học về đạo hàm, tính đơn điệu V. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp được sử dụng nhiều ở đây là Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp. VI. Bố cục của đề tài Gôm hai phần chính: Phương trình, bất phương trình không chứa tham số. Phương trình, bất phương trình chứa tham số. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.Tính đơn điệu của hàm số Cho hàm số có đạo hàm trên D. Nếu thì hàm số đồng biến (tăng) trên D. Nếu thì hàm số nghịch biến (giảm) trên D. (Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D) Nếu hàm tăng (hoặc giảm) trên khoảng thì phương trình có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Nếu hàm tăng ( giảm) trên khoảng thì ta có. Nếu hàm tăng trên khoảng (a;b) thì ta có Nếu hàmgiảm trên khoảng (a;b) thì ta có Nếu hàm tăng và là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng Nếu hàm số liên tục trên và thì tồn tại ít nhất một điểm để . Nếu hàm số đơn điệu và liên tục trên và thì tồn tại duy nhất một điểm để . Nếu là hàm số đồng biến thì đồng biến , (với là nghịch biến , nghịch biến Tổng các hàm đồng biến trên D là đồng biến trên D. 2. Giải phương trình, bất phương trình (không chứa tham số) Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: , nhẩm một nghiệm Chứng minh đồng biến (hoặc nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất. Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: nhẩm một nghiệm Chứng mimh đồng biến còn nghịch biến hoặc hàm hằng thì phương trình có nghiệm duy nhất. Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạngchứng minh f đơn điệu khi đó Đối với bất phương trình thì biến đổi về dạng , chứng minh f đơn điệu, kết luận. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Nhận xét: Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng . Từ đó suy ra vế trái là hàm đồng biến ,vế phải bằng 1 là hàm hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu. Giải Điều kiện: . Đặt . Ta có . Do đó hàm số đồng biến trên , nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Hơn nữa, nên là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải Điều kiện: . Đặt Ta có . Do đó hàm số đồng biến trên . Mà nên là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình sau: (1) Giải Đặt Ta có: Do đó hàm số đồng biến. Mà Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Ví dụ 4: Giải phương trình : Giải Điều kiện: Đặt Ta có Suy ra hàm số đồng biến trên . Mà nên là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 5 : Giải phương trình : (1) Giải Điều kiện: Khi đó, (1) Xét hàm số trên Ta có Do đó hàm số đồng biến trên . Mà nên là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 6: Giải phương trình Giải Điều kiện: Phương trình được viết lại Phương trình có nghiệm thì . Xét hàm số với Ta có . Do đó hàm số dương và cùng đồng biến trên .Suy ra đồng biến trên . Mà nên là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 7 : Giải phương trình Giải Điều kiện: Xét hàm số trên Ta có . Do đó hàm số đồng biến trên . Mà Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 8. Giải phương trình Giải Phương trình được viết lại (1) Xét hàm số trên . Ta có. Do đó hàm số đồng biến trên . Từ (1). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là . Ví dụ 9: Giải phương trình Giải Nhận xét: nên khi thì phương trình vô nghiệm. Viết phương trình về dạng Xét hàm số trên . Ta có . Do đó hàm số nghịch biến trên . Mà nên là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 10: Giải phương trình : (1) Giải Xét hàm số Khi đó phương trình (2) chính là phương trình . Ta có nên hàm số đồng biến trên . Do đó từ . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : . Ví dụ 11: Giải phương trình : . Giải Đặt . Khi đó phương trình đã cho trở thành (1) Xét hàm số ta có nên hàm số đồng biến khi . Do đó từ (1) ta có Vậy nghiệm của phương trình đã cho là . Ví dụ 12: Giải phương trình: (1) Giải Điều kiện: Đặt Khi đó (1) (2) Xét hàm số Hàm số này là tổng của hai hàm đơn điệu giảm nên là hàm đơn điệu giảm. Hơn nữa nên (2) . Ví dụ 13: Giải phương trình : (1) Giải Biến đổi (1) (*) Xét hàm số . Ta có . Do đó hàm số đồng biến . Từ (*) . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là Ví dụ 14: Giải phương trình Giải Ta có (*) Xét hàm số trên . Ta có Suy ra hàm số đồng biến. Từ (*) Vậy phương trình có nghiệm là Ví dụ 15: Giải phương trình Giải Ta có (*) Xét hàm số trên . Ta có . Suy ra đồng biến trên . Từ (*) Vậy phương trình có nghiệm là . Ví dụ 16 : Giải phương trình : Giải Điều kiện: Ta có .(*) Xét hàm số trên . Ta có Do đó hàm số đồng biến trên . Từ (*) Vậy nghiệm của phương trình là . Ví dụ 17: : Giải phương trình : Giải Phương trình được viết lại (1) Xét hàm , suy ra đồng biến trên Do đó (1) Ví dụ 18: Giải bất phương trình Giải Điều kiện: Xét hàm số trên . Ta có nên hàm số đồng biến trên . Mặt khác . Do đó bất phương trình Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là . Ví dụ 19: Giải bất phương trình (*) Giải Điều kiện: Xét hàm số trên . Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên . Mà nên bất phương trình Kết hợp với điều kiện thì nghiệm của bất phương trình đã cho là . Ví dụ 20: Giải bất phương trình: Giải Điều kiện: Đặt ta có Khi đó, bất phương trình: (*) Xét hàm số Hàm số này là tổng của hai hàm đơn điệu giảm nên là hàm đơn điệu giảm. Hơn nữa nên từ (*) . Với ta có . Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là . Ví dụ 21: Giải bất phương trình (*) Giải Điều kiện: Bất phương trình (*) được viết lại dưới dạng Xét hàm số trên . Do trên nên hàm số đồng biến trên . Mà nên . Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là . Qua các ví dụ về giải phương trình và bất phương trình trên thì ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu của hàm số hay và tự nhiên Bài tập rèn luyện Giải các phương trình, bất phương trình sau: 3. Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hàm số liên tục trên tập 1. Phương trình có nghiệm 2. Bất phương trình có nghiệm 3. Bất phương trình có nghiệm đúng với 4. Bất phương trình có nghiệm 5. Bất phương trình có nghiệm đúng với PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm ta làm như sau: 1. Biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng ( hoặc ) 2. Tìm tập xác định của hàm số 3. Lập bảng biến thiên của hàm số ở trên 4. Tìm 5. Vận dụng các kiến thức cần nhớ bên trên suy ra giá trị m cần tìm Lưu ý: Trong trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa các biểu thức phức tạp ta có thể đặt ẩn phụ: + Đặt ( là hàm số thích hợp có mặt trong ) + Từ điều kiện ràng buộc của ta tìm điều kiện + Ta đưa PT, BPT về dạng ( hoặc ) + Lập bảng biến thiên của hàm số ở trên + Từ bảng biến thiên ta suy ra kết luận của bài toán MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt Giải: Xét phương trình Do , phương trình này vô nghiệm. Nghĩa là không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm +. Ta xét hàm số trên tập Ta có với , suy ra hàm số đồng biến trên ; x f’(x) f(x) 0 + + Ta có bảng biến thiên của hàm số Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên miền Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc Giải: Đặt . Khi đó bất phương trình trở thành: (*) Ta có Ta có bảng biến thiên : x t’ t 0 + 1 0 1 2 Từ đó ta có , từ (*) suy ra (1) Xét hàm số trên tập Ta có với t f’(t) f(t) 1 + 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số Bất phương trình đã cho có nghiệm bất phương trình có nghiệm Ví dụ 3.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt Giải Điều kiện: Xét hàm số trên tập Ta có Ta cóvới Ta có bảng biến thiên x f’(x) f(x) 0 + 6 2 0 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên miền Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt: Giải Điều kiện: do . Ta có: Nhận thấy phương trình đã cho luôn có 1 nghiệm , để chứng minh khi phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt ta cần chỉ ra phương trình luôn có một nghiệm thực khi Xét hàm số trên Ta có với x f’(x) f(x) 2 + 0 Ta có bảng biến thiên của hàm số Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên miền Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra khi thì phương trình (*) luôn có nghiệm Vậy với thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm thực phân biệt Ví dụ 5. Tìm m để phương trình có nghiệm thực Giải Vì nên TXĐ: Xét hàm số trên Ta có: Thay vào phương trình (*) được: 1 = - 1. Vậy phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra chỉ mang 1 dấu (không đổi dấu), có Ta có x f’(x) f(x) - + -2 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm Ví dụ 6. Tìm m để hệ có nghiệm thực Giải Ta có: . Hệ phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm có nghiệm Đặt Ta có Ta có bảng biến thiên : x f’(x) f(x) -1 + 4 -4 2 0 2 0 0 16 có nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm Ví dụ 7. Tìm m để phương trình có nghiệm: Giải Ta có Đặt , Khi đó: Phương trình trở thành: Xét hàm số trên tập Ta có: Ta có bảng biến thiên: t f’(t) f(t) - -1 -1 1 0 0 + 1 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình có nghiệm thực Giải Đặt . Khi đó bất phương trình trở thành: (*) Xét hàm số trên Ta có: , t f’(t) f(t) 0 0 + 0 Ta có bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình (1) có nghiệm thực bất phương trình (*) có nghiệm Ví dụ 9. Tìm m để phương trình có nghiệm thực Giải Điều kiện: (1) Đặt , khi đó phương trình (1) trở thành: (*) Ta có và , vậy Xét hàm số trên Có Ta có bảng biến thiên của hàm số t f’(t) f(t) 0 -1 0 1 0 + Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên miền Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm thực Ví dụ 10. Tìm m để phương trình có nghiệm thực Giải Điều kiện: Đặt Ta có: với x t’ t -1 - 3 3 8 0 + Ta có bảng biến thiên: Từ đó dẫn đến Có , Phương trình đã cho trở tành: Xét hàm số trên tập Ta có: với , Ta có bảng biến thiên của hàm số t f’(t) f’(t) f(t) 3 6 + Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên Vậy phương trình có nghiệm CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực Tìm m để hệ phương trình có đúng một nghiệm thực Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi Tìm m để phương trình có nghiệm thực Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt Tìm m để phương trình có nghiệm thực Tìm m để phương trình có đúng 7 nghiệm thuộc Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm C. KẾT LUẬN Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn ôn thi, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để giải phương trình, bất phương trình , làm bài có những lập luận chặt chẽ hơn trong những tình huống giải phương trình, bất phương trình. Mặc dù sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách giáo khoa, nên để giải quyết các bài toán đó cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số. Đề tài này chỉ giới thiệu cách giải một số phương trình, bất phương trình Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian có hạn, rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường. Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông. Giúp các em học sinh có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp. Người thực hiện Vũ Ngọc Hòa Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa môn Toán 10, 11, 12. Sách bài tập môn Toán 10, 11, 12. Chuyên đề nâng cao Đại số THPT – NXB GD của Phạm Quốc Phong. Khảo sát nghiệm phương trình – NXB GD của Lê Hoành Phò. Hàm số - NXB GD của Phan Huy Khải. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.