Đề tài Ứng dụng của phương pháp toạ độ

ứng dụng của phương pháp toạ độ Đặt vấn đề 1. Lý do chọn chọn đề tài: Trong quá trình giảng dạy toán tôi nhận thấy phương pháp toạ độ chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán ở bậc học PTTH. - Học sinh thường chỉ sử dụng phương pháp toạ độ để giải các bài toán trong hình học giải tích hoặc dùng phương pháp toạ độ để khảo sát hàm số, các emcòn ngờ rằng đây là một phương pháp rất hay, bằng việc khai thác triệt để các tính chất hình học tiềm ẩn trong một số các bài toán ta có thể giải quyết những khó khăn mà khi giải bằng phương pháp khác có thể gặp phải. - Phương pháp toạ độ cho phép ta không những giải được các bài toán hình học mà còn có thể giúp ta giải được một số bài toán: Số học, đại số, tổ hợp và suy luận lôgíc một cách dễ dàng, trực quan, tránh được cả những lý luận dài dòng và thoát ra khỏi những ảnh hưởng không có lợi cho trực giác. 2. Mục đích: - Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ xin phép được trình bày một số ứng dụng của phương pháp này để giải một số bài, dạng toán đại số về bất phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, và hệ phương trình mà học sinh PTTH thường gặp. - Và mục đích giúp các em hiểu thêm về phương pháp này. Và từ đó có thể giải quyết được những khó khăn gặp phải khi làm toán. I) Phương pháp toạ độ để giải bất phương trình - hệ bất phương trình chứa tham số: a) Cơ sở lý thuyết: Xét bất phương trình: f(x) < g(x) (1) TXĐ: D ã Ta đã biết: Gọi S là tập nghiệm ị S = {x0 ẻ D ẵ f(x0) < g(x0)} ã Phương pháp toạ độ: Å Bước1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đồ thị: y = f(x) và g(x) Å Bước2: Tìm những phần đồ thị: y = f(x) nằm dưới đồ thị: y = g(x) Å Bước3: Tìm hình chiếu của phần đồ thị đó trên trục Ox giao của nó với tập xác định D chính là nghiệm của bất phương trình (1) ã Chẳng hạn: cần giải: f(x) < g(x) (1) đồ thị: y = f(x), y = g(x) có dạng như hình vẽ : x y x1 x2 x3 Khi đó nghiệm của bất phương trình là: ã Nhận xét trên Oxy: y = m là đường thẳng // Ox hoặc º Ox. 1/ Bất phương trình: có nghiệm Û 2/ Bất phương trình: có nghiệm Û 3/ 4/ VD: Xác định m để: có nghiệm Bài giải: TXĐ: D = [-3; 6] Cách1: Đặt: t = ị t' = x -Ơ -3 6 -Ơ t' + 0 - t 3 3 3 Vậy: -3 Ê x Ê 6 thì: 3 Ê t Ê 3 ị t2 = 9 + 2 ị = Bài toán trở thành: Xác định m để: t2 -2t ³ 9 - 2m có nghiệm t ẻ Cách1: Ta có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai Bằng cách: Xét f(t) = t2 - 2t + 2m - 9 TH1: D' Ê 0 Û 1 - 2m + 9 Ê 0 t2 t1 Û m ³ ị f(t) ³ 0 "t ẻ R ị bất phương trình (1) có nghiệm "t ẻ TH2: Nếu Û KL: Vậy với m ẻ [3; +Ơ) thoả mãn Cách2: Bằng phương pháp toạ độ: Xét: f(t0 = t2 - 2t Trên Ta có: f'(t) = 2t - 2 = 0 Û t = 1 ẽ f(3) = 3 f > 3 ị Û 18 - 6 ³ 9 - 2m Û 3 ³ 9 - 2m Û 2m ³ 6 Û m ³ 3 ã Xét bất phương trình 1 ẩn chứa tham số m: Å Bước1: Vẽ hệ trục Oxm (coi m như biến tung độ) Giả sử S là miền biểu diễn các điểm: (x, m) thoả mãn (1), (2). Khi đó ta có định lý: a là một giá trị của tham số m để hệ (1) - (2) có nghiệm Û m = a bằng miền S CM: (ĩ) Giả sử m = a cắt S tức $ (x0;a) ẻ S: Vậy x0 là nghiệm của hệ (1), (2) (ị) Giả sử hệ có nghiệm tức $x0 ẻ D: Theo định nghĩa ị (x0, a) ẻ S nghĩa là m = a cắt (S) Định lý trên là một cơ sở cho việc giải và biện luận bài toán chứa tham số trong đó trao đổi biến tham số m thành 1 ẩn của bài toán mới. VD: Tìm m để hệ: có nghiệm ã Nhận xét: với yêu cầu của bài toán. Việc ? bằng phương pháp đại số thuần tuý gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên nếu vận dụng phương pháp toạ độ thì ta được lời giải gọn gàng thuận lợi hơn nhiều. II) Phương pháp toạ độ để giải phương trình - hệ phương trình: 1/ Cơ sở lý luận: ĐL: Giải sử hàm số f(x) lt trên D ã Nếu $ và . Khi đó phương trình: f(x) = m có nghiệm Û Ê m Ê ã Nếu: hàm số f(x) có tập giá trị là Thì phương trình: f(x) = m có nghiệm Û f(a) < m < f(b) VD: 1/ Xác định m để: có nghiệm? 2/ Xác định m để: (x - 1)2 = 2ẵx - mẵ có 4 nghiệm phân biệt Bài giải: Hệ (I) Û Các điểm M(x; y) thoả mãn hệ (1), (2), (3) được biểu diễn bằng miền gạch trên hình vẽ: áp dụng định lý (2) suy ra hệ (1), (2), (3) có nghiệm Û 1 Ê m Ê 3. NX: Nếu bài toán trên có thể yêu cầu Giải và biện luận theo m. x2 - 6x + m2 - 2m + 6 Ê 0 với 1 Ê x Ê 3 và m ³ x Ta đi đến kết luận: bất phương trình vô nghiệm m=3 bất phương trình có nghiệm x = 3 m = 1 bất phương trình có nghiệm x = 1 1 < x < 3 bất phương trình có nghiệm 1 < x < 3 VD: Cho hệ Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất Bài giải: Ta có hệ (1), (2) Û Cách1: ã nếu m < 0 thì hệ vô nghiệm ã nếu m = 0 khi đó: Û vô nghiệm ã Nếu m > 0 vẽ trên hệ trục Oxy đường tròn: O1(0, -1) bán kính R1 = đường tròn: O2(-1; 0) bán kính R2 = y Bài toán trở thành xác định m để O x (O1) tiếp xúc ngoài với (O2) Û R1 + R2 = O1O2 Û Û a = Cách2: Học sinh thường làm bài này bằng phương pháp điều kiện cần và đủ: ã Điều kiện cần: Giả sử hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x0, y0) ị (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ . Hệ có nghiệm duy nhất ị x0 = y0 Thay vào (1) ta được: 2x0 + 2x0 + 1 - a Ê 0 D' = 1 - 21 - a = -1 + 2a có nghiệm duy nhất Û D = 0 Û a = ã Điều kiện đủ: Khi a = hệ có dạng: ị x2 + (x + 1)2 + (y + 1)2 + y2 Ê 1 (3) Nhận thấy (3) là hệ quả của hệ (1) (2) Û Û Do (3) có nghiệm duy nhất: Nên hệ (1) (2) có nhiều nhất là một nghiệm Thử lại ta thấy: thì thoả mãn hệ (1), (2) Vậy khi a = hệ có nghiệm duy nhất: Nhận xét: Nếu bài toán yêu cầu gải và biện luận theo m thì việc sử dụng phương pháp dại số gặp rất nhiều khó khăn. Suy ra nếu vận dụng phương pháp toạ độ Phần I: Cơ sở lý thuyết của phương pháp toạ độ $1. Kiến thức cơ bản 1. Toạ độ của các điểm và toạ độ của véctơ 2. Trên mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ dềcác vuông góc Oxy. Giả sử điểm A(x1, y1) B(x2; y2) Khi đó Độ dài 3 điểm A, B, C bất kỳ : ã ã Dấu " = " xảy ra Û cùng hướng Û cùng hướng hoặc 1 véctơ là ° Giả sử: . = x1x2+ y1y2 và . = ẵẵ.ẵẵ.cos(,), ^ Û . = 0 ị . Ê ẵẵ.ẵẵ Dấu "=" xảy ra Û , cùng phương hoặc có một véctơ là cùng phương Û $k: = k 2) Trong không gian: Với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz Giả sử: A(x1, y1, z1) B(x2, y2, z2) Khi đó: = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) ã ã M(x, y, z) chia AB theo tỷ số k Û k ạ -1 ã = (x1; y1; z1) = (x2; y2; z2) ° cùng phương Û $k: = k ° . = x1x2 + y1y2 + z1z2 ° cos(, ) = ° ^ Û . = 0 ° Tích hữu hướng của . KH: [, ] [, ] = ẵẵ.ẵẵsin(, ) ° = (x1; y1; z1) = (x2; y2; z2) = (x3; y3; z3) đồng phẳng Û [,] = 0 ° Gọi d là khoảng cách từ M0(x0; y0; z0) đến D: Ax + By + Cz + D = 0 ị d = 3. Miền trên mặt phẳng toạ độ xác định bởi phương trình, bất phương trình, hệ phương trình a) Trên mp Oxy. Ta biết rằng " đường thẳng d: ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) Chia mặt phẳng toạ độ ra làm 2 phần S1 = {(x;y): ax + by + c > 0} S2 = {(x;y): ax + by + c > 0} trong thực tế để xác định được ta chỉ cần xét dấu của f(x; y) = ax + by + c tại 1 điểm trên 1 miền nào đó. ã NX: 1/ Sau khi xét dấu trên trên 1 miền ta suy ra được dấu của miền còn lại 2/ Để việc xác định dấu của 1 miền đơn giản ta thường chọn miền có chứa gốc toạ độ O(0; 0) hoặc miền có chứa điểm có toạ độ "đẹp" ã Chẳng hạn: VD1: Xét đường thẳng: y - x + 1 = 0 Trên hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy Vẽ đường thẳng d: x - y + 1 = 0 d đi qua A(-1; 0) B(0; 1) VD2: Biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ miền nghiệm S của hệ: (I) Giải: Trên hệ trục toạ độ Đêcác Oxy ã Xác định miền nghiệm S1 = {(x;y): y + 1 ³ 0} S2 = {(x; y): x+ y + 1 ³ 0} S3 = {(x; y): x - y + 3 Ê 0} Khi đó miền nghiệm của hệ (I) là S S = S1 ầ S2 ầ S3 được biểu diễn bằng miền DABC gạch chéo kể cả biên b) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy đường tròn tâm I(a; b): (x - a)2 + (y - b)2 = R2 Khi đó S1 = S2 = là những điểm nằm trong (O) ã Tổng quát: Đường cong y = f(x) chia mặt phẳng toạ độ ra làm 2 phần: S1 = S2 = Do y = f(x) liên tục nên ta cần xét dấu tại 1 điểm M0(x0, y0) trên 1 miền từ đó suy ra dấu của y = f(x) trên 1 miền còn lại VD3: Giải hệ phương trình: (I) Giải: Trên hệ trục toạ độ Đềcác Oxy ã Xác định miền nghiệm S1 = ã Xác định miền nghiệm S2 = Nhận thấy: x2 + y2 - 2x + 2y - 2 = 0 A B y x Û (x - 1)2 + (y + 1)2 = 4 là phương trình đường tròn tâm I(1; -1) bán kính R = 2 như trên hình vẽ I Từ đó suy ra: miền nghiệm của hệ (I) là S thì S = S1 ầ S2 là tam giác cong AOB gạch chéo kể cả biên ã NX: Bằng phương pháp toạ độ ta có thể giải được nhiều bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình một cách đơn giản trực quan và ngắn gọn và rất hữu hiệu. Đặc biệt là 1 số bài toán định tính như: ° Biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất ° Xác định tham số để phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có nghiệm $2. Vận dụng cơ sở lý thuyết để giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình I) Phương pháp toạ độ khảo sát phương trình đại số: Cơ sở lý luận: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) xác định trên D 1/ Trên hệ trục Đềcác vuông góc Oxyvẽ 2 đồ thị: y = f(x) (C1) v à y = g(x) (C2) thoả mãn D Khi đó hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) thoả mãn D là nghiệm của phương trình (1) 2/ Nếu: f(x) = m có TGT: (a; b) và VD: Giải phương trình: 2x = 6 - x (1) Giải Cách1: Trên hệ trục toạ độ Oxy vẽ y = 2x (C) và (d): y = -x + 6 Nhận thấy (C) ầ (d) tại M(2; 4) duy nhất KL: phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2 Cách2: Bằng cách khác và (d): y = -x + 6 Nhận thấy (C) ầ (d) tại M(2; 4) duy nhất KL: phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2 Cách2: Bằng cách khác Nhận thấy: x = 2 thì VT = 2x = 4 VP = 6 - x = 4 ã x = 2 là nghiệm ã Nếu x > 2 thì không thoả mãn Vậy phương trình (1) không có nghiệm x > 2 ã Nếu x < 2 thì không thoả mãn Vậy phương trình (1) không có nghiệm x < 2 ã KL: Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2 NX: ° Khi giải bằng phương pháp này học sinh cần lưu ý: đồ thị hàm số đồng biến và đồ thị hàm số nghịch biến nên cách nhau thì cắt tại 1 điểm duy nhất ° Đồ thị hàm số nghịch biến hoặc đồng biến với đồ thị hàm số không đổi nếu cắt nhau thì cũng cắt tại điểm duy nhất Dựa vào nhận xét này: ta có thể đoán nhận ra nghiệm của f(x) = g(x) Sau đó chứng minh duy nhất Tuy nhiên nếu bài toán có nhiều nghiệm (tức là f(x) = g(x) có nhiều nghiệm) thì phương pháp trên bó tay. Nhưng phương pháp toạ độ vẫn có thể giải quyết được. Chẳng hạn: VD: Giải phương trình: 2x = Giải: Ta thấy (C) cắt (d) tại A B(a, 1) Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt Vẽ (C): y = 2x và d: y = trên cùng một hệ trục Rõ ràng việc áp dụng phương pháp toạ độ cho ta lời giải rõ ràng ngắn gọn trực quan. Đặc biệt là những bài có chứa tham số VD3: Giải và biện luận phương trình: x4 + 2x2 + 3 - m = 0 Giải: Cách 1: Đặt t = x2 ³ 0 Bài toán trở thành giải và biện luận theo m số nghiệm t ³ 0 của: t2 + 2t + 3 -m =0 ã TH1: Nếu P = 3 - m = 0 Û m = 3 phương trình (2) có 2 nghiệm thoả mãn ị phương trình (1) có nghiệm x = 0; x = ±1 ã TH2: Nếu P = 3 - m 3 phương trình (2) có nghiệm t1 < 0 < t2 ị phương trình (1) có 2 nghiệm pb: x = ± ã TH3: Nếu: phương trình (2) có 2 nghiệm 0 < t1 Ê t2 ị phương trình (1) có 4 nghiệm: x1, 2 = ±; x3, 4 = ± ã TH4: Nếu ị phương trình (2) VN ị phương trình (1) vô nghiệm ã KL: ° với m < 2 thì phương trình vô nghiệm ° Với 2 < m < 3 phương trình có 4 nghiệm pb: ° m = 2 phương trình có 2 nghiệm phương trình x = ±1 ° m = 3 phương trình có 3 nghiệm: x = 0; x = ± ° m > 3 phương trình có 2 nghiệm phân biệt Bằng việc vận dụng định lý Viét hoặc định lý đảo của tam thức bậc hai ta có thể giải và biện luận phương trình (1). Tuy nhiên bài giải còn dài dòng Cách2: Bằng phương pháp toạ độ: phương trình (1) Û x4 - 2x2 = m - 3 Xét : f(x) = x4 - 2x "x ẻ R có f(x) = 4x3 - 4x = 0 Û Bảng biến thiên: x - -1 0 1 + f(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) + CT CĐ CT + Dựa vào bảng biết thiên ta có thể biện luận: ã m = 2 phương trình có nghiệm x = ±1 ã 2 < m < 3 phương trình có 4 nghiệm: x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 ã m = 3 phương trình có 3 nghiệm x = 0, x = ±1 ã m > 3 phương trình có 2 nghiệm phân biệt VD4: (Đề 99/II) Xác định m để: (x - 1)2 = 2ẵx - mẵ (*) Giải: Bài toán trên có thể làm bằng nhiều cách khác nhau NX: Một số sách hướng dẫn học sinh phổ thông hay làm theo cách sau: Nhận thấy 2 vế cảu phương trình (*) không âm: bình phương hai vế ta được: (x - 1)4 = (x - m)2 Û (x2 - 2m + 1)(x2 - 4x + 1 + 2m) = 0 Û phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ? ã phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt Û 2m - 1 > 0 Û m > ã phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt Û D' = 3 - 2m > 0 Û m < Các em kết luận: với thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt Tuy nhiên kết luận trên là hơi vội. Ta còn phải kiểm tra xem nếu thì 2 phương trình (1) (2) cso nghiệm hay không: Để làm được điều này ta giả sử: (1) , (2) có nghiệm chung x0 Khi đó Û x0 = k thay vào (1) ta được: k2 = 2k - 1 Û k = 1 Vậy k ạ 1 thì phương trình (1) và phương trình (2) không có nghiệm chung KL: phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û Bằng phương pháp toạ độ ta có thể giải bài toán trên đơn giản và ngắn gọn hơn 2/ phương pháp toạ độ có thể giải được những bài toán đại số mà bằng phương pháp khác gặp rất nhiều khó khăn VD: Tìm GTLN và GTNN của f(x) = (1) theo p và q Giải: Nhận thấy TXĐ: TXĐ: D = R khi đó f(x) = trên mặt phẳng toạ độ với hệ trục toạ độ Oxy Đặt điểm A(x - p; ) B(x -q; ) O x y= A B y Khi đó = Khi đó f(x) = = f(x) ³ Dấu "=" xảy ra Û A, O, B thẳng hàng Û ã Nếu p = q thì: minf(x) = 0 Û x = ã Nếu p ạ q thì minf(x) = VD5: Xác định m để: 2/ Phương pháp toạ độ để khảo sát bất phương trình; hệ bất phương trình đại số: Như đã biết, bất phương trình: f(x) < g(x) (1) có TXĐ: D Gọi S là tập nghiệm của ị S = Để giải bất phương trình trên bằng phương pháp toạ độ. y = g(x) y = f(x) Ta làm như sau: Bc1: Vẽ: y = f(x) và y = g(x) trên cùng 1 hệ trục Oxy Bc2: Tìm những phần đồ thị y = f(x) nằm phía dưới: y = g(x) Bc3: Tìm hình chiếu của phần đồ thị Ox ị KL nghiệm của bất phương trình (1) Chẳng hạn: ở hình vẽ bên ị bất phương trình f(x) < g(x) có tập nghiệm x1<x<x2 ã MĐ1: f(x) < g(x) "x ẻ D Û đường thẳng y = f(x) nằm hoàn toàn dưới: y = g(x) ã MĐ2: f(x) < g(x) "x ẻ D Û đường thẳng: y = f(x) không nằm hoàn toàn dưới: y = g(x) NX: ã ã ã f(x) ³ m có nghiệm "x ẻ D Û ã f(x) Ê m có nghiệm "x ẻ D Û