Đề tài Ứng dụng định lí Vi – ét trong giải toán Đại số 10

PHẦN MỞ ĐẦU I. Bối cảnh của đề tài Trong chương trình Đại số 10, khi nói đến ứng dụng của định lí Vi – ét không thể không nhắc đến bài toán điển hình của nó, đó là các bài toán: tính giá trị biểu thức, quan hệ giữa hai nghiệm, các phép tính trên hai nghiệm, lập một phương trình bậc hai, tìm điều kiện nghiệm, của phương trình. Đó là các bài toán liên quan mật thiết đến “tổng và tích” hai số thực, đặc biệt là tổng và tích của phương trình bậc hai . Đó là nếu phương trình này có hai nghiệm thì tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm . Các bài toán dạng ứng dụng định lí này thường xuất hiện trong các kì thi của đa số học sinh các khối lớp, xa hơn nữa còn xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh Cao đẳng và Đại học, đặc biệt là các kì thi học sinh giỏi toán. Song, trên thực tế đa số học sinh lại không làm được dạng bài toán này hoặc cảm thấy bài toán thật khó khăn, vì đa số đều là các bài toán có chứa tham số và đòi hỏi phải có sự tư duy cao. II. Lí do chọn đề tài Trước bối cảnh trên, tôi đã sàng lọc và lựa chọn một số dạng toán thường gặp để giảng dạy và rút kinh nghiệm cho bản thân mình. Từ bài toán đơn giản: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai, học sinh có phương tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán. Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu hai nghiệm của phương trình mà không cần phải biết cụ thể nghiệm là bao nhiêu. Tiếp tục bài toán này thường kem theo yêu cầu tính giá trị biểu thức, quan hệ giữa hai nghiệm, các phép tính trên hai nghiệm, lập một phương trình bậc hai, tìm điều kiện nghiệm, của phương trình. Việc giải quyết bài toán trên phương pháp tính ra hai nghiệm thật sự hết sức khó khăn (vì đa số phương trình đang có chứa tham số). Trong trường hợp đó hệ thức Vi – ét là một phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này. Tôi chọn đề tài “Ứng dụng định lí Vi – ét trong giải toán Đại số 10” với những lí do sau đây: Vì bài toán này là dạng toán thường gặp trong các kỳ thi: Học kì, tuyển sinh đại học và đặc biệt là thi học sinh giỏi các cấp. Đa số học sinh chưa sử dụng thành thạo định lí này trong các bài toán liên quan. Một bài toán không nhất thiết là chỉ đơn thuần có một cách duy nhất để giải quyết, cần sử dụng triệt để các vấn đề về tổng – tích, nghiệm của phương trình. III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi chỉ trình bày các ứng dụng của định lí Vi – ét vào các bài tập mẫu mực thuộc chương trình và nội dung kiến thức của học sinh khối lớp 10. IV. Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm này đưa ra cách giải quyết các bài toán dùng định lí Vi – ét để giải các bài toán có liên quan đến “tổng và tích” của hai số thực. Đó là bài toán: tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm, quan hệ giữa hai nghiệm, các phép tính trên hai nghiệm, lập một phương trình bậc hai, tìm điều kiện nghiệm, của phương trình. Theo cách dùng định lí Vi – ét thì lời giải của bài toán đơn giản, đa số học sinh làm được. Khoảng giữa năm học lớp 10, các bài toán cần áp dụng định lý Vi – ét rất phong phú và đa dạng. Đa phần các bài toán này có mặt trong nhiều kì thi quan trọng như thi học kì 1, học kì 2, thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển vào các trường chuyên, thi học sinh giỏi, Trong bài viết này, tôi hi vọng đóng góp thêm một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải quyết tốt các bài tập vận dụng cần sử dụng đến định lí Vi – ét. Hơn nữa, sáng kiến kinh nghiệm này được viết với mục đích nâng cao nghiệp vụ giảng dạy của bản thân. V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm này trình bày các bài toán thường gặp nhất đối với định lý Vi – ét trong chương trình toán phổ thông. Dựa vào những kiến thức được trình bày, học sinh có thể mở rộng kiến thức để giải các bài toán khó hơn. PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lý luận 1. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai Phương pháp: Trước tiên chúng ta cần hiểu rằng “ Chỉ thực hiện nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai trong trường hợp nó có nghiệm nguyên hoặc một nghiệm nguyên còn một nghiệm hữu tỉ”. Để làm rõ được ý tưởng chủ đạo của phương pháp này, chúng ta bắt đầu bằng thí dụ về phương trình Ta có ở đó: trong các cặp số trên, ta chọn được cặp vì Từ đánh giá đó,suy ra phương trình có hai nghiệm và . Như vậy, để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Thiết lập hệ thức Vi–ét cho các nghiệm và : Bước 2: Thực hiện phép phân tích thành tích hai thừa số . Với mỗi cặp thừa số phân tích được, ta tính ngay , khi đó: Nếu , chuyển sang bước 3. Nếu , thực hiện lại bước 2. Bước 3: Vậy, phương trình có hai nghiệm là và . Nhận xét: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau: Nếu tìm được một cặp thỏa mãn điều kiện thì dừng lại phép thử và đưa ra lời kết luận. Nếu các cặp đều không thỏa mãn thì dừng thì trong trường hợp này được hiểu là không nhẩm được nghiệm. Chúng ta đã biết hai trường hợp đặc biệt của phương trình là: Nếu thì phương trình có nghiệm và . Nếu thì phương trình có nghiệm và . 2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Phương pháp: (Định lí Vi–ét đảo) Nếu hai số và có thì và là nghiệm của phương trình . Chú ý: Nếu phương trình trên có hai nghiệm (điều kiện ) thì ta được: 3. Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Phương pháp: Ta có thể chứng minh được: Nếu phương trình vô nghiệm () thì tam thức không thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất (với hệ số thực). Nếu phương trình có hai nghiệm và (kể cả khi hai nghiệm đó trùng nhau) thì có thể phân tích tam thức như sau: 4. Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm Phương pháp: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm và của phương trình là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị và . Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm và theo và , ví dụ: MỆNH ĐỀ: Tổng hay tích của các đa thức đối xứng của hai biến và cũng là một đa thức đối xứng của hai biến ấy. Mỗi đa thức đối xứng của và đều có thể biểu diễn được duy nhất dưới dạng một đa thức của hai biến mới là và (chú ý rằng và cũng là những đa thức đối xứng của và ). Hai mệnh đề trên giúp ta có “niềm tin” khi thực hành giải toán. Chẳng hạn, khi nhân hai đa thức đối xứng của và mà kết quả lại là một đa thức không đối xứng thì chắc chắn kết quả đó là sai. Khi biết giá trị của và thì ta tin tưởng rằng có thể tính được giá trị bất kì đa thức đối xứng nào của và . Điều đó được áp dụng đối với nhiều bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai, bởi lẽ định lí Vi–ét cho phép ta tính được và theo các hệ số của phương trình; từ đó có thể tính được giá trị các biểu thức đối xứng của và mà không cần phải giải phương trình đó. 5. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số Phương pháp: Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số (giả sử tham số là ), ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện của để phương trình có hai nghiệm Bước 2: Áp dụng định lí Vi–ét, ta được Bước 3: Khử từ hệ ta được hệ thức cần tìm. Chú ý: Trong nhiều trường hợp, việc khử tham số từ hệ cần sử dụng các hằng đẳng thức, đặc biệt là các hằng đẳng thức lượng giác, cụ thể: 6. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Phương pháp: Dùng định lí Vi–ét ta có thể xét dấu được các nghiệm của phương trình dựa trên kết quả: Phương trình có hai nghiệm trái dấu Phương trình có hai nghiệm cùng dấu Phương trình có hai nghiệm dương Phương trình có hai nghiệm âm 7. Tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm Bước 2: Áp dụng định lí Vi–ét, ta được Bước 3: Biểu diễn điều kiện thông qua . 8. Giải hệ phương trình đối xứng loại một Ta quy ước gọi một hệ chứa 2 ẩn là đối xứng loại một nếu mỗi phương trình của hệ đối xứng đối với (nghĩa là khi hoán vị cho nhau ta được phương trình không đổi). Phương pháp: Bước 1: Đặt , đưa hệ về một hệ mới có hai ẩn và . Bước 2: Tìm là nghiệm của phương trình tổng tích Chú ý: Điều kiện để hệ đã cho có nghiệm là: . II. Thực trạng của vấn đề và các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề Thí dụ 1: Trình bày cách nhẩm nghiệm cho các phương trình sau a. b. Giải Phương trình đã cho tương đương với phương trình Khi đó Mà . Vậy phương trình có hai nghiệm và . Phương trình đã cho tương đương với phương trình Khi đó Mà . Vậy phương trình có hai nghiệm và . Thí dụ 2: Cho hai số có tổng bằng tổng các nghiệm của phương trình và có tích bằng tích các nghiệm của phương trình . Hãy tìm hai số đó. Giải Trước hết ta có nhận xét Phương trình có nên có hai nghiệm phân biệt. Phương trình có nên có hai nghiệm phân biệt. Do đó từ định lí Vi–ét, ta có Như vậy là các nghiệm của phương trình Vậy các giá trị của và là . Nhận xét: Trong thí dụ này chúng ta cần chú ý đến sự tồn tại nghiệm của hai phương trình ban đầu. Sau đây là ứng dụng trong thực tế. Thí dụ 3: Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong trường hợp chu vi là và diện tích là . Giải Gọi là hai kích thước của hình chữ nhật, theo đề bài ta có: Suy ra là hai nghiệm của phương trình Vậy mảnh vườn có chiều dài là và chiều rộng là Thí dụ 4: Tìm của sao cho tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt giá trị nhỏ nhất. Giải Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Nên . Ta có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi . Thí duï 5: Cho phöông trình . Định để phương trình: a. Có hai nghiệm trái dấu b. Có hai nghiệm dương phân biệt c. Có đúng một nghiệm âm. Giải a. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi b. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi . c. · Trường hợp 1: Phương trình trở thành: Do đó, không thỏa. · Trường hợp 1: Khi . Lúc này, phương trình có một nghiệm kép Do đó, không thỏa. Tóm lại, phương trình có một nghiệm âm trong các khả năng sau: * (kết quả câu a.); * không có giá trị nào của thỏa hệ này. Vậy những giá trị cần tìm là: Thí dụ 6: Cho phương trình Giả sử phương trình trên có hai nghiệm a. Viết phương trình bậc hai theo có hai nghiệm là: và b. Tìm hệ thức độc lập đối với tham số giữa các nghiệm c. Định để phương trình trên có nghiệm thỏa . Giải Ta có: a. Ta có: . Vậy phương trình bậc hai cần tìm là b. Ta có Do đó: c. Ta đã có: Từ giả thiết , suy ra (vì ) Với các giá trị trên, phương trình đã cho có nghiệm xác định ở (*) và phương trình đã cho có nghiệm. Vậy các giá trị cần tìm là: . Thí dụ 7: Giải hệ phương trình Giải Hệ phương trình đã cho chính là hệ đối xứng loại một. Ta có: Đặt Hệ phương trình đã cho trở thành Rút từ phương trình (1), rồi thế vào (2) ta được: * Với (thỏa điều kiện có nghiệm) thì là nghiệm của phương trình: Do đó: và * Với (thỏa điều kiện có nghiệm) Ta được: và * Với (không thỏa điều kiện có nghiệm) Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: Thí dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm mà sắp xếp trên trục số, chúng đối xứng nhau qua điểm . Giải Gọi là hai nghiệm của phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vì đối xứng nhau qua điểm , nên . Hay . Theo định lí Vi–ét, ta có Do đó, (phương trình vô nghiệm). Vậy không tồn tại giá trị của thỏa mãn bài toán. Thí dụ 9: Cho phương trình Giải phương trình với . Tìm để phương trình vô nghiệm. Tìm để phương trình có đúng một nghiệm. Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tìm để phương trình có ba nghiệm phân biệt. Tìm để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. Giải Viết lại phương trình dưới dạng: Đặt . Suy ra và . Khi đó phương trình trên có dạng: a. Với , ta được: · Với , ta được: ·Với , ta được: Vậy, với phương trình có bốn nghiệm phân biệt và . b. Phương trình đã cho vô nghiệm khi vô nghiệm hoặc có hai nghiệm nhỏ hơn 0. Nhận xét: phương trình có nên điều kiện thứ hai không xảy ra. Khi đó, để vô nghiệm thì Vậy với thì phương trình đã cho vô nghiệm. c. Phương trình đã cho có đúng một nghiệm khi có nghiệm thỏa mãn , hệ này vô nghiệm. Vậy không tồn tại thỏa mãn đề bài. d. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi có nghiệm kép lớn hơn 0 hoặc có hai nghiệm Vậy với hoặc thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. e. Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi có nghiệm Vậy với thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt. f. Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi có nghiệm Vậy với thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. III. Hiệu quả của SKKN Bằng việc sử dụng thuần thục định lí Vi – ét một cách triệt để, chúng ta có thể giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình, hệ phương trình một cách ngắn gọn, ít bị nhầm lẫn. Hơn nữa, từ đó học sinh có thể tư duy để làm các bài toán cần sử dụng nhiều công cụ khác nhau, chẳng hạn bài toán bất đẳng thức, tìm cực trị của hàm số, ... Sáng kiến kinh nghiệm này được tác giả triển khai giảng dạy cho lớp 10A2 trường THPT Lê Hoàng Chiếu năm học 2011 – 2012 đã đạt được kết quả như sau: 87% xếp loại giỏi cho các bài tập tương tự, còn lại xếp loại khá. 40% học sinh biết vận dụng các kiến thức về định lí Vi – ét để giải quyết các bài toán liên quan. KẾT LUẬN I. Những bài học kinh nghiệm Định lí Vi – ét có những ứng dụng rộng rãi và đa dạng với nhiều dạng toán khác nhau. Qua các kết quả trên ta thấy Phương trình bậc hai có hai nghiệm , khi đó: Phương trình có hai nghiệm trái dấu Phương trình có hai nghiệm cùng dấu Phương trình có hai nghiệm dương Phương trình có hai nghiệm âm Muốn tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước, cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm Bước 2: Áp dụng định lí Vi–ét, ta được Bước 3: Biểu diễn điều kiện thông qua . Ngoài ra nếu sử dụng thành thạo định lí Vi – ét, học sinh còn có thể tiện lợi hơn đối với các bài toàn về “tổng – tích”. II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm này, giúp học sinh nắm vững sự ứng dụng của định lí Vi – ét vào giải toán một cách chính xác, từ đó có thể giúp học sinh khả năng tư duy sáng tạo đối với các bài toán có sử dụng định lí Vi – ét. Theo tôi nếu học sinh nắm bắt vững lí thuyết của vấn đề này thì những bài toán như trên hoặc nâng cao thêm nữa học sinh có thể tự mình giải quyết tốt vấn đề. III. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm này dùng để giải các bài toán liên quan đến “tổng và tích” đối với phương trình một ẩn và hệ phương trình hai ẩn. Ngoài ra nó còn được ứng dụng trong các bài toán bất đẳng thức, bài toán tìm cực trị của đồ thị hàm số. Đây là dạng bài toán mà học sinh có thể gặp trong các kì thi quan trọng.