Đề tài Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU 1/ Sách giáo khoa: SGK 2/ Sách bài tập: SBT 3/ Giá trị lớn nhất: GTLN 4/ Giá trị nhỏ nhất: GTNN 5/ Bảng biến thiên: BBT 6/ Điều kiện xác định của bài toán: ĐK 7/ Nhà xuất bản: NXB 8/ Điều phải chứng minh: đpcm 9/ Chứng minh rằng: CMR LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi giải xong một bài toán chúng ta thường đặt ra câu hỏi là còn có phương pháp giải nào khác không? Từ đó ta tìm tòa hướng giải và rút ra phương pháp giải cho phù hợp với đối tượng học sinh Trong quá trình giảng dạy và tìm hiểu qua sách báo Tôi rút ra kinh nghiệm ứng dụng lượng giác để giải những phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số và chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu thức. Những năm qua tôi thường dùng phương pháp này giảng dạy cho học sinh khối 12 ôn luyện thi đại học và nhận thấy đa số các em tiếp thu kiến thức rất nhẹ nhàng. Bài viết này tôi xin trình bày đề tài: “ Ứng dụng lượng giác để giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất_ giá trị nhỏ nhất của hàm số”.Trong các đề thi tuyển sinh Đại Học, Cao Đẳng của những năm qua ta thấy có bài toán giải được bằng phương pháp lượng giác. Khi biên soạn đề tài bản thân đã có nhiều cố gắng, song không thể tránh khỏi sự thiếu sót, mong nhận được sự góp ý chân tình của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn của nhà trường để các tài liệu sau của tôi được tốt hơn. Xin chân thành cám ơn! Ba Tơ, thang 5 năm 2011. Người thực hiện đề tài Nguyễn Đăng Khoa NỘI DUNG I.Cơ Sở Lí Thuyết: Từ một bài toán: phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu thức đại số, ta chuyển sang giải phương trình, chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu thức lưọng giác thì đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức lượng giác, kĩ thuật biến đổi lượng giác,tính tuần hoàn của các hàm số y= sinx , y= cosx, y= tanx, y=cotx và các tính chất: DẠNG 1: Nếu bài toán chứa:[f(x)]2 +[g(x)]2=1, thì có thể đặt: hoặc DẠNG 2: Nếu bài toán chứa: thì có thể đặt: hoặc x= DẠNG 3: Nếu bài toán chứa: thì có thể đặt: hoặc DẠNG 4: Nếu bài toán chứa: thì có thể đặt: hoặc . DẠNG 5: Nếu bài toán chứa: hoặc thì có thể đặt: x=acos2t. DẠNG 6: Nếu bài toán chứa: thì có thể đặt: x=a+(b-a)sin2t. II.Nội Dung: Bài 1: Giải phương trình: . (1) (Bài 4.72,d. trang114_ sách Bài tập Đại Số 10 Nâng cao, xuất bản năm 2006). Giải: ĐK: Đặt: , thay (a) vào (b) ta được: . Đặt u=sint+cost, đk: ,phương trình (c) thành: vậy: sint +cost = . Do đó phương trình có nghiệm là: . Bài 2: Giải phương trình: (2) Giải: ĐK: . đặt x=cost, t[] phương trình (2) thành: 4cos3t - 3cost=sint Vì t[] nên ta chọn được: . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: . Bài 3: Giải phương trình: x3- 3x-1=0 (3). Giải: Đặt x=cost, t[] , phương trình (3) thành: 8cos3t - 6cost = 1 Vì t[] nên ta chọn được: . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: . Bài 4: Giải phương trình: (4) Giải: ĐK: . Đặt x=sint , phưong trình thành: (vì ) Với sin2t = -1, vì nên ta chọn được nghiệm t= nghiệm của phương trình là: Với sin2t = , vì nên ta chọn được nghiệm t= nghiệm của phương trình là: Vậy phương trình có nghiệm là: và Bài 5: Định m để phương trình: (5) có nghiệm. Giải: ĐK: . Đặt x=cost, với . Phương trình thành: sint = cost – m . Vì nên suy ra: . Vậy để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:. Bài 6: Cho phương trình: (6) 1/ Định m để phương trình (6) có nghiệm. 2/ Định m để phương trình (6) có nghiệm duy nhất. Giải: ĐK: . Đặt x=cost, với . Phương trình thành: (a) 1/ * Khi t=0 x=cos0 =1 m=0 (thỏa) * Khi t= x=cos=-1 m=0 (thỏa) * Khi, (a) (b). đặt u=, phương trình (b) thành: u3+2u2 =m (c) xét hàm số f(u) = u3+2u2 , với . f’(u)=3u2+4u, f’(u)=0 BBT: u 0 1 f’(u) + 0 - 0 + f(u) 3 0 Vậy để (6) có nghiệm khi và chỉ khi (c) có nghiệm thuộc . 2/ Ta thấy: *Khi m=0 thì ,không thỏa mãn bài toán (tức là tương ứng với t=0 và t= ). *Khi, (a) (b). đặt u=, phương trình (b) thành: u3+2u2 =m (c) xét hàm số f(u) = u3+2u2 , với . BBT: u 0 1 f’(u) + 0 - 0 + f(u) 3 0 để phương trình (6) có nghiệm duy nhất phương trình theo ẩn cost có nghiệm duy nhất sint = 1 u = 1 m =3. (vì sin2t + cos2t =1, nếu sint thì có hai giá trị của cost không thỏa mãn bài toán). Vậy với m=3 thì phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 7:Cho phương trình: (7) 1/Giải phương trình khi m=3. 2/Định m để phương trình có nghiệm. Giải: ĐK: Đặt x = -1+9sin2t, với (vì hàm số y=sin2t tuần hoàn có chu kì là và là hàm số chẵn nên ta chỉ cần xét trên đoạn ) Phương trình (7) thành: (a) Đặt , phương trình (a) thành: 9u2+6u-9=2m 1/ Khi m=1, ta có: 9u2+6u-15=0 với u=1 , vì nên chọn được: t=0 và t = với t = 0 . với t = . Vậy phương trình có nghiệm: x=-1 và x=8. 2/ Xét hàm số f(u) = 9u2+6u-9 BBT: u 1 f’(u) - 0 + f(u) 9+ 6 -10 Vậy để phương trình có nghiệm Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu định m để phương trình có nghiệm duy nhất, thì điều kiện có nghiệm của phương trình cũng là điều kiện có nghiệm duy nhất. bởi vì khi cost nhận một giá trị thuộc đoạn [1-,1] thì sin2t chỉ có duy nhất một giá trị tương ứng). Bài 8: Giải bất phương trình: (8) Giải: đặt x=3tant, phương trình thành: 3tant. . Vậy nghiệm của bất phương trình là: . Bài 9: Tìm m để bất phương trình: (9) có nghiệm Giải: ĐK: . Đặt x=cost, với . Phương trình thành: sint + cost Mà . Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m . Bài 10: Giải hệ phương trình: (I) (Trích đề thi cao đẳng khối A_ năm 2007) Giải: Ta có (2) , nên đặt: , thay vào phương trình (1) ta được: (3). Vì cost =0 không phải là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế của phương trình (3) cho cos2t ta được: * với tant= và , suy ra nghiệm của hệ phương trình là: và * với tant = và , suy ra nghiệm của hệ phương trình là: và Bài 11: Giải hệ phương trình: (II) (Trích đề thi Đại học_ Cao đẳng, khối A_ năm 2004) Giải: ĐK: Với điều kiện trên hệ (II) đặt: (sint>0 và sint >cost), thay vào phương trình (3) ta được: . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: . Bài 12: Giải hệ phương trình: (III) (Trích đề thi Cao đẳng _Giao thông vận tải_ năm 2007) Giải: đặt: thay vào phương trình (1) ta được: (3). đặt u=cost +sint, ĐK: , phương trình (3) thành: với Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: và Bài 13: CMR: 1/ Nếu x2+y2=1 thì .(bài tập 20, trang 112 _SGK Đại số 10 Nâng cao_ NXB Giáo dục). 2/ Nếu x2+y2=1 thì .(bài tập 4.23a, trang 105 _SBT Đại số 10 Nâng cao_NXB Giáo dục). Giải: 1/ Vì x2+y2=1, nên ta có thể đặt: . Khi đó, ta có: = (đpcm) 2/ Chứng minh tương tự. Bài 14: Cho các số thực a,b. CMR: . Giải: + Nếu a=0, thì bất đăng thức hiển nhiên đúng. + Nếu ,, đặt , bất đẳng thức tương: ,Cần chứng minh: . Thật vậy, ta có: , (hiển nhiên) vì và . Bài 15: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng: Giải: Vì x,y>0 suy ra: >0, do đó: cần chứng minh: . Nhận xét: và nên ta có thể đặt: và khi đó: = cosu.sinv + cosv.sinu =sin(u+v)1, hiển nhiên. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 16: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: Giải: Từ giả thiết: , nên ta có thể đặt: Ta có: đặt u = sin2t, ĐK: , khi đó: =f(u). f’(u)= , f’(u) = 0 . BBT: u -2 0 1 2 f’(u) + 0 - - 0 + f(u) Vậy: Min T= , khi u=1= sin2t Bài 17: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: , với x khác y và thỏa mãn: x2 + y2 =1. Giải: Với giả thiết: , ta có thể đặt: , khi đó, ta có: (vì 2sin2t-2cos2t+4 ) Phương trình có nghiệm Vậy: Bài 18: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: Giải: ĐK: 0<x,y<1. đặt: , Đặt u=sint+cost = , . , ta có: suy ra hàm số f(u) giảm trên . Do đó: Bài 19: Cho các số thực x,y thay đổi thỏa: x2+y2=2. Tìm GTLN, GTNN của P=2(x3+y3)-3xy.(Trích đề thi Cao đẳng khối A,B,D _năm 2008_ Bộ GD&ĐT) Giải: Từ giả thiết ta có thể đặt: . Đặt u=sint+cost = , ,ta có: ,(thỏa) . Vậy: Max P=13/2 và Min P=-7. Bài 20: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=2. CMR: (India MO 2003). Giải: Từ giả thiết: , nên ta có thể đặt: Ta có: Đặt u=sin22t, ĐK: ,do đó: K=8u3-6u4 =f(u) f’(u)=24u2-24u3 f’(u)=0 . BBT: u 0 1 f’(u) + 0 + 0 - f(u) 2 0 Nhìn vào BBT ta thấy 0< f(u) 2, nên suy ra: (đpcm). Bài 21: Tìm GTLN,GTNN của biểu thức: . (bai 17, trang112_ SGK Đại số 10 Nâng cao) Giải: ĐK: Vì , nên đặt: Ta có: . Mặt khác, vì: nên Vậy: , . Bài 22: Cho hệ: Tìm nghiệm của hệ để biểu thức P = x+u và F = x.u đạt GTLN. Giải: Đặt: và thay vào (3) ta được: ,nhưng vì cos(a-b)1, nên suy ra: cos(a-b)=1 khi a=b. Do đó: P=x+u=. Vậy và a=b= suy ra tương ứng với nghiệm của hệ là: x=4,y=0,u=3,v=0. F=x.u=. Vậy , a=b= và a=b=, suy ra tương ứng với nghiệm của hệ là: x=4,y=0,u=3,v=0 và x=-4,y=0,u=-3,v=0. BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1: Giải các phương trình sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/, (ĐH Bách Khoa TP.HCM_2001) 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ Bài 2: Định m để phương trình sau có nghiệm: 1/ 2/ (ĐH Y_ Dược TP.HCM_1997) 3/ (ĐH Kinh tế TP.HCM_1996) 4/ 5/ 6/ 7/ . (Trích đề thi tuyển sinh Đại Học khối A _2007 Bộ GD&ĐT) Bài 3: Cho phương trình: 1/Giải phương trình khi m= 2/Định m để phương trình có nghiệm Bài 4: Giải các bất phương trình sau: 1/ 2/ Bài 5: Tìm m để bất phương trình: có nghiệm đúng với Bài 6: Giải các hệ phương trình sau: 1/ 2/ (CĐSP_ Hải Dương_2006) 3/ 4/ 5/ Bài 7: Cho x,y là hai số thực không âm thỏa: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: Bài 8: Cho hai số thực x,y thỏa: x2+y2=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 9: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: Bài 10: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1. Tìm GTNN,GTNN của biểu thức: Bài 11: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: Bài 12: Cho x2+y2=1 và u2+v2=1. Chứng minh: LỜI KẾT Nói đến bài toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, là nói đến bài toán rộng lớn. Tuy nhiên trong khuôn khổ của đề tài tôi chỉ nêu cách giải cho những dạng toán thường gặp. Khi dùng phương pháp ứng dụng lượng giác để giải những bài toán trên, ta nên nhấn mạnh cho học sinh là khi gặp bài toán dạng nào thì dùng được phương pháp lượng giác. Trên đây là một số suy nghĩ của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp học sinh giải tốt các bài toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ba Tơ,Ngày 16 Tháng 5 Năm 2011. Người Viết sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đăng Khoa Nhận xét, đánh giá HĐCM trường THPT Ba Tơ Nhận xét, đánh giá HĐCM Sở GD&ĐT Quảng Ngãi