Đề tài Ứng dụng lượng giác trong đại số

Phần thứ nhất : MỞ ĐẦU I.Lý do chọn đề tài. Trong quá trình dạy học môn Toán của các khối lớp 10,11,12 .Tôi đã rút ra một số kinh nghiệm về các phương pháp giải toán nói chung và đặc biệt là phương pháp giải các bài toán đại số như là : phương trình ,hệ phương trình ,bất phương trình ,chứng minh đẳng thức ,bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức vì nó là một trong những chuyên đề quang trọng và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra ,thi học kỳ và đặc biệt là các kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng . Trong khi đó học sinh thường lúng túng và thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán về phương trình ,hệ phương trình ,bất phương trình ,chứng minh đẳng thức ,bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức .vì ở đây điều kiện học tập còn thiếu thốn ,tài liệu tham khảo còn hạn chế ,nhiều em ở các xã về đây trọ học nên kết quả học tập chưa cao và tỉ lệ học sinh ở đây thi vào các trường đại học ,cao đẳng còn hạn chế.vậy làm thế nào để giúp các em vượt qua trở ngại này? Chính vì những lí do đó mà tôi đưa ra phương pháp giải cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và tôi đã quyết định chọn đề tài “Ứng dụng lượng giác trong đại số” Với hy vọng và mong muốn sẽ đem đến cho các em những kỹ năng ,những phương pháp và kinh nghiệm quý báu nhằm giúp các em vượt qua những trở ngại nói trên.Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập ,và đặc biệt là các kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng .Giúp các em yêu thích và có hứng thú hơn trong học Toán. II. Mục đích nghiên cứu -Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm một phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân ,đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp.Trong đề tài này tôi đề cập đến các dạng bài tập đại số mà ta ứng dụng lượng giác để giải chúng sao cho phù hợp với từng dạng bài tập .Qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán .Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê học toán hơn ,do đó sẽ đem lại kết quả cao trong học tập - Nhằm học hỏi trau dồi kiến thức ,nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và tích lũy kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu . III: Đối tượng nghiên cứu -Những kiến thức cơ bản về chuyên đề lượng giác , -Các dạng bài tập trong đại số mà ta tìm cách đưa chúng về các dạng lượng giác quen thuộc. IV: Phạm vi nghiên cứu -Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên. -Áp dụng cho học sinh khối 11,12 .Đặc biệt là học sinh 12 tham gia các kỳ thi tốt nghiệp ,đại học và cao đẳng . V:Phương pháp nghiên cứu -Sử dụng phương pháp phân tích ,tổng hợp ,so sánh, đánh giá - Tham khảo các tài liệu - Tham gia đầy đủ các lớp học bồi dưỡng do sở giáo dục tổ chức ,các buổi sinh hoạt tổ , nhóm chuyên môn . VI.Thời gian nghiên cứu . -Trong suốt quá trình được phân công giảng dạy ở các khối lớp 10,11,12 bậc phổ thông trung học Phần thứ hai : NỘI DUNG I: Hệ thống kiến thức 1;kiến thức lượng giác a) công thức cộng cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb tan(a - b) = tan(a + b) = b) công thức nhân đôi cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a sin2a = 2sinacosa tan2a = c)công thức hạ bậc cos2a = ; sin2a = = = ; d)công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích cosacosb =[cos(a + b) + cos(a - b)] sinasinb = [cos(a - b) - cos(a + b)] sinacosb =[sin(a + b) + sin(a - b)] Cosa + cosb = 2coscos Cosa - cosb = -2sinsin Sina + sinb = 2sincos Sina + sinb = 2cossin ** chú ý 2:Các dạng bài tập đại số và phương pháp lượng giác hóa Dạng 1 : Nếu x2 + y2 =1 thì đặt với Dạng 2 : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) thì đặt với Dạng 3 : Nếu thì đặt Dạng 4 : Nếuthì đặt Dạng 5 :Nếu hoặc bài toán có chứa thì đặt x=với Dạng 6 :Nếu hoặc bài toán có chứa thì đặt x = với Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức thì đặt x = tan với Dạng 8 : Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức thì đặt x = m tan với Dạng 9: Nếu bài toán chứa: hoặc thì có thể đặt: x=mcos2t. . II: NỘI DUNG BÀI TẬP Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình sau với Giải : Điều kiện Đặt với Khi đó phương trình đã cho trở thành Do Suy ra . Từ đó Vậy Kết luận : vậy nghiệm của phương trình là x= 0,96 Bài 2: Giải phương trình: . (1) Giải: ĐK: Đặt: , thay (a) vào (b) ta được: . Đặt u=sint+cost, đk: ,phương trình (1) trở thành: vậy: sint +cost = . Do đó phương trình có nghiệm là: . *** Chú ý khi giải theo phương pháp lượng giác này thì ta thấy việc giải quyết bài toán sẽ nhanh hơn phương pháp giải thông thường . và ta thực hiện cho các bài toán tiếp theo Bài 3: Giải phương trình: (2) Giải: ĐK: . đặt x=cost, t[] phương trình (2) thành: 4cos3t - 3cost=sint Vì t[] nên ta chọn được: . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: : = . , Bài 4 :Giải phương trình: Giải: ĐK: . Đặt x=sint , phưong trình trở thành: (vì ) -Với sin2t = -1, vì nên ta chọn được nghiệm t= nghiệm của phương trình là: -Với sin2t = , vì nên ta chọn được nghiệm t= nghiệm của phương trình là: Vậy phương trình có nghiệm là: và Bài 5 : Giải phương trình : Giải : điều kiện : . Đặt x=, Khi đó phương trình có dạng : Đặt sint + cost = u , ta có . Khi đó phương trình đã cho có dạng : . So sánh điều kiện ta có : vậy nghiệm của phương trình là Bài 6 : Giải phương trình (1-m2)x + (1-m2)x = (1+m2)x với 0 < m <1. (1) Giải: Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho (1+m2)x > 0 ta có : Đặt m=tant với ta có và Khi đó phương trình đã cho có dạng : Nhận xét : với x=2 là nghiệm của phương trình . Với x < 2 ta có , phương trình vô nghiệm. với x > 2 ta có :, phương trình vô nghiệm . vậy với 0 < m <1 thì phương trình có nghiệm duy nhất Bài 7: Định m để phương trình: (5) có nghiệm. Giải: ĐK: . Đặt x=cost, với . Phương trình thành: sint = cost – m . Vì nên suy ra: . Vậy để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:. Bài 8: Giải hệ phương trình : Giải : Đặt với . Khi đó hệ đã cho trở thành : . Ta xét hai trường hợp : Nếu thì và ngược lại nên ta có x = y = 0 là nghiệm của hệ . Xét và : Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có : (3) (1) (4) Thay (4) vào (3) ta có Khi đó nghiệm của hệ là Bài 9 :Giải hệ phương trình (I) Giải : Nhận xét : Nếu thì hệ (I) trở thành Khi đó ta đặt với và Vậy ta có Suy ra Do và nên Vậy nghiệm của hệ phương trình là Bài 10: Giải hệ phương trình: (II) Giải: ĐK: Với điều kiện trên hệ (II) Đặt: (sint > 0 và sint > cost), thay vào phương trình (3) ta được: . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: . Bài 11 :Giải hệ phương trình Nhận xét về dạng của hệ phương trình trước khi giải: Đặt Nên ta đặt với Đặt và tương tự như trên ta đặt với với vậy ( 1 ) Tương tự ( 2 ) Từ (1 ) và ( 2) ta có nghiệm của hệ phương trình là: -với Vậy ta có (3) (4) Từ ( 3 ) và ( 4 ) ta có nghiệm của hệ phương trình là: Bài12: Giải bất phương trình : Giải : Điều kiện : Đặt x=cost , t Khi đó bất phương trình đã cho trở thành : vậy tập nghiệm của bất phương trình là s . Bài 13: Giải bất phương trình: Giải: Đặt x = 3tant, thì bất phương trình trở thành: Vậy nghiệm của bất phương trình . Bài 14 : Giải bất phương trình với Giải : Đặt , . Khi đó bất phương trình có dạng : Vậy nghiệm của bất phương trình là Bài 15: Tìm m để bất phương trình: có nghiệm Giải: ĐK: . Đặt x=cost, với . Phương trình thành: sint + cost Mà . Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m Bài 16:Cho chứng minh rằng ( 1 ) Giải -Nếu x = 0 thì ( 1 ) luôn đúng , -Nếu x 0 ta chia hai vế của (1 ) cho ta được (2) Do nên ta đặt với thì (2) trở thành (3) Vậy (3) luôn đúng vì vế trái bằng vế phải và bằng hai. Bài 17: Chứng minh rằng : Nếu x2 + y2 = 1 thì . (Bài tập 20, trang 112 _SGK Đại số 10 Nâng cao_ NXB Giáo dục). Giải: Vì x2 + y2 = 1, nên ta đặt: . Khi đó, ta có: = (đpcm) *** chú ý khi giải theo phương pháp lượng giác này thì ta thấy việc giải quyết bài toán có nhanh hơn phương pháp giải như lớp 10 hay không? Từ đó ta chọn cách giải sao cho tối ưu nhất . Bài 18: Chứng minh rằng từ 4 số thực cho trước ta luôn luôn chọn được hai số x, y trong 4 số đó sao cho: 0 £ £ 1 y1 y2 y3 y4 y5 Giải: Giả sử 4 số thực cho trước là a £ b £ c £ d Đặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với - < y1 £ y2 £ y3 £ y4 < < y5 = p + y1 Các điểm y1, y2, y3 chia đoạn [y1; y1 + p] thành 4 đoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4; y5]. Trong số 4 đoạn này phải có ít nhất một đoạn có độ dài không lớn hơn . Giả sử 0 £ y2 – y1 £ . Thế thì: 0 £ tg (y2 – y1) £ 1 Û 0 £ £ 1 Đặt x = b, y = a ta được điều cần chứng minh. Bài 19: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có: Giải: Đặt: a = tga , b = tgb với a, b Î . Khi đó: A = = cos2a cos2 b . = sin (a + b) . cos (a + b) = sin (2a + 2b) Suy ra: êAê = êsin (2a + 2b) £ Vậy: - £ £ (đpcm). Bài 20: Chứng minh rằng nếu |x| < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có: (1 + x)n + (1 – x)n < 2n (1) Giải: Vì |x| < 1 nên có thể đặt x = cost với t Î (0; p) và bất đẳng thức (1) được viết thành: (1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n (2) Thay 1 + cos t = 2cos2 và 1 – cost = 2sin2 vào (2) ta được 2n < 2n (3) Bởi vì 0 < < nên 0 < sin , cos < 1 nên chắc chắn: cos2n = 1. Tương tự ta có: sin2n 1. Do đó 2n < 2n= 2n Vậy bất đẳng thức (3), tức là bất đẳng thức (1) được chứng minh. Bài 21: Chứng minh rằng: £ 2½a½ Giải: Điều kiện: a2 – 1 ³ 0 Û ½a½ ³ 1. Đặt ½a½ = , với a Î [0 ; ). Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng: Û sina + cosa £ 2 Û sina + cosa £ 1 Û sin (a + ) £ 1, luôn đúng. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Bài 22: Cho các số thực a,b. chứng minh rằng: . Giải: + Nếu a=0, thì bất đăng thức hiển nhiên đúng. + Nếu ,, đặt , bất đẳng thức tương: , Cần chứng minh: . Thật vậy, ta có: , (hiển nhiên) vì và . Bài 23: Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức : . Giải: ĐK: Vì , nên đặt: Ta có: . Mặt khác, vì: nên Vậy: , . Bài 24: Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = Giải -Nếu y = 0 thì P = 0 -Nếu y0 chia cả tử và mẫu cho ta được P = Đặt với khi đó P = = Nên ta có ( vì Khi thì p ,khi thì p Vậy Giá trị nhỏ nhất min khi Giá trị lớn nhất max P = khi Bài 25: cho Tìm giá trị lớn nhấy của x+v Giải Vì ta đặt ta đặt Theo bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có mà Nên xu + yv =20 Từ đó x + v = với Vậy giá trị lớn nhất Max (x+v) = khi tại . BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1 : Giải phương trình : 1) 2), (ĐH Bách Khoa TP.HCM_2001) Bài 2: Định m để phương trình sau có nghiệm: 1/ 2/ (ĐH Y_ Dược TP.HCM_1997) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 1/ 2/ Bài 3: Chứng minh: (a + b)8 £ 64(a8 + b8) Bài 4: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh ½16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y)½ £ Bài 5: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh Phần thứ 3: KẾT LUẬN Khi giải các bài toán về “phương trình,bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, là nói đến bài toán rộng lớn”. Tuy nhiên trong khuôn khổ của đề tài tôi chỉ nêu cách giải cho những dạng toán thường gặp. Khi dùng phương pháp ứng dụng lượng giác để giải những bài toán trên, ta nên nhấn mạnh cho học sinh là khi gặp bài toán dạng nào thì dùng được phương pháp lượng giác. Trên đây là một số suy nghĩ của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp học sinh giải tốt các bài toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thông phương pháp lượng giác. Phần thứ IV. KẾT QUẢ. Trước khi thực hiện đề tài vào quá trình giảng dạy, các bài toán ứng dụng lượng trong c đại số dành cho học sinh khối 11, 12. Khi giảng dạy phần này học sinh các lớp tiếp thu kiến thức còn rất mơ hồ, kết quả số học sinh làm các dạng toán phần này không tốt, dẫn đến học sinh chưa phát huy được tính tích cực trong học tập nên hạn chế cho việc tiếp thu kiến thức phần tiếp theo. Kết quả khảo sát lớp 12b4 và 12b5 năm học 2011- 2012 về bài kiểm tra phần bài tập nay trước khi thực hiện đề tài: Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu - Kém 12b4 42 4 HS TL: 9,5% 10 HS TL: 23,8% 16 HS TL: 38,1% 12 HS TL: 28,6% 12b5 42 3 HS TL: 7,1% 8 HS TL: 19,1% 17 HS TL: 40,5% 14 HS TL: 33,3% Trước tác động hai lớp tương đương nhau về tư duy cũng như kết quả học tập. Sau tác tác động: Kết quả khảo sát về bài kiểm tra trên hai lớp như sau: Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu - Kém 12B4 (ĐC) 43 5 HS TL: 11,6% 11 HS TL: 25,6% 18 HS TL: 41,8% 9 HS TL: 21% 12B5 (TN) 43 13 HS TL: 30,2% 15 HS TL: 34,9% 12 HS TL: 27,9% 3 HS TL: 7,0% Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả học tập của học sinh: Lớp thực nghiệm đã đạt kết quả học tập cao hơn so với lớp đối chứng. Điểm bài kiểm tra đầu ra của lớp thực nghiệm (TN) có số học sinh đạt khá trở lên là 65,1% ; điểm bài kiểm tra đầu ra của lớp đối chứng (ĐC) có số học sinh đạt khá trở lên là 37,2% thấp hơn lớp thực nghiệm, điều này chứng tỏ rằng khi sử dung đề tài này vào quá trình dạy học làm nâng cao kết quả học tập phần bài tập đại số và tạo điều kiện cho học sinh học tập tốt các phần kiến thức khác có liên quan đến kiến thức lượng giác . Đề tài này đã được phổ biến và ứng dụng đại trà cho khối 11 và 12 năm học 2012 - 2013 rất thành công, đặc biệt là trong các tiết dạy bài tập, tiết bám sát và tiết ôn tập. Được đa số học sinh vận dụng đề tài này giải bài tập đạt kết quả rất cao. Phần thứ IV. KIẾN NGHỊ. Phần bài tập đại số là một trong những phần kiến thức quang trọng trong chương trình toán lớp 10 ,11,12 và cũng là phần kiến thức căn bản và nó là một phần quang trọng giúp học sinh nâng cao kiến thức trong quá trình ôn tập , đòi hỏi người giải phải nắm vững phương pháp giải cho từng dạng. Khi giải cần phân biệt bài toán đang giải thuộc dạng nào và vận dụng phương cho phù hợp. Đối với giáo viên: Để học sinh hiểu và làm được bài toán phần này thì phải đưa ra phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài toán, đồng thời phải phân tích kĩ các dạng bài tập . Đối với học sinh: Để làm tốt bài toán phần này cần đọc và phân tích kĩ đề bài và vận dung phương pháp đúng, đồng thời nắm vững công thức và hiểu rõ các công thức, và các dạng bài tập. Qua đề tài này tôi mong rằng nhà trường đầu tư nhiều hơn nữa những đầu sách tham khảo về bộ môn Toán cung cấp cho thư viện của trường, tạo điều kiện cho các em tham khảo để nâng cao thành tích học tập của các em về bộ môn toán Chưprông,Ngày 06 tháng 03 Năm 2013. Người viết sáng kiến kinh nghiệm Trần Đình Hữu  TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Đại số 10-nâng cao- NXB Giáo dục năm 2006 (Đoàn Quỳnh- Nguyễn Huy – Nguyễn xuân Liêm- Đặng Hùng Thắng) 2 . Sách bài tập Đại số 10-nâng cao- NXB Giáo dục năm 2006 (Đoàn Quỳnh- Nguyễn Huy – Nguyễn xuân Liêm- Đặng Hùng Thắng 3. Học và ôn tập toán Lượng giác 11- NXB Đại học quốc gia Hà Nội năm 2007 (Lê Bích Ngọc- Lê Hồng Đức ) 4.Học và ôn tập toán Đại số và Giải tích 11- NXB Đại học quốc gia Hà Nội năm 2007 ( Lê Bích Ngọc- Lê Hồng Đức ) 5. Chuyên đề đại số ôn thi đại học NXB Đại học quốc gia Hà Nội năm 1994 (Lê Quang Ánh-Nguyễn Thành Dũng-Trần Thái Hùng) 6.Tuyển chọn 400 bài tập toán 12 NXB Đại học quốc gia thành phố HỒ CHÍ MINH (Đậu thế Cấp – Nguyễn văn lộc) 7.Tạp chí toán học tuổi trẻ MỤC LỤC Trang Phần mở đầu 01 Lý do chọn đề tài ...01 Phần thứ hai nội dung . 04 Hệ thống kiến thức.. .05 Các dạng bài tập và phương pháp giải. ..05 Nội dung bài tập 06 Bài tập rèn luyện ...25 Phần thứ III :kết luận26 Phần thứ IV :Kết quả ...26 Phần thứ V:Kiến nghị ..27 Tài liệu tham khảo 29