Đề tài Ứng dụng nhịthức newton trong tính tổng của biểu thức

ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 1 A. LÍ DO CHỌN ðỀ TÀI: Trong xu thế ñổi mới phương pháp dạy và học của Bộ Giáo dục và ñào tạo trong những năm vừa qua thì phương pháp tạo cho học sinh có khả năng tư duy từ một số bài toán ñể từ ñó có thể tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo ñược các giáo viên chú ý và ñược Bộ khuyến khích nhất. Vì thế hầu hết các giáo viên ñều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên ñề về một mảng kiến thức nào ñó trong trường phổ thông. Bài toán ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC trong chương trình lớp 11 là một trong những bài toán nhiều dạng hay, chứa ñựng nhiều tính tư duy logic phù hợp nhiều ñối tượng học sinh từ Trung bình cho ñến học sinh Khá giỏi. ðể làm bài toán dạng này ñòi hỏi phải nắm vững một số công thức liên quan ñến tổ hợp và các tính chất của nhị thức Newton. ðây là một trong những dạng toán chiếm tỷ lệ không nhiều trong chương trình nhưng có rất nhiều dạng toán liên quan. Do ñó, tôi chỉ trình bày trong chuyên ñề một phần ứng dụng là tính tổng của biểu thức mà trong một số ñề thi tuyển sinh ñại học, cao ñẳng thường gặp. Là giáo viên giảng dạy ở THPT Nam Hà tôi thấy nhìn chung ñối tượng học sinh ở mức Trung bình khá (một số ít là HSG). Do ñó, chuyên ñề này chỉ ñược viết ở mức ñộ tư duy vừa phải, phân loại bài tập từ dễ ñến khó ñể học sinh tiếp cận một cách ñơn giản nhằm từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn ñề. Qua ñó các em có thể hoàn thành tốt bài kiểm tra, ñề thi học kỳ cũng như ñề thi tuyển sinh ðHCð. ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 2 B. NỘI DUNG CHUYÊN ðỀ: I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON: 1. Công thức: n N*∈( ) 2. Các tính chất: 2.1. Trong khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng. Nếu n là số chẵn thì có 1 số hạng ñứng giữa là số hạng thứ n +1 2 . Nếu n là số lẻ thì có 2 số hạng ñứng giữa là số hạng thứ n +1 2 và n +1 +1 2 2.2. Mỗi số hạng có tổng số mũ của a và b là n. 2.3. Số hạng tổng quát thứ k + 1 là: k n-k kk +1 nT = C a b 2.4. 0 1 2 3 n n nn n n n nC + C + C + C + ... + C = (1+1) = 2 2.5. 0 1 2 3 n n nC - C + C - C + ... + (-1) C = (1-1) = 0n n n n n II. CÁC DẠNG TÍNH TỔNG CỦA MỘT BIỂU THỨC: 1. Dạng 1: VD1: Khai triển (1 + x)n. Từ ñó tính: 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7S = 1- 2C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C Giải: Ta có: ( )n 0 1 2 2 n nn n n n1 + x = C + C x + C x + ... + C x Thế x = -2 và n = 7 vào khai trển trên ta ñược: 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 S = 1- 2C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C = (-1) = -1 VD2: Tìm số tự nhiên n thỏa: n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n 6021n n n n5 C + 5 3C + 5 3 C + ... + 3 C = 2 Giải Ta có: ( )n 0 n 1 n 2 n - 2 2 n nn n n na + b = C a + C a b + C a b + . . . + C b Thế a = 5 và b = 3 vào khai triển trên: n n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n n n n n8 = 5 C +5 3C +5 3 C + ... +3 C⇒ n 6021 n 20078 = 2 8 = 8 n = 2007⇔ ⇔ ⇔ ( )n 0 n 1 n-1 k n-k k n-1 n-1 n nn n n n na + b = C a +C a b +...+C a b + ... +C ab +C b ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 3 Vậy n =2007. VD3: (ðề Cð Xây dựng số 2 - 2006) (HS tự giải) Chứng minh: 0 n 1 n-1 2 n-2 n n 0 1 2 nn n n n n n n nC 3 - C 3 + C 3 -...+ (-1) C = C + C + C + ...+ C VD4: (ðề ðH - Khối D - 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 1 2 n nn n n nC + 2C + 4C + ... + 2 C = 243 (Hs tự giải VD3) 2. Dạng 2: VD5: CMR: 0 2 4 2n 1 3 5 2n-1 2n-12n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC + C + C + ... + C = C + C + C + ... + C = 2 Giải Ta có: 0 1 2 3 2n-1 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC - C + C - C + ... - C + C = 0 0 2 2n 1 3 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2nC + C +...+ C = C + C + ... + C⇔ (1) Ta có: 0 1 2 3 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 0 1 2 3 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 0 2 2n 2n 2n 2n 2n 0 2 2n 2n-1 2n 2n 2n C + C + C + C + ... + C + C = 2 C - C + C - C + ... - C + C = 0 2(C + C + ... + C ) = 2 C + C + ... + C = 2 (2)    ⇒ ⇔ (1), (2) suy ra: 0 2 4 2n 1 3 5 2n-1 2n-12n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC + C + C + ... + C = C + C + C + ... + C = 2 VD6: Tính tổng: a) 0 2 4 20082008 2008 2008 2008S = C + C + C + ... + C b) 0 2 2 4 4 2010 20102011 2011 2011 2011S = C + 3 C + 3 C + ... + 3 C c) 1 3 3 5 5 2009 20092010 2010 2010 2010S = 3.C + 3 .C + 3 .C + ... + 3 .C Giải a) Ta có: ( ) 0 1 2 3 2007 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 0 1 2 3 2007 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 0 2 2008 2008 2008 2008 2008 0 2 2008 2007 2008 2008 2008 C + C + C + C + ... + C + C = 2 C - C + C - C + ... - C + C = 0 2 C + C + ... + C = 2 C + C + ... + C = 2    ⇒ ⇔ Vậy 2007S = 2 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 4 b) Ta có: 0 1 2 2 3 3 2010 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 0 1 2 2 3 3 2010 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 0 2 2 2010 2011 2011 201 C + 3C + 3 C + 3 C + ... + 3 C + 3 C = 4 C - 3C - 3 C - 3 C - ... + 3 C - 3 C = -2 2 C + 3 C + ... + 3 C    ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2010 2011 2011 1 0 2 2 2010 2010 2011 2011 2011 2011 2011 0 2 2 2010 2010 2010 2011 2011 2011 2011 = 4 - 2 2 C + 3 C + ... + 3 C = 2 2 -1 C + 3 C + ... + 3 C = 2 2 -1 ⇔ ⇔ Vậy ( )2010 20112 2 -1 c) Tương tự (HS tự giải) VD7: (ðH Vinh – D-2001) CMR: 0 2 2 4 4 2000 2000 2000 20012001 2001 2001 2001C + C 3 + C 3 + ... + C 3 = 2 (2 -1) Giải Ta có: ( )2001 0 1 2 2 3 3 2000 2000 2001 20012001 2001 2001 2001 2001 20011+3 = C + C 3+ C 3 + C 3 + ... + C 3 + C 3 ( )2001 0 1 2 2 3 3 2000 2000 2001 20012001 2001 2001 2001 2001 20011-3 = C - C 3+ C 3 - C 3 + ... + C 3 - C 3 Cộng vế theo vế ta ñược: ( ) ( ) 2001 2001 0 2 2 4 4 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2001 2001 0 2 2 4 4 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2000 2001 0 2 2 4 4 2000 2000 2001 2001 2001 2001 4 - 2 = 2 C + C 3 + C 3 + ... + C 3 2 (2 -1) = 2 C + C 3 + C 3 + ... + C 3 2 (2 -1) = C + C 3 + C 3 + ... + C 3 ⇔ ⇔ Vậy: 0 2 2 4 4 2000 2000 2000 20012001 2001 2001 2001C + C 3 + C 3 + ... + C 3 = 2 (2 -1) (ñpcm) VD8: (ðề Cð Y Tế 1 - 2006) (HS tự giải) Tìm số tự nhiên thỏa mãn hệ thức sau: ( )0 2 2 2k 2k 2n-2 2n-2 2n 2n 15 162n 2n 2n 2n 2nC + C 3 +... + C 3 + ... + C 3 + C 3 = 2 2 +1 3. Dạng 3: VD9: Tính tổng: 0 1 3 n2n+ 1 2n+ 1 2n + 1 2n+ 1S = C + C + C + ... + C Giải Ta có: k n-kn nC = C Suy ra: ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 5 0 2n +1 2n +1 2n +1 1 2n 2n +1 2n +1 n n +1 2n +1 2n +1 0 1 n n +1 2n 2n +1 2n +1 2n +1 2n +1 2n +1 2n +1 2n +1 C = C C = C ... C = C C + C + ... + C = C + ... + C + C        ⇒ Mà: 0 1 n n +1 2n 2n +1 2n +12n +1 2n +1 2n +1 2n +1 2n +1 2n +1C + C + ... + C + C + ... + C + C = 2 ( )0 1 n 2n +12n +1 2n +1 2n +1 0 1 n 2n 2n +1 2n +1 2n +1 2 C + C + ... + C = 2 C + C + ... + C = 2 ⇒ ⇔ Vậy 2nS = 2 VD10: Tính tổng: 0 1 3 1005201 1 201 1 201 1 201 1S = C + C + C + ... + C (HS tự giải) VD11: (ðề ðH - Khối A - 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của n 7 4 1 + x x       , biết rằng 1 2 n 202n+ 1 2n + 1 2n + 1C + C + ... + C = 2 -1 . 4. Dạng 4: VD12: (ðH Luật TPHCM – A-2001) CMR: 1 n-1 2 n-2 3 n-3 n n-1n n n nC 3 + 2.C 3 + 3.C 3 + ... + n.C = n.4 Giải Ta có: ( )n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 3 n-3 3 n nn n n n n3 + x = C 3 + C 3 x + C 3 x + C 3 x + ... + C x Lấy ñạo hàm hai vế: ( )n-1 n-1 1 n-2 2 n-3 2 3 n-1 nn n n nn 3 + x = 3 C + 2.3 C + 3.3 x C + ... + nx C⇒ Thế x = 1 vào khai triển trên: ( )n-1 n-1 1 n-2 2 n-3 3 nn n n nn 3 +1 = 3 C + 2.3 C + 3.3 C + ... + nC⇒ Vậy: 1 n-1 2 n-2 3 n-3 n n-1n n n nC 3 + 2.C 3 + 3.C 3 + ... + n.C = n.4 (ðpcm) VD13: Giải bất phương trình: 1 2 3 n n n n nC + 2C + 3C + ... + nC n(7 - n)≤ n *∈ℕ( ) Giải Ta có: ( )n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1 + x = C + C x + C x + C x + ... + C x ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 6 Lấy ñạo hàm hai vế: ( )n -1 1 2 2 2 n -1 nn n n nn 1 + x = C + 2xC + 3x C + ... + nx C⇒ Thế x = 1 vào khai triển trên: n-1 1 2 2 n n n n nn.2 = C + 2C + 3C + ... + nC⇒ n-1 n -1 n.2 n.(7 - n) 2 + n 7 n 3 ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ . Do n *∈ℕ nên { }n 1; 2;3∈ VD14: (ðH Tiền Giang – 2003) CMR: 1 3 2n-1 2 4 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC + 3C +... + (2n -1)C = 2C + 4C + ...+ 2nC Giải Ta có: ( )n 0 1 2 2 3 3 4 4 2n-1 2n-1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n1- x = C - C x + C x - C x + C x - ... - C x + C x Lấy ñạo hàm hai vế ta ñược: ( )n-1 1 2 3 2 4 3 2n-1 2n-2 2n 2n-12n 2n 2n 2n 2n 2nn 1- x = -C + 2C x -3C x + 4C x - ... - (2n -1)C x + 2nC x⇒ Thế x = 1 ta ñược: 1 2 3 4 2n -1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 3 2n -1 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n - C + 2C - 3C + 4C - ... - (2n - 1)C + 2nC = 0 C + 3C + ... + (2n - 1)C = 2C + 4C - ... + 2nC ⇔ Vậy: 1 3 2n-1 2 4 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC + 3C +... + (2n -1)C = 2C + 4C + ...+ 2nC VD15: Tính tổng: 0 2 2 4 4 2010 2010 2010 2010 2010 2010S = 2010.C + 2008.C 2 + 2006.C 2 + ... + C 2 Giải: Ta có: ( )2010 0 2010 1 2009 2 2008 2 3 2007 3 2009 2009 2010 20102010 2010 2010 2010 2010 2010x +2 =C x +C x 2+C x 2 +C x 2 + ... +C x2 +C 2 ( )2010 0 2010 1 2009 2 2008 2 3 2007 3 2009 2009 2010 20102010 2010 2010 2010 2010 2010x-2 =C x -C x 2+C x 2 -C x 2 + ... -C x2 +C 2 Cộng vế theo vế ta ñược: ( ) ( )2010 2010 0 2010 2 2008 2 2010 20102010 2010 2010x + 2 + x - 2 = 2(C x + C x 2 + ... + C 2 ) Lấy ñạo hàm 2 vế ta ñược: ( ) ( )2009 2009 0 2009 2 2007 2 2010 20102010 2010 20102010. x +2 + 2010. x -2 = 2(2010C x + 2008C x 2 +...+C 2 ) Thế x = 1 ta ñược: ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 7 2009 0 2 2 2010 2010 2010 2010 2010 2009 0 2 2 2010 2010 2010 2010 2010 2010.3 - 2010 = 2(2010C + 2008C 2 +...+ C 2 ) 1005.(3 -1) = 2010C + 2008C 2 +...+ C 2⇔ Vậy: 2009S =1005.(3 -1) 5. Dạng 5: VD16: Tính tổng: 2 3 20102010 2010 2010S = 1.2.C - 2.3.C + ... + 2009.2010.C Giải Ta có: ( )2010 0 1 2 2 3 3 2010 20102010 2010 2010 2010 20101- x = C - C x + C x - C x + ... + C x (1) Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược: ( )2009 1 2 3 2 2010 20092010 2010 2010 2010-2010 1-x =-C +2.C x-3.C x + ... + 2010.C x⇒ (2) Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược: ( )2008 2 3 2010 20082010 2010 20102009.2010. 1-x =1.2.C -2.3.C x+ ... + 2009.2010.C x⇒ (3) Thế x = 1 vào hai vế của (3) ta ñược: 2 3 2010 2010 2010 20100 = 1.2.C - 2.3.C + ... + 2009.2010.C Vậy S = 0 VD17: Tính tổng: 2 1 2 2 2 20112011 2011 2011S = 1 C + 2 C + ... + 2011 C Giải Ta có: ( )2011 0 1 2 2 3 3 2011 20112011 2011 2011 2011 20111 + x = C + C x + C x + C x + ... + C x (1) Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược: ( )2010 1 2 3 2 2011 20102011 2011 2011 20112011 1+x =C +2.C x+3.C x + ... + 2011.C x⇒ (2) Nhân x vào hai vế của (2) ta ñược: ( )2010 1 2 2 3 3 2011 20112011 2011 2011 20112011x 1+x =C x+2.C x +3.C x + ... + 2011.C x⇒ (3) Lấy ñạo hàm hai vế của (3) ta ñược: ( )( )2009 1 2 2 2 3 2 2 2011 20102011 2011 2011 20112011 1+2011x 1+x =C +2 .C x+3 .C x + ... + 2011.C x⇒ (4) Thế x = 1 vào hai vế của (4) ta ñược: Vậy 2009S = 2011.2012.2 6. Dạng 6: VD18: CMR: ( )0 1 2 n n+1n n n n1 1 1 1C + C + C + ... + C = 2 -12 3 n +1 n +1 Giải Ta có: ( )n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1 + x = C + C x + C x + C x + ... + C x ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 0 2 3 n+1 n+1 0 1 2 n n n n n n+1 0 1 2 n n n n n 1 + x dx = C + C x + C x + C x + ... + C x dx 1 11 x x x1 + x = xC + C + C + ... + C 0 0n +1 2 3 n +1 1 1 1 12 -1 = C + C + C + ... + C (dpcm) n +1 2 3 n +1 ⇒   ⇔     ⇔ ∫ ∫ VD19: (ðH ðà Nẵng – A-2001) Tính tổng: 0 1 2 2 3 n n+1n n n n 1 1 1S = C 2 + C 2 + C 2 + ... + C 2 2 3 n +1 Giải Ta có: ( )n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1+ x = C + C x + C x + C x + ... + C x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 0 2 3 n+1 n+1 0 1 2 n n n n n n+1 0 1 2 2 3 n n+1 n n n n 1 + x dx = C + C x + C x + C x + ... + C x dx 2 21 x x x1 + x = xC + C + C + ... + C 0 0n +1 2 3 n +1 1 1 1 13 -1 = C 2 + C 2 + C 2 + ... + C 2 n +1 2 3 n +1 ⇒   ⇔     ⇔ ∫ ∫ Vậy: ( )n+11S = 3 -1 n +1 VD20: (B-2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: 2 3 n+1 0 1 2 n n n n n 2 -1 2 -1 2 -1S = C + C + C + ... + C 2 3 n +1 Giải Ta có: ( )n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1+ x = C + C x + C x + C x + ... + C x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1 1 2 3 n+1 n+1 0 1 2 n n n n n 2 3 n+1 n+1 n+1 0 1 2 n n n n n 1 + x dx = C + C x + C x + C x + ... + C x dx 2 21 x x x1 + x = xC + C + C + ... + C 1 1n +1 2 3 n +1 1 2 -1 2 -1 2 -13 - 2 = C + C + C + ... + C n +1 2 3 n +1 ⇒   ⇔     ⇔ ∫ ∫ Vậy: ( )n+1 n+11S = 3 - 2 n +1 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 9 7. Dạng 7: VD21: Tìm 4 chữ số cuối cùng của 11211. Giải Ta có: 11211 = (10 + 1)211 = 0 211 1 210 208 3 209 2 210 211211 211 211 211 211 211C 10 +C 10 +...+C 10 +C 10 +C 10+C Bốn chữ số cuối của 11200 phụ thuộc vào tổng của bốn chữ cuối của bốn số hạng cuối trong khai triển: 5000 + 5500 + 2110 + 1 = 12.611 Vậy 4 chữ số cuối là 2611 VD22: Tìm 3 chữ số cuối cùng của 3159 . (HS tự giải) 8. Dạng 8: Một số dạng khác: VD23: Tính tổng sau: 0 2006 1 2005 2 2004 k 2006-k 2006 02007 2007 2007 2006 2007 2005 2007 2007-k 2007 1S=C C +C C +C C +...+C C +...+C C Giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) k 2006-k 2007 2007-k 2007 - k !2007! 2007!C C = = k! 2007 - k ! 2006 - k ! k! 2006 - k ! ( ) k 2006 2006! = 2007 = 2007C k! 2006 - k ! Suy ra: ( ) =0 1 2006 20062006 2006 2006S = 2007 C + C +...+ C 2007.2 VD24: (ðH Kinh tế TPHCM – 2006) Tìm số tự nhiên n thỏa: 0 2 4 2n4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2C + C + C + ... + C = 256 Giải Ta có: 0 1 2n 2n +1 2n + 2 4n +1 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2C + C + ... + C + C + C + ... + C + C = 2 0 1 2n 2n +1 2n + 2 4n +1 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2C - C + ... + C - C + C - ... - C + C = 0 Cộng vế theo vế ta ñược: 0 2 2n 2n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 0 2 2n 2n + 2 4n 4n + 2 4n +1 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 2(C + C + ... + C + C + ... + C ) = 2 C + C + ... + C + C + ... + C + C = 2 (1 ) ⇔ Mà: k m -km mC = C Do ñó: 0 4n + 2 4n + 2 4n + 2C = C 2 4n 4n + 2 4n + 2C = C ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 10 2n 2n + 2 4n + 2 4n + 2C = C 0 2 2n 4n +1 4n + 2 4n + 2 4n + 2 0 2 2n 4n 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n 4n 8 (1 ) 2 (C + C + ... + C ) = 2 C + C + ... + C = 2 2 = 256 2 = 2 n = 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy: n = 2 III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1: a) Trong khai triển 102 )12( x x − . Tìm hệ số của số hạng chứa x8 b) Tìm 2 số hạng ñứng giữa trong khai triển 153 )( xyx − c) Tìm x ñể số hạng thứ 4 trong khai triển ( )6123 xx + bằng 200 d) Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển ( )6123 2 xx + bằng 150 e) Khai triển: (1 + x)5. Từ ñó tính tổng sau: S 1 2 3 4 55 5 5 5 52 3 4 5 1 1 1 1 1 = 1+ C + C + C + C + C 2 2 2 2 2 f) Tìm hệ số của số hạng thứ tám trong khai triển của (x2 – 2 x)12. Và tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức trên. g) Khai triển: (1 + x)5 . Từ ñó tính tổng S 1 2 2 3 3 4 4 5 55 5 5 5 5= 1- 3C + 3 C - 3 C + 3 C - 3 C h) Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển (x3 + xy)15 i) Tìm hệ số của x35y10 trong khai triển (x + x3y)15 j) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển ( 2x - 3y )6 . k) Cho nhị thức (2x – 3x2)7. Tìm hệ số của x10. Bài 2: Khai triển (1 + x)n. Từ ñó tính 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 77 7 7 7 7 7 7S = 1- 2C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C Bài 3: Giải phương trình: n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n 6021n n n n5 C + 5 3C + 5 3 C + ... + 3 C = 2 Bài 4: Giải bất phương trình: 1 2 3 nn n n nC + 2C + 3C + ... + nC n(7 - n)≤ Bài 5: CMR: ( )0 1 2 n n+1n n n n1 1 1 1C + C + C + ... + C = 2 -12 3 n +1 n +1 Bài 6: Trong khai triển ( )164 32 + 3 có bao nhiêu số hạng nguyên ? ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 11 Bài 7: Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển ( )6123 2 xx + bằng 150. Bài 8: Tính tổng 2 2 3 3 n+1 n+1 0 1 2 n n n n n 5 - 3 5 - 3 5 - 3S = 2C + C + C + ...+ C 2 3 n +1 Bài 9: Biết tổng hệ số của 3 số hạng ñầu tiên trong khai triển n 3 15 28 1 x x + x       bằng 79. Hãy tìm số hạng không chứa x. Bài 10: Trong khai triển của nhị thức 4 n1P = x + 2 x       , ba hệ số ñầu theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm các số hạng có lũy thừa của x là số nguyên. Bài 11: Chứng minh rằng: a) 0 1 2 2 n n nn n n nC + 9C + 9 C + ... + 9 C = 10 b) n 0 1 2 n nn n n n2 n 1 1 15 C + C + C + ... + C = 6 5 5 5       c) 0 2 4 2n 1 3 5 2n-1 2n-12n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC + C + C + ... + C = C + C + C + ... + C = 2 d) 0 2 4 2008 20072008 2008 2008 2008C + C + C + ... + C = 2 e) ( )0 2 2 4 4 2006 2006 2006 20072007 2007 2007 2007C + 3 C + 3 C + ... + 3 C = 2 2 -1 f) 1 3 3 5 5 2009 2009 2009 20102010 2010 2010 20103.C + 3 .C + 3 .C + ... + 3 .C = 2 .(2 -1) Bài 12: Chứng minh rằng: a) 1 2 3 n n-1n n n nC + 2C + 3C + ... + nC = n.2 b) 1 2 3 n nn n n nC - 2C + 3C - ... + (-1) nC = 0 c) 0 1 2 3 n n-1n n n n nn.C - (n -1)C + (n - 2)C - (n - 3)C + ... + (-1) C = 0 d) 1 3 2n-1 2 4 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC + 3C + ... + (2n -1)C = 2C + 4C + ... + 2nC Bài 13: Chứng minh rằng: n 0 1 2 3 n n n n n n 1 1 1 (-1) 1C - C + C - C + ... + C = 2 3 4 n +1 n +1 Bài 14: (ðề ðH - Khối A - 2002) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 12 Bài 15: (ðề ðH - Khối D - 2002) Bài 16: (ðề ðH - Khối A - 2003) Bài 17: (ðề ðH - Khối B - 2003) Bài 18: (ðề ðH - Khối D - 2003) Bài 19: (ðề ðH - Khối A - 2004) Bài 20: (ðề ðH - Khối D - 2004) Bài 21: (ðề ðH - Khối A - 2006) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 13 Bài 22: (ðề Cð ðiện lực TPHCM - 2006) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển n 2 3 1 x + x       , biết rằng 1 3n nC + C =13n (n là số tự nhiên lớn hơn 2 và x là số thực khác 0). Bài 23: (ðề Cð Y Tế 1 - 2006) Bài 24: (ðề Cð kinh tế ñối ngoại - 2006) Bài 25: (ðề Cð kinh tế - 2006) Bài 26: (ðề CðSP TPHCM – Khối A - 2006) Bài 27: (ðề CðSP TPHCM – Khối B - 2006) Bài 28: (ðề Cð Xây dựng số 2 - 2006) Bài 29: (ðề Cð Cao Thắng - 2005) Bài 30: (ðề Cð Giao thông vận tải 3 - 2005) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 14 Bài 31: (ðề Cð Kinh tế Kỹ thuật công nghiệp II - 2005) Bài 32: (ðề CðSP TPHCM - Khối A - 2005) Bài 33: (ðề CðSP TPHCM - Khối B-D - 2005) Bài 34: (ðề ðH - Khối A - 2007) Bài 35: (ðề ðH - Khối B - 2007) Bài 36: (ðề ðH - Khối D - 2007) Hướng dẫn: Bài 1: a) Trong khai triển 2 101(2x - ) x , ta có số hạng thứ (k +1) là : k k2 10-k k k 20-3k k+1 10 10 1T = (x ) (- ) = (-1) x x C C . Nên : 20 – 3k = 8 ⇔ x = 4 Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là: 44 10 10!( 1) 210 4!6!C− = = b) Trong khai triển 153 )( xyx − 2 số hạng ñứng giữa là : ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 15 7 77 3 8 7 31 7 31 7 8 15 15 8 88 3 7 8 29 8 29 8 9 15 15 T = (-1) (x ) (xy) = - x y = -6435x y T = (-1) (x ) (xy) = x y = 6435x y C C C C c) Tìm x ñể số hạng thứ 4 trong khai triển ( )6123 xx + bằng 200 T4 = C36 ( ) ( )31233 xx = 200
419x =10
x = 19 410 d) Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển ( )6123 2 xx + bằng 150 T5 = C46 ( ) ( )41223 2 xx = 150
35x =10
x = 5 310 e) Khai triển: (1+x)5 = 0 1 2 2 3 3 4 4 5 55 5 5 5 5 5C + C x + C x + C x + C x + C x = 1+5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5 Thay = ½ ta ñược: (3/2)5 1 2 35 5 52 3 1 1 1 = 1+ C + C + C 2 2 2 4 5 5 54 5 1 1 243 + C + C = 2 2 32 f) Trong khai triển (x2 – 2 x)12. Số hạng thứ tám: 7 2 5 78 12 2T = C (x ) (- ) x Suy ra hệ số là: 712-128.C Gọi số hạng không chứa x: k k 2 12 k k k 2( 12 k)k 1 12 12 k 2 ( 2)T C( x ) ( ) C .x .x x− − + − = − = Tk+1 không chứa x khi 2(12 – k) = k hay k = 8. Vậy số hạng không chứa x là: 256. 812C g) (1 + x)5 = 0 1 2 2 3 3 4 4 5 55 5 5 5 5 5C +C x+C x +C x +C x +C x = 1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5 Thay = - 3 ta ñược: (- 2)5 1 2 2 3 3 4 4 5 55 5 5 5 5= 1- 3C + 3 C - 3 C + 3 C - 3 C = -32 h) Trong khai triển (x3 + xy)15 có số hạng tổng quát: 3(15 ) 45 2 1 15 15( )k k k k k kkT C x xy C x y− −+ = = Ta có 45 - 2k = 25 k = 10 k = 10  ⇔  i) Trong khai triển (x + x3y)15 có số hạng tổng quát 15 3 15 21 15 15( )k k k k k kkT C x x y C x y− ++ = = Ta có 15 2 35 10 10 k k k + = ⇔ = = j) Số hạng chính giữa trong khai triển ( 2x - 3y )6 là số hạng thứ 4. ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 16 T4 = 33 3 6 .. baC = 20.8x3.(-27y3) = - 4320x3y3 k) Nhị thức 2 7 7 7(2x -3x ) = x (2 - 3x) . Suy ra số hạng chứa x10 là số hạng thứ 4 Nên hệ số chứa x10 15120− = −3 4 37C .2 .3 Bài 2: Ta có: ( )n 0 1 2 2 n nn n n n1+ x = C + C x + C x + ... + C x Thế x = -2 và n = 7 vào khai trển trên ta ñược: 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7S = 1- 2C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C = (-1) = -1 Bài 3: Ta có: ( )n 0 n 1 n 2 n -2 2 n nn n n na + b = C a + C a b + C a b + ... + C b Thế a = 5 và b = 3 vào khai triển trên: n n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n n 6021 n 2007 n n n n8 =5 C +5 3C +5 3 C + ... +3 C Û8 =2 8 =8 n =2007⇒ ⇒ ⇒ Bài 4: Ta có: ( )n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1+ x = C + C x + C x + C x + ... + C x Lấy ñạo hàm hai vế: ( )n-1 1 2 2 2 n-1 nn n n nn 1+ x = C + 2xC + 3x C + ... + nx C⇒ Thế x = 1 vào khai triển trên: n-1 1 2 2 nn n n nn.2 = C + 2C +3C + ... + nC⇒ n-1 n-1n.2 n.(7 - n) 2 + n 7 n 3⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ . Vậy { }n 1;2;3∈ Bài 5: Ta có: ( )n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1+ x = C + C x + C x + C x + ... + C x ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 0 2 3 n+1 n+1 0 1 2 n n n n n n+1 0 1 2 n n n n n dx = C + C x + C x + C x + ... + C x dx 1 11 x x x1 + x = xC + C + C + ... + C 0 0n +1 2 3 n +1 1 1 1 12 -1 = C + C + C + ... + C (dpcm) n +1 2 3 n +1 ⇒   ⇔     ⇔ ∫ ∫ Bài 6: ( ) ( )16-k kk 4 3k+1 16T = C 2 3 = k16-k k 34 16C 2 .3 Tk + 1 là số nguyên { } { } { } 0 k 160 k 16 (16 - k) 4 k 0;4;8;12;16 k 0;12 k 3 k 0;3;6;9;12;15  ≤ ≤≤ ≤  ⇔ ⇔ ∈ ⇔ ∈    ∈  ⋮ ⋮ Vậy có 2 số hạng là số nguyên: ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 17 ( ) ( )16 00 4 31 16T = C 2 3 = 32 ; ( ) ( )4 1212 4 313 16T = C 2 3 = 294840 Bài 7: Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển ( )6123 2 xx + bằng 150 T5 = ( ) ( )2 434 2 126C x x = 150 ⇔ 53x =10 ⇔ x = 5 310 Bài 8: Tính tổng 2 2 3 3 n+1 n+1 0 1 2 n n n n n 5 -3 5 -3 5 - 3S = 2C + C + C +...+ C 2 3 n +1 Ta có: ( )n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1+ x = C + C x + C x + C x + ... + C x ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 3 3 5 5 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 3 3 2 3 n +1 n +1 0 1 2 n n n n n 2 2 3 3 n +1 n +1 n +1 n +1 0 1 2 n n n n n 1 + x dx = C + C x + C x + C x + ... + C x dx 1 x x x1 + x = xC + C + C + ... + C n + 1 2 3 n + 1 1 5 - 3 5 - 3 5 - 36 - 4 = 2C + C + C + ... + C n + 1 2 3 n + 1 ⇒   ⇔     ⇔ ∫ ∫ Vậy S = 1 16 4 1 n n n + + − + Bài 9: Tổng hệ số của 3 số hạng trong khai triển trên là 0 1 2n n nC + C + C = 79 n =12⇔ Khi ñó: 12-k12 4 -28k 28k12 12 16-k k3 3 3 15 15 12 1215 1528 28 k=0 k=0 = = C x = C n1 1 x x + x x + x x x x                 ∑ ∑ Theo ñề: 4816 - k = 0 k = 515 ⇔ Vậy số hạng không chứa x là 5C = 49512 . Bài 10: n = 8 ⇒ các số hạng có lũy thừa nguyên là To, T4, T8 Bài 14: (ðề ðH - Khối A - 2002) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 18 Bài 15: (ðề ðH - Khối D - 2002) Bài 16: (ðề ðH - Khối A - 2003) Bài 17: (ðề ðH - Khối B - 2003) Bài 18: (ðề ðH - Khối D - 2003) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 19 Bài 19: (ðề ðH - Khối A - 2004) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 20 Bài 20: (ðề ðH - Khối D - 2004) Bài 21: (ðề ðH - Khối A - 2006) Bài 22: (ðề Cð ðiện lực TPHCM - 2006) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 21 Bài 23: (ðề Cð Y Tế 1 - 2006) Bài 24: (ðề Cð kinh tế ñối ngoại - 2006) Bài 26: (ðề CðSP TPHCM – Khối A - 2006) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 22 Bài 27: (ðề CðSP TPHCM – Khối B - 2006) Bài 28: (ðề Cð Xây dựng số 2 - 2006) Bài 29: (ðề Cð Cao Thắng - 2005) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 23 Bài 30: (ðề Cð Giao thông vận tải 3 - 2005) Bài 31: (ðề Cð Kinh tế Kỹ thuật công nghiệp II - 2005) Bài 32: (ðề CðSP TPHCM - Khối A - 2005) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 24 Bài 33: (ðề CðSP TPHCM - Khối B-D - 2005) Bài 34: (ðề ðH - Khối A - 2007) Bài 35: (ðề ðH - Khối B - 2007) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 25 Bài 36: (ðề ðH - Khối D - 2007) -----Hết-----