Đề tài Ứng dụng tính đơn điệu Hàm số y = ax + b để chứng minh Bất Đẳng Thức

MỤC LỤC ---c&d--- PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU Trang 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU 5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 6 THỜI GIAN NGHIÊN CỨU PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI II.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN II.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI II.3 MỘT SỐ GIẢI PHÁP 1. YÊU CẦU VỀ KIẾN THỨC 2. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP PHẦN III KẾT LUẬN 1 KẾT LUẬN 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN IV ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 / LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. - Căn cứ phương hướng, nhiệm vụ năm học của ngành Giáo dục, của Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng ngãi về dạy chuyên sâu, dạy học xoáy sâu vào những vấn đề trọng tâm. - Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT Số 1 Nghĩa Hành năm học 2012-2013. - Trong nhiều năm tham gia giảng dạy Toán THPT, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10, 11, 12. Đa số học sinh nhận thức còn chậm chưa tự phân loại, hệ thống được kiến thức để tự mình ôn tập chuyên sâu những vấn đề trọng tâm cần thiết để đáp ứng với các kì thi, do đó giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn. - Trong chương trình toán THPT, theo yêu cầu của Xã hội và của Ngành , những kiến thức dạy trên lớp chỉ cung cấp cho các em học sinh THPT theo chuẩn kiến thức cho nên đã có ít nhiều khó khăn trong việc vận dụng để giải Toán trong các kì thi, đặc biệt là các kì thi tuyến sinh. - Vì những lí do như thế trong nhiều năm giảng dạy bản thân luôn trăn trở là làm thế nào để giúp học sinh cuối cấp có thể hệ thống được những kiến thức cơ bản đủ rộng của bộ môn và có kỷ năng vận dùng vào giải toán trong các kì thi . - Đề thi tuyển sinh ngày yêu cầu càng cao vận dụng kiến thức toàn cấp ngày càng rộng, về phân môn Đại số và Giải tích đã có nhiều bài viết về vận dụng tính Đơn diêu để tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. Tuy nhiên về ứng dụng tính đơn điệu của hàm dạng y = ax + b thì chưa nhiều. Thấy được các vấn đề đó, bản thân cũng muốn làm một việc gì đó để góp phần cùng đồng nghiệp giúp học sinh, đặc biệt là học sinh cuối cấp rèn luyện kỷ năng giải toán tôi xin đưa ra một kinh nghiệm nhỏ của bản thân về “ Ứng dụng tính đơn điệu của Hàm số dạng y = ax + b để chứng minh Bất đẳng thức “ với hy vọng góp phần nhỏ bé vào đổi mới phương pháp dạy học nhằm đem lại kết quả tốt trong quá trình giảng dạy của bản thân và đồng nghiệp cũng như tạo được sự hứng khởi trong việc học của học sinh. 2/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Mục đích của việc “ Ứng dụng tính đơn điệu của Hàm số dạng y = ax + b để chứng minh Bất đẳng thức “ là nhằm đơn giản hóa bài Toán phức tạp, quan trọng là tìm ra phương pháp ( các bước rõ ràng ) để giải một bài toán khó bởi những công việc đơn giản hơn ( có tính chất thuật toán) mà lại cho kết quả tốt hơn bằng những phương pháp giải khác . 3/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Về phương pháp: Nghiên cứu về phương pháp giảng dạy bộ môn Toán bậc THPT Đổi mới phương pháp dạy học. Về kiến thức: Nắm vững về việc xét tính đơn điệu của hàm số. Nhận định, phân tích bài Toán, biết cách chọn ẩn, chọn hàm hố từ bài toán cần chứng minh. Rèn luyện kĩ năng quan sát, kĩ năng tính toán, kĩ năng vận dụng Đối với học sinh: Yêu cầu nắm vững kiến thức cơ bản, phương pháp phân tích biết chọn hàm số và biến số thích hợp và biết tổng hợp các mối quan hệ . Đối với học sinh khá giỏi giới thiệu và yêu cầu vận dụng phương pháp để giải các bài toán khó, mang tính chất tổng quát, nâng cao, vận dụng kiến thức tổng hợp một cách hài hòa, linh hoạt. 4/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Để thực hiện đề tài bản thân đã tiến hành đọc sách nghiên cứu,tham khảo, góp nhặt từ những bài toán cụ thể, từ những đề thi, trao đổi với đồng nghiêp, áp dụng vào giảng dạy, điều tra mức đố tiếp thu của học sinh và vận dụng và giải toán, từ đó rút kinh nghiệm, so sánh với các cách giải khác nhau tự đánh giá tích lũy. Phân tích suy luận, tìm hiểu để rút ra phương pháp cho việc áp dụng một vấn đề đơn giản để giải quyết vấn đề khó hơn, tìm ra “ thuật toán “ ( Phân tich, chọn ẩn số, xét hàm số trên đoạn phù hợp, nhận dạng tính đơn điệu, tính giá trị của biểu thức, chứng minh biểu thức âm hoặc dương ).Tổng hợp viết thành đề tài “ Sáng kiến kinh nghiệm “. 5/ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU: Trong suốt nhiều năm giảng dạy những năm cuối cấp, tiếp xúc với học sinh, tiếp cận với các đề thi tuyển sinh, và tham gia ôn luyện để học sinh tham gia các kì thi tuyển sinh, bồi dưỡng học sinh giỏi bản thân luôn mong mõi giúp học sinh học ham học Toán, có thể học tốt môn Toán, nên cố gắng nghiên cứu, tìm hiểu để tìm ra những phương pháp khả thi nhằm giúp học sinh học , cùng đồng nghiệp nâng dần chất lượng giảng dạy Toán tại trường THPT Nghĩa Hành. PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI II.1 CỞ SỞ LÝ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn Toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học Toán . - Bất đẳng thức, là một vấn đề khó việc tìm ra phương pháp chứng minh bất đẳng thức là rất cần thiết, tính đơn điệu của hàm số nói chung; hàm số bậc nhất nói riêng nếu biết vận dụng một cách linh hoạt, khéo léo có thể là một phương pháp hay và đơn giản để chứng minh bất đẳng thức có chứa tham số hoặc bất đẳng thức chứa nhiều biến. II.2: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI. - Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức thường là một bài Toán khó trong các đề thi tuyển sinh. Do đó việc tìm ra phương pháp chứng minh bất đẳng thức là rất cần thiết. Nhằm nâng cao năng lực chuyên môn , đổi mớ phương pháp dạy học trong từng bài giảng , tạo sự hứng thú học tập cho học sinh , góp phần rèn luyện tư duy, năng lực, khả năng quan sát và vận dụng vào giải toán. Từ một bài toán chứng minh bất đẳng thức, nếu biết phân tích và dùng tính đơn điệu để chứng minh thì ta sẽ giải quyết nhanh và hoàn thành được việc chứng minh bài toán ( kết thúc được vấn đề ), Mấu chốt của vấn đề là phương pháp “ Ứng dụng tính đơn điệu của Hàm số dạng y = ax + b để chứng minh Bất đẳng thức “ là nhằm đơn giản hóa bài Toán phức tạp, quan trọng là tìm ra hướng giải cho một loạt các bài toán về chứng minh bất đẳng thức. II.3: CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN. 1/ YÊU CẦU VỀ KIẾN THỨC: Về kiến thức cần nắm một số kiến thức cơ bản sau: Cho hàm số bậc nhất: Tính chất 1: Nếu a > 0 : Hàm số luôn đồng biến trên R. Nếu a < 0 : Hàm số luôn nghịch biến trên R. Nếu a = 0 : Hàm số không đổi trên R Tính chất 2 : Đồ thị của hàm số là một đường thẳng cắt trục Ox tại điểm và cắt trục Oy tại (0 ; b). Do đó nếu xét hàm số trên đoạn [] thì đồ thị của hàm số khi đó là một đoạn thẳng có hai đầu mút là và . Từ đó, suy ra với mọi xthì * . * Từ đó để chứng minh : ta cần chứng minh và để chứng minh ta cần chứng minh . Đặc biêt : Nếu f(x) tăng, để chứng minh ta chỉ cần chứng minh và để chứng minh ta chỉ cần chứng minh . Ngược lại, Nếu f(x) giảm, để chứng minh ta chỉ cần chứng minh và để chứng minh ta chỉ cần chứng minh . 2/ MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA : Ví dụ 1 : Chứng minh rằng với mọi m thì với mọi . Lời giải : Ta có : Đặt với m. Ta thấy f(m) là hàm số bậc nhất theo biến m có hệ số của m là -2x + 3 > 0 ( vì nên f(m) đồng biến, do đó với mọi m. Tức là ( do -4 ) Ví dụ 2 : Chứng minh rằng với mọi thì với mọi . Lời giải : Ta có Xét hàm số Ta thấy f(m) là hàm số bậc nhất theo biến m có hệ số của m là -6x + 1 < 0 ( vì x 1 ) nên f(m) nghịch biến, do đó với mọi m. Tức là : ( đúng với mọi ). Ví dụ 3 : Cho x, y, z . Chứng minh rằng : . Lời giải : Ta có : Xét hàm số trên đoạn [0 ; 1], ta có Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành (Đ) thì f(x) là một hàm số bậc nhất. Do đó để chứng minh với mọi ta chỉ cần chứng minh và . Thật vậy, dễ thấy Vậy bất đẳng thức đúng. Ví dụ 4 : Cho x, y, z . Chứng minh rằng : . Lời giải: Ta có: . Xét hàm số trên đoạn [0 ;2] Ta xem f(x) là hàm số theo biến x có hệ số của x là ( 2 – y – z ). Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ( Đúng vì ) Nếu thì f(x) là một hàm số bậc nhất. Do đó để với mọi ta chỉ cần chứng minh và . Thật vậy dễ thấy ( vì ) và ( vì ). Ví dụ 5 : Cho .Chứng minh rằng : Lòi giải : Từ giả thiết ta có , suy ra Cũng từ giả thiết và theo Bất đẳng thức Cauchy, ta có : suy ra . Vậy Bất đẳng thức cần chứng minh: . Xét hàm số: ( với biến yz có hệ số (1- 2x) ) trên đoạn [ Nếu thì ( Bất đẳng thức đúng ) Nếu thì là hàm số bậc nhất. Do đó, để chứng minh ta chỉ cần chứng minh và . Thật vậy và ( do ) Trong cả hai trường hợp ta đều có . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 6: Cho .Chứng minh rằng : . Lời giải: Từ giả thiết ta có và Cũng từ giả thiết và theo Bất đẳng thức Cauchy, ta có : suy ra . Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết Xét hàm số: ( với biến yz có hệ số (x - 2) ) trên đoạn [. Nếu x = 2 thì ( Hiễn nhiên đúng ). Nếu x 2 thì là hàm bậc nhất ( theo biến yz ). Vậy để chứng minh ta chỉ cần chứng minh và . Thật vậy và ( do ). Trong cả hai trường hợp ta đều có . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 7: Cho .Chứng minh rằng : Từ giả thiết ta có và Cũng từ giả thiết và theo Bất đẳng thức Cauchy, ta có : suy ra . Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết: Xét hàm số: ( với biến yz có hệ số (3x - 1) ) trên đoạn [. Nếu thì Bất đẳng thức hiễn nhiên đung. Nếu thì là hàm số bậc nhất. Do đó, để chứng minh ta chỉ cần chứng minh và . Thật vậy và ( do và ). Trong cả hai trường hợp ta đều có . Vậy bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 8: Cho . Chứng minh rằng . Lời giải: Ta có Vì Từ (*) suy ra . Xét hàm số với biến a2 trên [0;1]. Để chứng minh ta chỉ cần chứng minh . Nếu . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ( đúng vì ) Nếu thì là hàm số bậc nhất. Do đó, để chứng minh ta chỉ cần chứng minh và . Thật vậy ( đúng vì ) và ( đúng vì ) Trong vả hai trường hợp ta đều có . Bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 9: Cho .Chứng minh rằng : . Lời giải; Giả sử , từ giả thiết suy ra . Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết : . Vì . Xét hàm số , Ta cần chứng minh . Nếu thì y = z = 0, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ( hiễn nhiên đúng ). Nếu thì f(x) là hàm bậc nhất tăng trong [. Vậy để chứng minh ta chỉ cần chứng minh . Thật vậy, . Nhưng vì Suy ra = . Vậy . ( Ta cũng có thể chứng minh như sau : , vì x = 0 nên từ giả thiết ta có y + z = 1.Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ). 3/ BÀI TẬP ÁP DỤNG LUYỆN TẬP : 1/ Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng : . 2/ Cho a, b, c, d . Chứng minh rằng :. 3/ Cho . Chứng minh rằng : . 4/ Cho . Chứng minh rằng : . 5/ Cho . Chứng minh rằng : . 6/ Cho . Chứng minh rằng : . 7/ Cho a, b, c,. Chứng minh rằng :. PHẦN III: KẾT LUẬN Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong một thời gian dài giảng dạy Toán tại trường THPT Số 1 Nghĩa Hành. Phương pháp “ Ứng dụng tính đơn điệu của Hàm số dạng y = ax + b để chứng minh Bất đẳng thức “ là nhằm đơn giản hóa bài Toán phức tạp, giái quyết được khá nhiều bài Toán về chứng minh bất đẳng thức đạt hiệu quả. Hiện nay trong các đề thi tuyển sinh để giải được một số bài Toán đòi hỏi học sinh phải có một kiến thức dủ rộng , biết cách phân tích, đánh giá và vận dụng kết hợp nhiều phương pháp. “ Ứng dụng tính đơn điệu của Hàm số dạng y = ax + b để chứng minh Bất đẳng thức “ là một phương pháp, nếu biết cách áp dụng thì giúp cho các em học sinh giải “ một lớp “ khá nhiều bài Toán về chứng minh Bất đẳng thức. Tôi suy nghĩ đây là một phương pháp khả thi có thể giúp cho các em học sinh ôn luyện cho việc chẩn bị cho các kỳ thi. Tuy nhiên với khả năng có hạn, thời gian thu thập nghiên cứu tài liệu chưa nhiều nên việc thực hiện đề tài không thể tránh khỏi những sai sót lẫn thiếu sót, hơn nữa đề tài vẫn mang tính chủ quan, việc áp dụng đề tài vào giảng dạy và rút kinh nghiệm chưa nhiều, rất mong sự góp ý của đồng nghiệp và học sinh về nội dung và cách thực hiện đề tài để đề tài được hoàn thiện hơn ề cả hình thức và nội dung. Rất mong nhận được sự đánh giá và góp ý của đồng nghiệp. Nghĩa Hành , ngày 27 tháng 10 năm 2012 Duyệt của BGH Duyệt của Tổ CM Người viết đề tài Nguyễn Văn Trung TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục + Tài liệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục + Các bài giảng luyện thi môn Toán - Nhà xuất bản giáo dục (TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất) + Bất đẳng thức và các phương pháp chứng minh - Võ Đại Mau + Các kỹ thuật ứng dụng đạo hàm để : Chứng minh bất đẳng thức, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất - Đậu Thế Cấp ; Huỳnh Công Thái + Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản giáo dục + Các đề thi đại học các năm trước PHẦN IV : ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CÁC CẤP ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................