Đề tài Vận dụng các phép biến hình vào dựng hình

A. lời nói đầu Toán học là một môn chiếm vị trí quan trọng trong nhà trường phổ thông. Dạy toán tức là dạy phương pháp suy luận khoa học. Học toán tức là rèn khả năng tư duy logic. Giải các bài toán là một phương án tốt trong việc giúp cho học sinh nắm vững trí thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Trong toán học phần môn hình học được ra đời rất sớm nó luôn có một vị trí quan trọng trong hệ thống toán học phổ thông. Nhiệm vụ của môn hình học là kết học logic, tực tế và trí tưởng tượng, liên hệ chặt chẽ với môn học khác, phát triển trí tượng không gian, phát triển năng lực trí tuệ và óc thẩm mỹ của học sinh. Trong đời sống hàng ngày, chúng ta thường gặp các vật thể có hình dạng khác nhau, nhưng làm thế nào để vẽ được nó hợp lý và chính xác, chẳng hạn như ngôi sao năm cánh. Để vẽ được nó ta biết 5 đỉnh của ngôi sao nằm trên 5 đỉnh của ngũ giác đều nội tiếp đường tròn. Dùng phương pháp hợp lý, thực hiện chính xác các bước, ta vẽ được nó. Đó chính là toán dựng hình trong toán học. Trong môn hình học, dựng hình có ý nghĩa và tác dụng rất lớn cho việc rèn luyện tư duy toán học cho học sinh. Tuy vậy, dựng hình là một môn học khó khi gặp loại toán này học sinh thường hay lúng túng. Là một giáo viên giảng dạy ở THCS, tôi thấy việc giúp đỡ cho học sinh, nhất là các em khá, giỏi tìm hiểu sâu sắc về toán dựng hình là điều rất cần thiết. Được sự giúp đỡ của thầy: Vũ Viết Yên giảng viên trường đại học sư phạm I Hà Nội, trong phạm vi bài viết này tôi xin trình bầy về việc “ Vận dụng phép biến hình tìm lời giải cho các bài toán dựng hình”. Nội dung đề tài gồm các phần sau: Yêu cầu (đối với giáo viên và học sinh ) Các khái niệm cơ bản. Dựng hình bằng phương pháp biến hình B. nội dung đề tài Yêu cầu : Đối với giáo viên: - Cú kiến thức sõu về cỏc phộp biến hỡnh, cú cỏi nhỡn tổng quỏt, hệ thống về phộp biến hỡnh. - Nắm vững quy trỡnh cỏc bước giải, cỏc phương phỏp giải một bài toỏn dựng hỡnh, biết cỏch trỡnh bày chớnh xỏc, đầy đủ vấn đề biến đổi cỏc hỡnh của mụn Toỏn, nắm vững được mức độ yờu cầu của việc giảng dạy kiến thức đú. - Cú phương phỏp sư phạm phự hợp với việc truyền thụ kiến thức từng nội dung vận dụng phộp biến hỡnh để giải toỏn dựng hỡnh. - Nghiờn cứu, tỡm tũi nhiều dạng bài tập cú vận dụng nhiều phộp biến hỡnh để giải toỏn dựng hỡnh, xõy dựng được cỏc kỹ năng, tớch luỹ được cỏc kinh nghiệm giải toỏn. - Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài . - Từ việc tìm hiểu đề bài hướng dẫn cho học sinh phác hoạ hình cần dựng để xác lập các yếu tố trong hình để đưa về các bài toán dựng hình cơ bản. Từ đó xác đinh đứng đắn hướng giải quyết bài toán hay chỉ ra bài toán này cần sử dụng phương pháp nào . - Cần chú ý cho học sinh tìm hiểu kỹ bước phân tích vì đây là bước quan trọng nhất trong toàn bộ lời giải vì nó cho ta biết phải dựng như thế nào mới có hình thoả mãn điều kiện. Cần chú ý cho học sinh khi phân tích thì học sinh thường nghiên cứu một hình giả sử cụ thể nào đó nên một chừng mực nhất định lập luận của học sinh bị ràng buộc một cách không có ý thức vào hình vẽ đó . Do đó dễ suy luận không tổng quát dẫn đến thiếu nghiệm. Đối với học sinh: - Nắm được định nghĩa dựng hình, các bước giải một bài toán dựng hình. Nắm được những bài toán dựng hình cơ bản, có kỹ năng thực hiện các bước dựng hình cơ bản. Có cái nhìn linh hoạt về các yếu tố, mối quan hệ giữa các yếu tố hình học. Biết vận dụng một số phép biến hình để tìm cách giải cho một số bài toán đơn giản. Biết cách trình bầy rõ ràng, chính xác, đầy đủ các bước giải bài toán dựng hình. II. Các khái niệm cơ bản: Bài toán dựng hình: Khái niệm: Việc dựng một hình là tạo ra hình đó nhờ cách dụng cụ là thước và compa có thể thực hiện được để tạo ra hình đó. Dựa vào những điều kiện đã biết, dùng phương pháp hình học hợp lý, chính xác dựng một hình cần thiết, đó chính là bài toán dựng hình trong hình học. Các bước giải một bài toán dựng hình: Giả thiết: Ghi cẩn thận các điều kiện đã cho của bài toán. Kết luận: Nêu lên hình cần dựng thoả mãn các điều kiện đã cho. Phân tích: Giả sử hình đó đã dựng được, trước hết vẽ phác một hình gần giống với hình cần dựng trên những nét lớn, khi cần thiết phải vẽ thêm những đường có liên quan, nghiên cứu tỷ mỷ mối quan hệ phụ thuộc giữa các điều kiện đã biết và chưa biết trong hình học, dựa vào đó quyết định dùng phương pháp nào để dựng hình cần tìm. Cách dựng: Theo thứ tự phương pháp dựng hình để trình bày bài giải, nhưng phải chú ý những chỗ không thể dựa vào các định đề hình học hoặc các phép dựng hình cơ bản, hoàn toàn không được trình bày lộn xộn. Chứng minh: Chứng minh hình dựng được bằng phương pháp đã trình bày là hoàn toàn phù hợp với các điều kiện đã cho của bài toán. Biện luận: Phân tích mối quan hệ giữa các điều kiện đã cho và hình dựng được, nói rõ trong trường hợp nào bài toán không có lời giải, trường hợp bài toán chỉ có một lời giải, trường hợp nào lời giải là vô định. 2. ánh xạ và phép biến hình: ánh xạ: Mỗi ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử xẻ X một và chỉ một phần tử yẻ Y . Ký hiệu quy tắc đó là f ta có f : X đ Y X đ y = f(x) X: Tập nguồn Y : Tập đích x: Tạo ảnh y : ảnh của x qua ánh xạ f. Nếu tập hợp X và Y là mặt phẳng P và ánh xạ là song ánh thì ánh xạ đó gọi là phép biến hình . Phép biến hình: Một phép biến hình của mặt phẳng P và ánh xạ từ P vào P sao cho: Hai điểm khác nhau có 2 ảnh khác nhau. Mỗi điểm thuộc P đều có tạo ảnh thuộc P f: P đ P M M’ = f(M) Các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến , quay, vị tự.....là các phép biến hình. III. Dựng hình bằng phương pháp biến hình : Phương pháp chung: Khi giải bài toán dựng hình, trước hết ở giai đoạn đầu, tức là trong quá trình phân tích, ngoài những hình đã cho và hình muốn dựng ta còn xét thêm những hình khác thu được từ hình đó từ những bộ phận của chúng nhờ một phép biến hình nào đó tuỳ theo phép biến hình cụ thể được lựa chọn mà ta có thể có dạng khác nhau của phương pháp biến hình : đối xứng, tịnh tiến, vị tự, nghịch đảo.... Một số phép biến hình quen thuộc: a) Phép tịnh tiến : * Định nghĩa : Trong mặt phẳng (P) cho một vectơ . Phép biến hình trong mặt phẳng (P) biến mỗi điểm M ẻ (P) thành một điểm M’ ẻ(P) sao cho gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v . v - Kí hiệu : Phép tịnh tiến theo vectơ v là T v : M M’ Tính chất : - Phép tịnh tiến bảo toàn tính thẳng hàng của các điểm và thứ tự của các điểm, biến một đường thẳng d thành đường thẳng d’, d // d’. - Phép tịnh tiến bảo toàn độ dài các đoạn thẳng, biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’ mà A’B’ // AB - Phép tịnh tiến bảo toàn độ lớn góc . ảnh của một số hình trong phép tịnh tiến : Trong phép tịnh tiến: Một đường thẳng biến thành một đường thẳng cùng phương Một tia biến thành một tia cùng hướng. Một đoạn thẳng biến thành một đoạn thẳng bằng nó và cùng hướng. Một góc biến thành một góc bằng nó và có cạnh cùng hướng Một tam giác biến thành một tam giác bằng nó. Một đường tròn biến thành một đường tròn bằng nó. Ví dụ về vận dụng phép tịnh tiến vào giải bài toán dựng hình: Ví dụ 1 : Dựng tứ giác theo các góc và các đường chéo . Giải Phân Tích : Giả sử tứ giác ABCD đã dựng được. Gọi D1 và D2 là các ảnh của điểm D qua các phép tịnh tiến theo các vectơ AC và AC tương ứng. Ta ngoại tiếp quanh các tam giác DCD1 và DAD2 các đường tròn S1 và S2. Ký hiệu các giao điểm của các đường thẳng BC và BA với các đường tròn S1 và S2 là M và N. Rõ ràng éDCD1 =éDAD2 = éD; éDCM = 1800 - éC và éDAN= 1800 - éA Cách Dựng : Trên cùng một đường thẳng bất kỳ ta lấy một điểm D và dựng trên các điểm D1 và D2 sao cho DD1 = DD2 = AC. Ta chọn một nửa mặt phẳng , bờ là đường thẳng và sẽ coi điểm B nằm trong nửa mặt phẳng đó. Dựng các đường tròn S1 và S2 sao cho từ các điểm của chúng (nằm trong nửa mặt phẳng ) nhìn các đoạn thẳng DD1 và DD2 tương ứng dưới góc D. Dựng điểm M trên S1 sao cho từ tất cả các điểm của phần đường tròn S1 nằm trong đều nhìn đoạn DM dưới góc B, tức B là giao điểm của đường tròn tâm D bán kính DB và cung chứa góc B chắn trên đoạn MN ( và nó nằm trong nửa mặt mặt phẳng ). Các điểm C và A là các giao điểm của các đường thẳng BM và CN với các đường tròn S1 và S2. Chứng Minh : Theo cách dựng tứ giác ABCD có các đường chéo BD cho trước và số đo các góc DAB, ABC, BCD cho trước. Do đó, góc ADC cũng có số đo cho trước và suy ra : éADC = éDCD1, tức ACD1D là hình bình hành. Như vậy AC=DD1, tức là AC cùng có độ dài cho trước. Biện Luận: Bài toán có một nghiệm hình Ví dụ 2: Cho 2 điểm A,B ở cùng phía của đường thẳng D. Tìm 1 điểm M sao cho từ m nhìn AB dưới 1 góc cho trước avà cạnh của góc AMB chắn trên D một đoạn có độ dài bằng m cho trước. Giải Phân tích : Giả sử đã tìm được được điểm M thoả mãn điều kiện đầu bài ta thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ có : + + Phương của song song với D (Trong đó nhìn A và C dưới góc ) Mặt khác P ẻD Vậy Cách Dựng: T(B)=C Dựng cung nhìn A, C dưới một góc a BQ x Ap =M . M là điểm phải dựng Chứng Minh: Biện luận: Bài toán có bao nhiêu nghiệm hình là tuỳ theo cung chứa góc cắt tam giác tại bao nhiêu điểm . Ví du 3: Dựng đường trũn tiếp xỳc với hai đường thẳng song song và . Tõm của cỏc đường trũn này nằm trờn đường thẳng song song và cỏch đều , , cỏc đường trũn này là ảnh của nhau trong cỏc phộp tịnh tiến thớch hợp. *Cỏch dựng: Dựng đường trũn (O) tiếp xỳc với hai đường thẳng song song và , Qua P kẻ đường thẳng d song song với , , đường thẳng d cắt đường trũn ( O) tại hai điểm P1, P2 Thực hiện cỏc phộp tịnh tiến theo vộc tơ hoặc ta được đường trũn cần dựng. *Chứng minh: phộp tịnh tiến theo vộc tơ biến đường trũn (O) thành đường trũn (O1) mà (O) tiếp xỳc , nờn (O1) cũng tiếp xỳc với ,. Phộp tịnh tiến theo vộc tơ biến điểm P1 thành điểm P mà P1 (O) nờn P(O1) nghĩa là đường trũn (O1) đi qua P. Vậy đường trũn ( O1) dựng được thoả món yờu cầu đề bài . *Biện luận: Vỡ d cắt (O) tại hai điểm P1, P2 nờn ta cú 2 phộp tịnh tiến theo hai vộc tơ và . Vậy bài toỏn luụn cú hai nghiệm hỡnh . Một số đề bài có vận dụng phép tịnh tiến: Ví Dụ 1 : Hãy dựng một hình thang biết độ dài 4 cạnh (Hướng dẫn: Dựng tam giác ADE có AD = c; AE = d; DE = b - a sau đó tịnh tiến theo vectơ DE) Ví Dụ 2 : Dựng tam giác ABC biết cạnh BC =4cm. Các trung tuyến BM = 5 cm; CN= 3 cm (Hướng dẫn : Tịnh tiến đoạn thẳng CN theo vectơ NM. Dựng tam giác BNC’ rồi suy ra tam giác ABC)(C’ là ảnh của C). Phép đối xứng : b.1) Phép đối xứng trục : Định nghĩa : Hai điểm M và M’ được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d (trục d) nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’. Phép biến hình biến M thành M’ như vậy được gọi là phép đối xứng trục. Tính chất : Phép đối xứng trục bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm, biến một đường thẳng thành một đường thẳng. Phép đối xứng trục bảo toàn độ dài của đoạn thẳng, biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’ bằng AB ảnh của một số hình trong phép đối xứng trục : Trong phép đối xứng trục: Một đường thẳng (hoặc tia) biến thành một đường thẳng (hoặc tia). Một đoạn thẳng biến thành một đoạn thẳng bằng nó. Một góc biến thành một góc bằng nó. Một tam giác biến thành một tam giác bằng nó Một đường tròn biến thành một đường tròn bằng nó. Ví dụ về vận dụng phép đối xứng trục vào giải bài toán dựng hình: Ví dụ 1: Cho góc xOy và đường thẳng d. Dựng hình vuông ABCD sao cho A ẻ Ox; Cẻ Oy; B, D ẻ d. Giải : Phân tích : Cách dựng S (d) (Ox) = O’x’ O’x’ . Oy = C S (d) (C) = A AC . d =I Trên d lấy D và B sao cho ID = IB = IA. ABCD là hình cần dựng Chứng minh: ị IB = IA =IC = ID ị ABCD là hình chữ nhật S(d)(C) = A ị AC ^ BC ị ABCD là hình vuông Biện luận : d// Oz trong đó (Ox; Oy) = (Oz; Oy): bài toán vô nghiệm d // Oz : bài toán có nghiệm d º Oz : bài toán vô số nghiệm Ví Dụ 2 : Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d. Dựng điểm C thuộc d sao cho AC + CB có độ dài ngắn nhất. Giải Phân tích : Vẽ B’ đối xứng với B qua d. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc d. Ta có MB’ = MB do đó AM + MB = AM + MB’ ³ AB (hằng số). Vậy giá trị nhỏ nhất của AM + MB = AB Û M thuộc đoạn thẳng AB’. Cách dựng : Dựng B’ đối xứng với B qua d. Nối A với B’ cắt d ở C. Chứng minh : Gọi M là điểm bất kỳ thuộc d . Ta có AM + MB = AM + MB’ ³ AB’. AC + CB = AC + CB’ = AB’. Vậy AC + CB Ê AM + MB. Biện luận : Bài toán có một nghiệm hình. Vớ dụ 3: Cho một gúc nhọn xOy và một điểm P ở trong gúc ấy. Dựng một đường thẳng d cắt cạnh Ox tại M và cạnh Oy tại N, sao cho tổng PM+MN+NP cú độ dài ngắn nhất . Giải: Phõn tớch: Giả sử ta đó dựng được đường thẳng d cắt cạnh Ox ở M và Oy ở N, lấy điểm đối xứng P1 của P qua Ox và P2 của P qua Oy, ta cú: PM=P1M; PN= P2N. P2 y d’ N N’ x O M’ M P1 d Và PM+MN+PN =P1M+MN+P2N P1P2 (Đường gấp khỳc cú độ dài lớn hơn đường thẳng cú chung hai đầu mỳt) Vậy tổng PM+MN+ PN nhỏ nhất tức tổng P1M+MN + P2N đạt giỏ trị nhỏ nhất khi bằng P1P2. Lỳc đú 4 điểm P1, M, P2, N nằm trờn cựng một đường thẳng . Cỏch dựng : Dựng cỏc điểm P1, P2 theo thứ tự là ảnh của P lần lượt trong cỏc phộp đối xứng qua Ox, Oy. Đường thẳng d qua P1, P2 là đường thẳng cần dựng. Chứng minh: Thật vậy, giả sử d cắt Ox, Oy lần lượt tại M,N ta chứng minh tổng PM +MN+PN là nhỏ nhất. Xột một đường thẳng d’ d cắt Ox tại M’ và Oy tại N’, ta cú : PM’=P1M’, PN’=P2N’ và PM’ +M’N’+PN’=P1M’+M’N’ +P2N’ Tổng này rừ ràng là khụng nhỏ hơn P1P2. P1M’+M’N’ +P2N’ P1P2 => PM’ +M’N’+PN’ P1P2 => PM’ +M’N’+PN’ PM +MN+PN Hay tổng PM +MN+PN v ới cỏch dựng điểm M,N như trờn cú độ dài ngắn nhất.( Hay núi gọn hơn, O Biện luận: Bài toỏn luụn cú một nghiệm Một số đề toán vận dụng phép đối xứng trục . 1) Dựng tam giác ABC nếu cho các điểm A, B và các đường thẳng chứa đường phân giác của góc C (Hướng dẫn : Lấy A’ đối xứng A qua đường phân giác của góc C ) 2) Dựng tứ giác ABCD biết đường chéo AC là phân giác của góc A và AB = a; BC = b; CD = c; DA = e. (Hướng dẫn : áp dụng phép đối xứng trục qua AC) b. 2) Phép đối xứng tâm : Định nghĩa : Trong mặt phẳng (P) cho một điểm O, phép biến hình trong mặt phẳng (P) biến một điểm M ẻ(P) thành một điểm M’ ẻ (P) thoả mãn hai điều kiện: Ba điểm M, O, M’ thẳng hàng và OM’ = OM. (Hay nói gọn hơn, O là trung điểm của đoạn thẳng MM’) gọi là phép đối xứng tâm. Điểm O là tâm đối xứng Tính Chất Phép đối xứng tâm bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm, biến đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó . Phép đối xứng tâm bảo toàn độ dài của đoạn thẳng, biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’ mà A’B’ // AB và A’B’ = AB. Biến trung điểm I của AB thành trung điểm I’ của A’B’. ảnh của một số hình trong phép đối xứng tâm: Trong phép đối xứng tâm : Một đường thẳng biến thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó. Một tia biến thành một tia ngược hướng với nó . Một đoạn thẳng biến thành một đoạn thẳng bằng nó. Một góc biến thành một góc bằng nó. Một tam giác biến thành một tam giác bằng nó . Một đường tròn biến thành một đường tròn bằng nó. Ví dụ về vận dụng phép đối xứng tâm vào giải bài toán dựng hình: Ví Dụ 1: Ngoài một đường tròn cho trước có hai điểm cho trước, hãy dựng một đường kính sao cho hai đoạn nối liền hai đầu của nó với hai điểm cho trước là bằng nhau. Giải Phân tích: Giả sử đường kính COD dựng được. Nếu lấy B’ là ảnh của B qua tâm O; C là ảnh của D qua tâm O ị BD = B’C. Vì đầu bài có điều kiện là AC = BD nên AC = B’C ị C phải nằm trên đường trung trực của AB’. Cách Dựng : Nối BO, kéo dài B’ sao cho OB’ BO Nối AB’, dựng đường trung trực của AB’, đường trung trực này cắt đường tròn (O) tại C. Qua C dựng đường kính COD, đó là đường kính cần dựng. Chứng minh : Vì C nằm trên đường trung trực của AB’ cho nên AC= B’C. Hơn nữa theo ký hiệu trong hình có thể dùng các tam giác bằng nhau để chứng minh BD = B’C cho nên AC = BD. Biện luận : Vì đường trung trực của AB’ cắt đường tròn (O) tại hai điểm cho nên bài toán thường có 2 nghiệm hình. Khi đường trung trực của AB’ tiếp xúc với (O) thì có một nghiệm hình. Khi đường trung trực của AB’ không cắt (O) thì bài toán vô nghiệm. Ví Dụ 2 : Cho góc ABC và điểm D nằm trong góc ABC. Hãy dựng một đoạn thẳng có hai đầu mút nằm trên hai cạnh của góc và nhận D làm trung điểm. Giải Phân tích : Giả sử dựng được đoạn thẳng theo yêu cầu đề bài . Ta có D là tâm đối xứng của hình bình hành có đường chéo đi qua BD . Cách dựng : Trên tia đối của tia BD lấy K sao cho BD = BK Từ K dựng Kx // BC và cắt BA tại A’, dựng Ky // BA và cắt BC tại C’ A’C’ là đoạn thẳng cần tìm Chứng minh : Ta có BA’KB’ là hình bình hành mà D là trung điểm của BK ị D là tâm đối xứng của hình ABCD nên D là trung điểm của A’B’ Biện luận : Bài toán có một nghiệm hình Một số đề toán vận dụng phép đối xứng tâm . Cho một góc và trong đó cho hai điểm A và B. Hãy dựng một hình bình hành nhận A và B làm hai đỉnh đối nhau, còn hai đỉnh kia nằm trên các cạnh của góc. (Hướng dẫn : Dựng trung điểm O của đoạn thẳng AB. Ta dựng các điểm C, D nằm trên các cạnh của góc sao cho O là trung điểm của CD) Dựng một tứ giác lồi biết các trung điểm M, N, P của ba cạnh bằng nhau của tứ giác đó. ( Hướng dẫn : Lấy P’ là đối xứng của P qua N ị B là giao điểm các đường trung trực của MP’ và P’N) c) Phép Quay Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho một điểm O, một góc a và một chiều quay xác định. Một phép biến hình biến một điểm M của mặt phẳng thành một điểm M’ của mặt phẳng sao cho: OM’ = OM éM’OM = a gọi là phép quay tâm O, góc quay a Ta kí hiệu : Phép quay tâm O, góc quay a ngược chiều quay của kim đồng hồ là R+ (O; a); phép quay tâm O, góc quay a cùng chiều kim đồng hồ là R- (O;a). Tính chất : Phép quay bảo toàn tính thẳng hàng của các điểm, biến một đường thẳng thành một đường thẳng, một tia thành một tia. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó. Phép quay bảo toàn thứ tự của các điểm trên cùng một đường thẳng. Nếu đoạn thẳng A’B’ là ảnh của đoạn thẳng AB trong phép quay tâm O, góc a thì trung điểm I’ của A’B’ là ảnh của trung điểm I của AB trong phép quay đó. ảnh của một số hình trong phép quay: Trong phép quay: Một đường thẳng (hoặc tia) biến thành một đường thẳng (hoặc tia) tạo với nó một góc bằng góc quay. Một đoạn thẳng biến thành một đoạn thẳng bằng nó và tạo với nó một góc bằng góc quay. Một góc biến thành một góc bằng nó. Một tam giác biến thành một tam giác bằng nó, góc giữa hai cạnh tương ứng bằng góc quay. Một đường tròn biến thành một đường tròn bằng nó. Ví dụ về vận dụng phép quay vào giải bài toán dựng hình. Ví dụ 1: Dựng tam giác đều sao cho 3 đỉnh của nó lần lượt nằm trên 3 đường thẳng song song cho trước . Giải Phân tích : đều Cách dựng: Chứng minh : ị D ABC đều Vì ẻ C d’2 ị B ẻd2 Biện luận : Bài toán có hai nghiệm hình vì có 2 góc quay ±600. Ví dụ 2: Cho ba đường thẳng a, b , c và 1 điểm A trên a. Dựng hình vuông ABCD sao cho B ẻ b; C ẻ c. Giải Phân tích : Giả sử dựng được ABCD là hình vuông. Xét tam giác ABC: Cách dựng : ABCD là hình vuông phải dựng Chứng minh : Suy ra ABCD là hình vuông và vì Cẻb’ ị B ẻb. Biện luận: (b,c) = 450 : 1 nghiệm hình (b,c) ạ 450 : 2 nghiệm hình + Vớ dụ 3: Cho hai đường thẳng x và y cắt nhau tại O. Điểm A thuộc miốn trong của một gúc tạo bởi hai đường thẳng đú. Dựng tam giỏc ABC vuụng cõn ở A sao cho B thuọc đường thẳng x, C thuộc đường thẳng y. Phõn tớch bài toỏn bằng ngụn ngữ biến hỡnh: x B1 H H1 B A H' O C C1 y x' x1 Xột C là ảnh của B trong phộp quay R+(A, 900); Bthuộc x, do đú C thuộc x', ảnh của x trong phộp quay đú. Như vậy, C là giao điểm của x' với y, cũn B là ảnh của C trong phộp quay R-(A,900) . C cũng cú thể là ảnh của B trong phộp quay R-(A, 900), B thuộc x, do đú C thuộc x1, ảnh của x trogn phộp quay đú. Giao điểm của x1 và y cho ta điểm C(đú là điểm C1 trờn hỡnh vẽ ). Cũn B1 là ảnh của C1 trong phộp quay R+(A,900). Tuỳ theo số giao điểm của x' với y và x1 với y mà ta cú số nghiệm hỡnh. Cỏch giải thụng thường : Phõn tớch: Giả sử đó dựng được ABC vuụng cõn ở A thoả món yờu cầu bài toỏn . Dựng AH x, dựng H' sao cho và AH' = AH . ta cú tại H' . Giao điểm của H'C và y cho ta điểm C. Từ đú dựng được điểm B. Cỏch dựng: Dựng AH x, dựng H' sao cho và AH' = AH. Dựng đường vuụng gúc với AH' tại H' cắt y ở C; đường vuụng gúc với AC tại A cắt x ở B. Chứng minh: H'AC = HAB (g.c.g) = >AC =AB vàH'AC = HAB ,do đú BAC = HAH' =900.Vậy ABC vuụng cõn. Biện luận: Nếu gúc xOy900 .:cú hai cỏch chọn điểm H' sao choHAH' = 900 ,AH' =AH.Bài toỏn cú hai nghiệm hỡnh.(ABC = AB1C1 trờn hỡnh vẽ ). Nếu gúc xOy =900: Bài toỏn cú vụ số nghiệm(nếu A thuộc phõn giỏc của gúc xOy) hoặc khụng cú nghiệm hỡnh (nếu A khụng thuộc phõn giỏc của gúc xOy) + Chỳ ý : Nếu trong bài bài toỏn dựng hỡnh cú điểm A và cỏc đường thẳng x ,y cố định .Cỏc điiểm B'C phải dựng thứ tự thuộc x và y sao choAB =AC, BAC = thỡ ta vận dụng phộp quay tõm A, gúc quay để giải bài toỏn Một số đề toán có vận dụng phép quay: 1) Cho điểm A nằm ngoài hai đường thẳng song song b và d cho trước. Dựng hỡnh vuụng ABCD sao cho B nằm trờn b, D nằm trờn d. (Hướng dẫn : D là ảnh của B trong phộp quay R+(A,900) hoặc R-(A,900). 2) Dựng hai đường thẳng từ một điểm cố định ngoài 2 đường trũn cho trước đến hai đường trũn ấy, sao cho chỳng bằng nhau và hợp thành một gúc cú độ lớn cho trước . ( Hướng dẫn: A’ là ảnh của phộp quay(A,); D là giao điểm của hai đường trũn (A’) và (B) ) Phép vị tự : Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho một điểm cố định O và một số k. Phép biến hình biến một điểm M của mặt phẳng thành một điểm M’ của mặt phẳng thoả mãn : ba điểm M’, O, M thẳng hàng và là phép vị tự tâm O tỉ số k. Tính chất : - Phép vị tự bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm trên một đường thẳng, biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó, biến một đoạn thẳng AB thành một đoạn thẳng A’B’ mà A’B’ // AB và . (k là tỷ số vị tự). - Phép vị tự bảo toàn độ lớn của góc. - Phép vị tự bảo toàn tỷ số các đoạn thẳng. Trung điểm của một đoạn thẳng biến thành trung điểm của ảnh của đoạn thẳng. ảnh của một số hình trong phép vị tự : Trong phép vị tự tỷ số k: Một đường thẳng (hoặc tia) biến thành một đường thẳng (hoặc tia) cùng phương. Đoạn thẳng AB biến thành một đoạn thẳng cùng phương có độ dài bằng |k| . AB Một góc biến thành một góc bằng nó có các cạnh tương ứng cùng phương. Một tam giác biến thành một tam giác đồng dạng với nó. Đường tròn (O;R) biến thành một đường tròn có bán kính bằng |k|.R Ví dụ về vận dụng phép vị tự giải bài toán dựng hình: Ví dụ 1: Cho góc xOy và điểm P nằm trong góc đó. Tìm điểm Qẻ Ox, R ẻOy sao cho PQ = QR = RO. Giải Phân tích : Giả sử dựng được RẻOy ; Qẻ Ox thoả mãn điều kiện đầu bài ta nhận thấy nếu bỏ qua điều kiện đường gấp khúc có đầu mút P mà chỉ giữ lại điều kiện : OR1 = R1Q1 = QP1 Và RẻOy ; Q1ẻ Ox ; P1ẻOP thì có vô số hình thoả mãn . Khi đó dễ thấy đường gấp khúc OR1Q1P1 và ORQP là hình vị tự tâm O của nhau . Cách dựng : Lấy R1 ẻ Oy (R1)(O; R1) x Oy = Q1 (Q1)(O1;R1) x OP = P1 Lấy Q ẻ Ox sao cho PQ // P1Q1 Lấy R ẻ Oy sao cho QR // Q1R1 Điểm Q và R là hai điểm phải dựng. Chứng minh : Biện luận : éxOy < 600 : có 2 nghiệm hình 600 Ê éxOy < 900 : có một nghiệm hình é xOy > 900 : vô nghiệm Ví dụ 2 : Dựng đường tròn đi qua một điểm cho trước và tiếp xúc với hai đường tròn (O1) và (O1). Giải Phân tích: ị (D) tiếp xúc với (O1) và (O2) (O) tiếp xúc với (O1) và (O2) Cách dựng : - - Dựng tiếp tuyến chung D giữa (O1) và (O’2) - Chứng minh : D tiếp xúc với (O) và (O’) ị và (O) tiếp xúc với (O1) và (O2) Biện luận : Bài toán có thể có 0; 1; 2; 3 ; 4 nghiệm hình tuỳ theo quan hệ của (O1) và (O2). +Vớ dụ 3: Cho 3 tia Ox,Oy, Oz trong đú tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz khụng đối nhau và qua một điểm M thuộc miền trong của gúc xOy. Dựng đường thẳng d đi qua M cắt Ox, Oy, Oz thứ tự ở A,B,C sao cho BA=2BC. Phõn tớch : Trước hết, tạm gỏc lại điều kiện đường thẳng d đi qua M, ta hóy dựng đường thẳng d’ bất kỳ cắt Ox,Oy,Oz thứ tự ở A’,B’,C’ sao cho B’A’=2B’C’ bằng cỏch lấy B’ bất kỳ thuộc Oy rồi dựng đường thẳng d’ qua B’ thoả món tớnh chất trờn. Cỏch dựng: - Qua B’ kẻ đường thẳng song song với Oz cắt Ox ở D. - Trờn tia Dx lấy A’ sao cho DA’=2DO, A’B’ cắt Oz ở C’. - Qua M dựng đường thẳng d//d’ đú là đường thẳng phải dựng. 1) Cho điểm A nằm ngoài hai đường thẳng song song b và d cho trước. Dựng hỡnh vuụng ABCD sao cho B nằm trờn b, D nằm trờn d. (Hướng dẫn : D là ảnh của B trong phộp quay R+(A,900) hoặc R-(A,900). 2) Dựng hai đường thẳng từ một điểm cố định ngoài 2 đường trũn cho trước đến hai đường trũn ấy, sao cho chỳng bằng nhau và hợp thành một gúc cú độ lớn cho trước . ( Hướng dẫn: A’ là ảnh của phộp quay(A,); D là giao điểm của hai đường trũn (A’) và (B) ) Chứng minh: