Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 12 (Không Chuyên) - Năm học 2019-2020 - Sở GD&ĐT Hải Phòng (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 HẢI PHÒNG Năm học 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN:TOÁN – BẢNG KHÔNG CHUYÊN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/9/2019 Bài 1 (2,0 điểm) 1 a) Cho hàm số y x3 x 2 m 2 x m 2 2019. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đã 3 cho đồng biến trên khoảng 0; . 2mx 3 2 m b) Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để x 2 đường thẳng d: y x 2 cắt C tại hai điểm phân biệt AB, sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 450 . Bài 2 (2,0 điểm) 1 2sinx cos x a) Giải phương trình lượng giác sau 3. 1 2sinx 1 sin x 2 2 x 3 y 2 x y 2 y 2 0 b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực 2 3 x 4 x y 1 2 x 1 1 Bài 3 (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.''' A B C có AB a; AC 2 a ; AA ' 2 a 5 và góc BAC bằng 1200 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC '. a) Chứng minh rằng MB vuông góc với AM'. b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A' BM theo a. Bài 4 (1,0 điểm) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số mà các chữ số đều khác 0 , lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra có mặt đúng ba chữ số khác nhau. Bài 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD . Gọi HK, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BD và CD. Biết A 4;6 ; đường thẳng HK có phương trình 3x 4 y 4 0; điểm C thuộc đường thẳng d1 : x y 2 0 và điểm B thuộc đường thẳng d2 : x 2 y 2 0; điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1. Tìm tọa độ các điểm B và C. u 2 1 1 Bài 6 (1,0 điểm) Cho dãy số un xác định bởi 1 u . u n ,  n , n 1 n 1 2 n Hai dãy số vn , w n xác định như sau: vn 4 1 u n ; w n u1 . u 2 . u 3 ... u n ,  n , n 1. Tìm các giới hạn limvn ; lim w n . Bài 7 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a,,. b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4a3 3 b 3 2 c 3 3 b 2 c P a b c 3 HẾT (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: .. Số báo danh: . . Cán bộ coi thi 1: ............... Cán bộ coi thi 2: Trang 1/1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 HẢI PHÒNG Năm học 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN:TOÁN – BẢNG KHÔNG CHUYÊN (Đáp án gồm 06 trang) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/9/2019 BÀI Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 3 2 2 Bài 1 Cho hàm số y x x m 2 x m 2019. Tìm điều kiện của a 3 (1,0đ) (2,0 điểm) tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; . TXĐ: D .; y' x2 2 x m 2 0,25 Hàm số đồng biến trên khoảng 0; y ' 0,  x 0; x2 2 x  m 2 0, x 0; m x 2 2 x  2, x 0; 0,25 Xét hàm số g x x2 2 x 2; g ' x 2 x 2; g ' x 0 x 1 x 0 1 g' x + 0 - 0,25 3 g x Từ bảng biến thiên mgxx ,  0; mMaxgx m 3 0,25 x 0; 2mx 3 2 m Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm tất cả các giá trị x 2 b thực của tham số m để đường thẳng d: y x 2 cắt C tại hai điểm (1,0đ) phân biệt AB, sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 450 . Phương trình hoành độ giao điểm: 2mx 3 2 m x 2, x 2 x 2 x2 2 mx 2 m 1 0 , x 2 0,25 x 1 x 2 m 1 m 1 2m 1 1 d cắt C tại hai điểm phân biệt 1 0,25 2m 1 2 m 2   Gọi A 1; 1 ; B 2 m 1;2 m 3 OA 1; 1 ; OB 2 m 1;2 m 3   OAOB. OAOB . .cos 450 2 8m2 16 m 10 8 m 2 16 m 60 3 0,25 m 2 1 m 2 3 1 Kết hợp điều kiện, ta được m hoặc m . 0,25 2 2 Bài 2 1 2sinx cos x a Giải phương trình lượng giác sau 3. (1,0đ) (2,0 điểm) 1 2sinx 1 sin x x k2 6 7 ĐK: x m2 , k , m , n . 0,25 6 x n2 2 Pt cos x sin 2 x 3 1 sin x 2sin2 x 0,25 cosx 3 sin x sin 2 x 3 cos 2 x 2 x k 18 3 sin x sin 2 x , k 0,25 6 3 x k2 2 2 Kết hợp điều kiện Pt có nghiệm x k,. k 0,25 18 3 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực 2 2 b x 3 y 2 x y 2 y 2 0 (1) (1,0đ) 2 3 x 4 x y 1 2 x 1 1 (2) ĐK: y 0; x2 4 x y 1 0 Từ phương trình 1 ta có 3y y x2 2 3 y 2 y x 2 2 2 1 0,5 x2 2 x 2 2 y Suy ra 1 y x2 2 x2 2 Thay vào phương trình 2 ta có 4x 1 3 2 x 1 1 u 4 x 1 Đặt u 0 3 v 2 x 1 0,25 Hệ phương trình đã cho trở thành u v 1 u 1 2 3 u 2 v 1 v 0 1 x 4x 1 1 2 Ta có: (Thỏa mãn điều kiện) 3 2x 1 0 9 y 0,25 4 1 9 Vậy hệ có nghiệm ; 2 4 Cho hình lăng trụ đứng ABC.''' A B C có AB a; AC 2 a ; AA ' 2 a 5 Bài 3 a 0 (1,0đ) (2,0 điểm) và góc BAC bằng 120 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC ' . a) Chứng minh rằng MB vuông góc với AM'. A' C' B' M H A N C K B Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC BC2 AB 2 AC 2 2 AB . AC .cos BAC 7 a 2 BC a 7 Trong tam giác A' C ' M : A ' M2 A ' C ' 2 C ' M 2 9 a 2 0,5 Trong tam giác BAA': A ' B2 AB 2 A ' A 2 21 a 2 Trong tam giác BCM: BM2 BC 2 CM 2 12 a 2 Ta có: A'' M2 MB 2 A B 2 tam giác A' BM vuông tại M 0,5 hay MB A'. M b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A'. BM (1,0đ) Gọi AM',',' AC N dAABM dAABN Kẻ AK BN, K BN 0,5 Kẻ AH A',' K H A K d A,' A BN AH Chứng minh được CM là đường trung bình của tam giác A' AN A' M MN và có BM A' N tam giác A' BN cân tại B BN A' B a 21 Diện tích tam giác ABN là: 0,25 1 1 2 7a S AB. AN .sin BAN AK . BN AK ABN 2 2 7 1 1 1 36a 5 Ta có: AH AH2 AK 2 A' A 2 20 a 2 3 0,25 a 5 Vậy: d A,' A BM 3 Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số mà các chữ số đều khác 0 , lẫy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy (1,0đ) ra có mặt đúng ba chữ số khác nhau. Ta có: Số phần tử của không gian mẫu  là: n  95 0,25 Gọi A là biến cố: “Trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau” Bài 4 Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a,, b c từ 9 chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 là (1,0 điểm) 3 C9 . Xét các số thỏa mãn yêu cầu bài toán được tạo thành từ 3 chữ số a;; b c ở 0,25 trên. Có hai trường hợp sau xảy ra TH1: Một chữ số có mặt 3 lần; các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần: 5! Có tất cả: 3. 60 số. 3! TH2: Hai chữ số có mặt hai lần, chữ số còn lại có mặt 1 lần: 0,25 5! Có tất cả: 3. 90 số. 2!.2! 3 Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: n A 60 90 . C9 12600 n A 1400 0,25 Xác suất của biến cố A là: p A 0,2134 n  6561 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD . Gọi HK, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BD và CD. Biết A 4;6 ; đường Bài 5 thẳng HK có phương trình 3x 4 y 4 0; điểm C thuộc đường (1,0đ) (1,0 điểm) thẳng d1 : x y 2 0 và điểm B thuộc đường thẳng d2 : x 2 y 2 0; điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1. Tìm tọa độ các điểm B và C. A B D H E K C Gọi E AC  HK Tứ giác AHKD nội tiếp HAD HKC . Tứ giác ABCD nội tiếp ABD ACD . 0,25 Tam giác ABD vuông tại A ABD HAD Vậy HKC ACD hay tam giác ECK cân tại E . Vì tam giác ACK vuông tại K nên E là trung điểm của AC . c 4 8 c Ta có C d1 C c;2 c E ; 2 2 0,25 Vì E HK nên tìm được c 4 C 4; 2 . K HK: 3 x 4 y 4 0 nên gọi K 4 t ;3 t 1   AK 4 t 4;3 t 7 ;CK(4 t 4;3 t 1) . 1   t 2 5 Ta có: AK CK AK. CK 0 25t 50 t 9 0 . 0,25 9 t 5 4 2 Vì hoành độ điểm K nhỏ hơn 1 K(;) 5 5 BC có phương trình: 2x y 10 0. B BC  d2 B(6;2) . 0,25 Kết luận: BC 6;2 ; 4; 2 u 2 1 1 Cho dãy số un xác định bởi . 1 un un 1 ,  n , n 1 Bài 6 2 (1,0đ) (1,0 điểm) Hai dãy số vn , w n xác định như sau: n vn 4 1 u n ; w n u1 . u 2 . u 3 ... u n ,  n , n 1. Tìm các giới hạn limvn ; lim w n . Chọn 0; sao cho cos 2 1 2 1 cos Khi đó ta có u1 cos u 2 cos 2 2 ( Do 0; nên cos 0 ). 2 2 0,25 1 cos 2 Tương tự ta sẽ có u3 cos 2 4 1 cos n 1 Bằng quy nạp ta chứng minh được u 2 cos n 2 2n 1 n n n 2 Suy ra vn 4 (1 u n ) 4 1 c osn 1 4 .2sin n 2 2 2 sin 0,25 n Vậy limv lim 4n .2sin2 lim2 .2 2 2 2 n n 2 2n Ta có w u u... u cos .cos  cos  c os n1 2 n 2n 1 2 n 2 2 2n sin .c os . c os ... c os .cos 0,25 n 1 n 1 n 2 sin 2 2 2 2 2 2n sin 2 n sin 2n 1 2 n 1 sin 2 sin 2 1 sin 2 Suy ra limw lim lim  0,25 n 2n sin2 sin 2 2n 1 2 n 1 2n 1 Cho các số thực dương a,,. b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 7 3 3 3 2 4a 3 b 2 c 3 b c (1,0đ) (1,0 điểm) P a b c 3 Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 3b2 c 2 b 3 c 3 , dấu “=” xảy ra b c. 3 0,25 b c Ta chứng minh: b3 c 3 (1) ,  b 0, c 0. 4 Thật vậy: 1 4 bc3 3 b 3 3 bcbcc 2 3 2 3 bcbc 2 0, b 0, c 0 Dấu “=” xảy ra b c. Áp dụng các BĐT trên ta được: b c 3 4a3 0,25 1 3 a P 4 4 t3 1 t , với t , t 0;1 a b c 3 4 a b c 1 3 Xét hàm số f t 4 t3 1 t với t 0;1 4 1 t 2 3 2 5 Có: f' t 12 t 1 t ; f ' t 0 4 1 t 3 Bảng biến thiên: 1 0,25 t 0 1 5 f' t - 0 + f t 4 25 4 Từ bảng biến thiên suy ra: P f t . 25 b c Dấu “=” xảy ra a 1 2a b c . 0,25 a b c 5 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi 2a b c . 25 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.