Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Buôn Ma Thuột (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS TP BUÔN MA THUỘT CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018 --------- MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không tính giao đề) Ngày thi: 06/03/2018 Bài 1: (4,0 điểm) xx26x19 2x x3 a) Cho biểu thức K . Tìm điều kiện để K có nghĩa x 2 x 3 x 1 x 3 và rút gọn K. 2018x 2019 1 x2 2020 b) Cho B . Tìm giá trị nhỏ nhất của B. 1 x2 Bài 2: (4,5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì: A 5n (5 n 1) 6 n (3 n 2 n ) 91 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 8y 3(x2 xy y 2 ) 1 c) Giải phương trình: x2 3x 2 1 x x Bài 3: (3,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm giá trị của tham số m để hai đường thằng (d): y x 2 và (d’): y 3 mx cắt nhau tại một điểm có tọa độ dương. 1 4 9 3 b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a b c . Tìm a, b, c. a b c 12 Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a. Gọi D là trung điểm của BC, E là một điểm di động trên đoạn thẳng AD. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E lên các cạnh AB và AC. Kẻ HI vuông góc với DK (với I DK ). Đường thẳng DK cắt đường thăng vuông góc với AB tại B ở F. a) Chứng minh rằng năm điểm A, H, E, I, K cùng thuộc một đường tròn. b) Tính số đo góc HIB. c) Chứng minh rằng ba điểm B, E, I thẳng hàng. d) Tìm vị trí của E trên AD để diện tích tam giác ABI lón nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a. Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O,R) vẽ tứ giác ABCD có 4 đỉnh thuộc đường tròn (O). a) Chứng minh AB.DC + AD.BC = BD.AC b) Gọi D là điểm chính giữa của cung lớn BC có chứa đỉnh A. Trên BC chọn I sao cho BI = 2IC, DI cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là E. AE.BC Chứng minh AB 2AE CE ---------------- Hết ---------------- BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1: (4,0 điểm) x 0 x 2 x 3 0 x 0 a) K có nghĩa x 1 0 x 1 x 3 0 xx26x19 2x x3 x x 26 x 19 2 x x 3 x 3 x 1 K x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x x 26 x 19 2x 6 x x 4 x 3 x x x 16 x 16 x 1 x 16 x 16 x1x3 x1x3 x1x3 x 3 2018x 2019 1 x2 2020 b) Cho B . Tìm giá trị nhỏ nhất của B. 1 x2 a 1 x a 1 x2 a 1 a 1 x a 1 (ĐK: 1 x 1) Đặt a 2019 , ta có B a M a 1 x2 1 x 2 a1x 22 2a1x 2 a1 2 4a1x 2 a1x 2 2 2a1x 2 a1 2 M2 1 x2 1 x 2 2 a 1 x a 1 2 4a 4a do1 x2 0, a 1 x a 1 0 1 x2 M 2 a B 2 a a 2 2019 2019 a 1 2018 1009 Đẳng thức xảy ra a 1 x a 1 0 x (TMĐK) a 1 2020 1010 Bài 2: (4,5 điểm) a) A 5n (5 n 1) 6 n (3 n 2 n ) 25n 5 n 18 n 12 n 25 n 18 n 12 n 5 n  7 lại có A 25n 5 n 18 n 12 n 25 n 12 n 18 n 5 n  13 ; mặt khác 7;13 1 A713  91 b) x 8y 3(x2 xy y 2 ) 3x 2 3y 1 x 3y 2 8y 0 * Ta có 3y 1 2 12 3y2 8y 27y 2 90y 1. 15 2 57 15 2 57 Do đó * có nghiệm 0 27y90y102 y y0;1;2;3  9 9 +) y0 3x 2 x0x3x10x0 (vì x Z ) +) y1 3x 2 2x50 x13x50 x1 (vì x Z ) 5 73 +) y 2 3x 2 5x 4 0 x (loại, vì x Z ) 6 4 7 +) y 3 3x 2 8x 3 0 x (loại, vì x Z ) 3 Vậy các cặp số nguyên x; y cần tìm là 0;0 ; 1;1 0 x 1 c) ĐKXĐ: x 2 1 1 1 2 x3x21x2 x3x2x 2 1 x2 3x 2 x 2 1 2 x 2x x x x x 2 1 1 1 1 x 2 x 1 0 x 2 x 1 0 x x x x 1 5 2 x 0 1 2 x 1 0 x x 1 0 x 1 5 x 0 2 3 5 x (TMĐK) 2 Bài 3: (3,5 điểm) a) (d) cắt (d’) 1 m m 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’) là: 5 x 2 3 mx m 1 x 5 x (do m 1) m 1 5 3 2m Khi đó y 2 m 1 m 1 5 0 m 1 m 1 0 3 Tọa độ giao điểm của (d) và (d’) dương 1 m (TMĐK) 3 2m 3 2m 0 2 0 m 1 2 a2 b 2 a b b) Với a, b, x, y là các số dương ta chứng minh minh 1 x y x y 2 1 a2 y b 2 x x y xy a b a 2 xy a 2 y 2 b 2 x 2 b 2 xy a 2 xy b 2 xy 2 abxy 0 2 a2 y 2 b 2 x 2 2 abxy 0 ay bx 0 Luon dung voi moi a , b , x , y a b Dấu “=” xảy ra khi ay bx 0 x y 2 a2 b 2 c 2 a b c Dựa vào (1) ta chứng minh 2 với a, b, c, x, y, z các số dương. x y z x y z 2 2 a2 b 2 c 2 a b c 2 a b c a b c Thật vậy . Dấu “=” xảy ra khi x y z x y z x y z x y z 2 1 4 9 1 2 3 36 36 Áp dụng (2), ta có: 3 (vì 0 a b c 12 ) a b c a b c a b c 12 1 2 3 a 2 Dấu ”=” xảy ra a b c b 4 a b c 12 c 6 Bài 4: (4,5 điểm) a) Chứng minh rằng năm điểm A, H, E, I, K cùng thuộc một đường tròn. Dễ dàng chứng minh tứ giác AHEK là hình vuông A, H, E, K thuộc đường tròn đường kính HK Lại có HIK 900 I thuộc đường tròn đường kính HK Vậy A, H, E, K, I thuộc đường tròn đường kính HK A b) Tính số đo góc HIB. BDF CDK g.c.g BF CK , lại có H K BH AB AH AC AK CK BF BH mà HBF 900 BF  AB nên BHF vuông cân I E tại B HFB 45 0 Tứ giác BHIF có HIF HBF 900 gt tứ B D C giác BHIF nội tiếp HIB HFB 45 0 c) Chứng minh rằng ba điểm B, E, I thẳng hàng. Ta có HAE 45 0 (do tứ giác AHEK là hình F vuông) Vì A, H, E, K, I thuộc đường tròn đường kính HK (câu a) HIE HAE 45 0 , mặt khác HIB 45 0 (cmt) B, E, I thẳng hàng d) Tìm vị trí của E trên AD để diện tích tam giác ABI lón nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a. 2 2 1 1 AI BI 12 1 2 ABI vuông tại I (gt), nên SABI AI  BI  AB a 2 2 2 4 4 C Đẳng thức xảy ra AI BI I  D E  D 1 max S a2 E  D Vậy ABI D K 4 O Bài 5: (4,0 điểm) a) Chứng minh AB.DC + AD.BC = BD.AC Trên đoạn thẳng AC lấy điểm K sao cho ABK CBD Ta có: ABK CBD ABD DBK KBC DBK ABD KBC A B Xét ABD và KBC: ABD KBC (cmt), ADB KCB (góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) AD KC Vậy ABD KBC (g.g) AD  BC KC. BD a BD BC Xét ABK và DBC: ABK DBC (gt), BAK BDC (góc nội tiếp cùng chắn cung BC ) AB DB Vậy ABK DBC (g.g) AB  DC AK. BD b AK DC Từ a) và b)   ABDC ADBC AKBD.    KC BD BD AK KC BD AC AE.BC b) Chứng minh AB 2AE CE Trường hợp này đúng m CI = 1,81 cm m BI = 3,62 cm C m BI-2m CI = 0,00 cm I E m BA = 6,34 cm O D m AE = 7,82 cm m CB = 5,43 cm A B m CE = 1,93 cm m AC = 7,82 cm m BAD = 136,46 m CGD = 136,46 m AEm CB m BA+2m AE - = 0,00 cm m CE Trường hợp này sai C m CI = 3,07 cm E m BI = 6,14 cm I m BI-2m CI = 0,00 cm m BA = 8,56 cm O m AE = 10,61 cm D m CB = 9,20 cm m CE = 3,48 cm A B m AC = 9,75 cm m BAD = 120,08 m CGD = 120,08 m AEm CB m BA+2m AE - = 1,70 cm m CE Bàn luận: Đẳng thức cần chứng minh ABCE  2AE  CE AE  BC * Áp dụng kết quả câu a) tứ giác ABEC nội tiếp đường tròn (O) nên ta có: AB CE BE  AC AE.BC , do đó để chứng minh * ta cần chứng minh CE AC 2AE CE BE  AC ** BE 2AE CE IC 1 Lại có CD BAD CED BED EI là phân giác của BCE IB 2IC BE IB 2 AC 1 Nên để chứng minh ** ta chứng minh AC AE !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2AE 2