Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Gia Lai (Có đáp án)

SỞ GD & ĐT GIA LAI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TP LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút Câu 1(3 điểm).Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 2019. Câu 2(5 điểm). 1. Chứng minh A 3 n3 15 n chia hết cho 18 với mọi n 2. Một đoàn học sinh đi tham quan quãng trƣờng Đại Đoàn Kết Tỉnh Gia Lai .Nếu mỗi ô tô chở 12 ngƣời thì thừa 1 ngƣời. Nếu bớt 1 ô tô thì số học sinh của đoàn chia dều đƣợc cho các ô tô còn lại . Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng các ô tô chở không quá 16 ngƣời. Câu 3(6 điểm). 1.Một cây nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lƣợt là 20cm và 1cm. Ngƣời ta xếp cây nến vào trong một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp tính thể tích cái hộp 2.Cho đƣờng tròn (O;R) và điểm I cố định nằm bên trong đƣờng tròn (I khác A), qua điểm I dựng hai cung bất kỳ AB và CD. Gọi M,N,P,Q lần lƣợt là trung điểm của IA, IB, IC, ID. a)Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc 1 đƣờng tròn. b)Giả sử các dây cung AB và CD thay đổi nhƣng luôn luôn vuông góc nhau tại I. Xác định vị trí các dây cung AB và CD sao cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất. Câu 4(4 điểm). x 1 4 2 y 5 2 y ( x 1)2 5 1.Giải hệ phƣơng trình 5x4 (x y ) 2 (10x 3 y ) y 2.Với các số thực dƣơng x,y,z thoả mãn x2 y 2 z 2 21 xyz , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy yz zx2 xyz . Câu 5(2 điểm).Trong kỳ thi chọn học sinh THCS cấp Tỉnh, đoàn học sinh huyện A có 17 học sinh dự thi mỗi thí sinh có báo danh là một số tự nhiên trong khoản từ 1 đến 907 . Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh trong đoàn có tổng các số báo danh chia hết cho 9. Lời giải Câu 1(3 điểm). Chọn chữ số hàng nghìn có 8 cách chọn. Chọn sữ số hàng trăm có 9 cách chọn. Chọn chữ số hàng chục có 6 cách chọn. Chọn chữ số hàng đơn vị có 5 cách chọn.Vậy có 2160 cách chọn Câu 2(5 điểm). 1.Ta có A 3 n3 15 n 3( n 1) n ( n 1) 18 n chia hết cho 18 với mọi n. 2.Gọi a là số xe , b là số học sinh ( a,b ∈ N,a,b > 0 ). Vì xe chở 12 hs thì thừa 1 hs nên ta có phƣơng trình b =12a+1 (1). Vì giảm 1 xe nên số xe sau đó là a-1(xe). khi đó mỗi xe cần chở số hs là b (2). a 1 Thay (1) vào (2) và ta có mỗi xe chở 12a 1 (3) ( và thƣơng số này phải là số nguyên a 1 12a 1 12a-12+13 13 dƣơng).Ta có 12 . Để (3) dƣơng thì a-1 là ƣớc của 13 nên chỉ a 1 a 1 a 1 xảy ra hai trƣờng hợp là a =2 hoặc a=14 . Khi a=2 thì b=25 khi đó (3) có giá trị là 25 >16 nên loại . Khi a=14 thì b=169 khi đó (3) có giá trị là 13<16 chọn .Vậy số ô tô lúc đầu là 14 chiếc xe .Số hs đi tham quan là 169 hs Câu 3(6 điểm). 1.Ta có AB 10( cm ); A D 2 5( cm ). 3 Ta tính đƣợc SABCD 20 5 và VABCDD S ABC . h 20 5.20 400 5( cm ) A M N B S P D R Q C 2.a A C M P I N B Q O D Ta có MPN MQN MPI NPI MQI NQI DAC DBC 1800 .Ta có lúc đó bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc 1 đƣờng tròn. 2b.Ta có giả sử các dây cung AB và CD thay đổi nhƣng luôn luôn vuông góc nhau 1 1MN2 PQ 2 1 AB 2 C D 2 S MN... PQ tại I thì MPNQ 2 2 2 2 8 .Tứ giác MNPQ có diện tích lớn 1DAB22 C nhất là . khi I trùng với O. 28 Câu 4(4 điểm). 1.Ta có điều kiện xy 1; 2.Ta có x 142 y 52(1)5 y x22 x 142 y 52(1)5 y x .Ta tiến 5x(4 x y )(10x 2 3 y ) y x (2)(5x1)0 x y 2 hành giải 2 hệ phƣơng trình sau . x 1 4 2 y 5 2 y ( x 1)2 5 x 0 TH1.Ta có . x 0 y 0 x 0 y 0 x 1 4 2 y 5 2 y ( x 1)2 5 TH2.Ta có x 3 . xy 2 3 y 2 1 1 2.Do bất đẳng thức có tính đối xứng nên ta giả sử xy, hoặc xy, .Ta có 2 2 1 (2x1)(2 y 1) 0 x y 2x y .Mặt khác ta có 2 1 xyz2 2 2 2 xyz 2x yz 2 2x yzz 1 2x y .Nhân hai bất đẳng thức trên ta có 111 xy yz zx 2x yz xy yz z x-2x yz .Vậy giá trị lớn nhất của P là khi x,y,z là các 222 11 hoán vị của ; ;0 . 22 Câu 5(2 điểm).Xét 5 số tự nhiên tuỳ ý, khi chia cho 3 có thể xảy ra: Có 3 số dƣ giống nhau Tổng 3 số tƣơng ứng chia hết cho 3. Trái lại, sẽ có 3 số dƣ đôi một khác nhau Tổng 3 số tƣơng ứng không chia hết cho 3.Vậy trong 5 số tự nhiên bất kì, tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3. Xét 17 số tự nhiên tuỳ ý: Chia chúng thành 3 tập, có lần lƣợt 5, 5, 7 phần tử. Trong mỗi tập, chọn đƣợc 3 số có tổng lần lƣợt là: 3a;3a;3a(a;a;a1 2 3 1 2 3 ) còn lại: 17 9 8 số, trong 8 số này, chọn tiếp 3 số có tổng là 3a 4 , còn lại 5 số, chọn tiếp 3 số có tổng là 3a 5 . Trong 5 số a1 ;a 2 ;a 3 ;a 4 ;a 5 có 3 số ai1;; a i 2 a i 3 có tổng chia hết cho 3 9 học sinh tƣơng ứng có tổng các số báo danh là: 3ai1 3 a i 2 3 a i 3 3( a i 1 a i 2 a i 3 ) 9.