Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT TP. Hồ Chí Minh (Có đáp án)

SÐ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HÅC SINH GIÄI LÎP 9 CẤP THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH THÀNH PHÈ Khóa thi ngày 13/3/2019 Môn thi: TOÁN —————— Thời gian làm bài: 90 phút, không kº thời gian ph¡t đề —————— Bài 1. (4 điểm) 2 1 1 x2 y2 Cho x; y là c¡c sè thực sao cho − = . T½nh gi¡ trị cõa biºu thùc + . x y 2x + y y2 x2 Bài 2. (3 điểm) Cho a; b; c là ba sè thực sao cho a + b = c − 2 và ab = 2c2 − 3c + 1. T¼m gi¡ trị lớn nh§t cõa biºu thùc P = a2 + b2 Bài 3. (3 điểm) An khởi hành tø Sài Gán đi Bi¶n Háa. Sau đó 5 phút, B¼nh và Cường khởi hành tø Bi¶n Háa v· Sài Gán. Tr¶n đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp B¼nh ở địa điểm D. T½nh vªn tèc cõa méi người, bi¸t r¬ng qu¢ng đường Sài Gán - Bi¶n Háa dài 39 km 3 CD = 6 km; Vªn tèc cõa An b¬ng 1,5 l¦n vªn tèc cõa B¼nh và b¬ng vªn tèc cõa Cường. 4 Bài 4. (6 điểm) Cho 4ABC c¥n t¤i A, nëi ti¸p đường trán (O). Tø B k´ đường th¯ng vuông góc với OC, đường th¯ng này c­t AC t¤i D và c­t (O) t¤i E (E kh¡c B). Cho bi¸t AB = 8cm và BC = 4 cm, t½nh độ dài c¡c đoạn th¯ng DE; OA và OD. Bài 5. (4 điểm) Hëp phô mai có d¤ng h¼nh trụ, đường k½nh đáy 12,2 cm và chi·u cao 2,4 cm. a) Bi¸t r¬ng 8 mi¸ng phô mai được x¸p s¡t b¶n trong hëp và độ dày cõa gi§y gói tøng mi¸ng không đáng kº. Hỏi thº t½ch cõa mët mi¸ng phô mai là bao nhi¶u? b) T½nh di»n t½ch gi§y gói được sû dụng cho mët mi¸ng phô mai. (Ghi k¸t qu£ g¦n đúng ch½nh x¡c đến 1 chú sè thªp ph¥n sau d§u ph©y) – HẾT – KÌ THI HÅC SINH GIÄI LÎP 9 CẤP THÀNH PHÈ Khóa thi ngày 13/3/2019 Môn thi: TOÁN LÍI GIẢI Đây là lời gi£i minh họa môn To¡n k¼ thi học sinh giỏi c§p thành phè cõa đội ngũ gi¡o vi¶n tr´ ở trung t¥m “ Star Education”. Bài 1. Điều ki»n: xy 6= 0; y 6= −2x. 2 1 1 2y − x 1 Tø gi£ thi¸t: − = , = , (2y − x)(2x + y) = xy x y 2x + y xy 2x + y , 4xy + 2y2 − 2x2 − xy = xy , 2xy + 2y2 − 2x2 = 0 , xy + y2 − x2 = 0(∗). y x V¼ xy 6= 0 n¶n chia phương tr¼nh (∗) cho xy, ta được: 1 + − = 0 x y x y x y 2 x2 y2 x2 y2 , − = 1 , − = 1 , + − 2 = 1 , + = 3 y x y x y2 x2 y2 x2 Bài 2. Ta có: P = a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab. Dùng phương ph¡p th¸, ta được: P = (c − 2)2 − 2(2c2 − 3c + 1) = c2 − 4c + 4 − 4c2 + 6c − 2 = −3c2 + 2c + 2  2 2  1 1 7  12 7 7 = −3 c2 − c − = −3 c2 − 2 · c · + − = −3 c − + ≤ . 3 3 3 9 9 3 3 3 7 Vªy gi¡ trị lớn nh§t cõa P là . 3 8 −5 > a + b = 1 < 3 D§u " = " x£y ra , c = , 2 3 > ab = : 9 5 2 Hay a; b là nghi»m cõa phương tr¼nh X2 − SX + P = 0 , X2 + X + = 0 p p 3 9 8 −5 + 17 8 −5 − 17 a = , 6p hoặc 6p −5 − 17 −5 + 17 :> b = :> b = 6 6 1 Bài 3. 5 phút = giờ. 12 Gọi vA; vB; vC (vA; vB; vC > 0) l¦n lượt là vªn tèc cõa An, B¼nh và Cường. 8 2v > v = A < B 3 ) 4v > v = A : C 3 Đặt s(s > 0) là qu¢ng đường mà An đã đi được khi gặp Cường. K¸t hñp với CD = 6km ta suy ra qu¢ng đường mà An đã đi được khi gặp B¼nh là 39 − (s + 6) = 33 − s. Theo đề, ta có h» phương tr¼nh: 8 s 39 − s 1 > − = 8 s 117 − 3s 1 > vA 4vA 12 − = 3 vA 4vA 12 s + 6 33 − s 1 , s + 6 99 − 3s 1 > − = > − = > 2v : > vA A 12 vA 2vA 12 : 3  12s − 351 + 9s = v  21s − v = 351 , A , A 12s + 72 − 594 + 18s = vA 30s − vA = 522  vB = 32 ) vA = 48 (t=m) ) vC = 64 Vªy vªn tèc cõa An là 48 km/h; vªn tèc cõa B¼nh là 32 km/h; vªn tèc cõa Cường là 64 km/h Bài 4. Gọi AH là đường cao cõa 4ABC suy ra H là trung điểm cõa BC. Theo địnhp l½ Pitago vào p4AHB vuôngp t¤i H, ta có: AH = AB2 − BH2 = 82 − 22 = 2 15 (cm). p AH · BH 2 Suy ra SABC = = 4 15 (cm ) 2 p AB · AC · BC AB · AC · BC AB · AC · BC 16 15 SABC = = ) OA = = (cm). 4R 4 · OA 4 · SABC 15 Gọi S là giao điºm cõa OC và BE. T là trung điểm cõa AC ) OT ?AC. C¡c tù gi¡c BOSH; OT DS nëi ti¸p n¶n: 8 CH · CB = CD · CT (= CS · CO) = 8 ) CD = = 2 (cm) CT N¶n D là trung điểm cõa CT và AD = 6 cm. 2 Vªy BC = CD · CA(= 16) n¶n 4ABC v 4BCD(c · g · c) n¶n 4BCD cũng c¥n t¤i B ) BC = BD = 4 (cm). 12 L¤i có 4DBC 4DAE(g · g) ) BD · DE = CD · AD ) DE = = 3(cm). v BD Ta có S là trung điểm cõa BE n¶n SE = 3; 5 (cm) ) SD = 0; 5 (cm). Áp dụng định l½ Pitago vàop 4OSE vuông t¤i S, ta có: p 17 15 OS = OE2 − SE2 = (cm). 30 Áp dụng định l½ Pitago vàop 4OSD vuông t¤i S, ta có: p 2 285 OD = SD2 + OS2 = (cm). 15 p p 16 15 2 285 V¼ vªy: DE = 3(cm); OA = (cm); OD = (cm). 15 15 Bài 5. a) B¡n k½nh đáy cõa h¼nh trụ là R = 12; 2 : 2 = 6; 1 (cm). 1 Nhªn th§y r¬ng thº t½ch cõa mët mi¸ng phô mai b¬ng thº t½ch cõa c£ hëp phô 8 mai.(h¼nh 1 và h¼nh 2). π · R2 · h π · 6; 12 · 2; 4 N¶n V = = ≈ 35; 1(cm3). piece 8 8 b) Ð h¼nh 3, ta nhªn th§y r¬ng ph¦n di»n t½ch gi§y gói mët mi¸ng b¬ng têng cõa: 2 l¦n di»n t½ch qu¤t AED(2S2), 2 l¦n di»n t½ch h¼nh chú nhªt ABCD(2S1) và 1 l¦n di»n 1 t½ch h¼nh chú nhªt EF DC(S ) là h¼nh chú nhªt có di»n t½ch b¬ng di»n t½ch xung 3 8 quanh cõa c£ hëp phô mai. 2 · π · 6; 12 2 · 6; 1 · 2; 4 · π N¶n S = 2 · 2; 4 · 6; 1 + + ≈ 70(cm2). piece 8 8