Đề thi chọn học sinh giỏi cấp THPT năm học 2008 - 2009 môn: toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THPT NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút (Đề này có 01 trang) Câu 1: ( 4 điểm): Giải hệ phương trình sau: Câu 2: (2 điểm): Chứng minh rằng: chia hết cho 8. Câu 3: ( 2 diểm) Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình: Câu 4: ( 5 điểm): Cho dãy số (Un) xác định bởi: trong đó -1 <a < 0 a) Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 với và (Un) là một dãy số giảm. b) Chứng minh rằng: với c) Tìm Lim Un Câu 5: (3 điểm): Cho tam giác ABC có AB = AC, đường cao AH. Từ điểm M trên BC kẻ MP AB và MQ AC sao cho P, Q lần lượt nằm trên các đường thẳng AB, AC. Chứng minh rằng đường trung trực của PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cạnh BC. Câu 6: (2 điểm): Đối với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(- 1; 0); B(1; 0) và đường thẳng d có phương trình: ax + by + 1 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) có phương trình: . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d. Câu 7: (2 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau: --------------------------------------------Hết ------------------------------------------------ Hướng dẫn chấm Môn Toán Câu Nội dung Điểm 1 Giải hệ phương trình: (I) Ta có: (I) Đặt là nghiệm của phương trình bậc hai: X2 - 97X - 12168 = 0 X = 169 và X = - 72 Hệ (1) có 4 nghiệm: (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; - 2) Hệ (2) có 4 nghiệm: (3; - 2), (- 2; 3), (2; - 3), (-3; 2) Tóm lại hệ có 8 nghiệm như trên. 1 điểm 1 điểm 2 điểm 2 Chứng minh rằng: chia hết cho 8 Ta có: (M, N là các đa thức) vì 2008 chia hết cho 8 (đccm) 1 điểm 1 điểm 3 Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình: (1) Ta có: (1) Vì x, y là các số nguyên tố nên có các khả năng sau sảy ra: 1. 2. Vô nghiệm 3. Vô nghiệm 1 điểm 4. vô nghiệm Vậy (3; 2) là nghiệm duy nhất của phương trình. 1 điểm 4 Cho dãy số (Un) xác định bởi: trong đó - 1< a < 0 1,5 điểm 1,5 điểm 2,0 điểm a) Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 (2) với và (Un) là một dãy số giảm. CM bằng quy nạp: - với n = 1 thì U1 = a theo giả thiết - 1 < a < 0 nên (2) đúng với n = 1. - Giả sử (2) đúng với n = k: - 1 < Un < 0 ta CM (2) đúng với n = k + 1. Từ (2) ta có: 0 < Un + 1 < 1 (*) Do đó và tức là: - 1 < Un+1 < 0 Vì - 1 < Un < 0 nên Un + 1 và với Từ (1) suy ra: Vậy Un là dãy giảm. b) Từ đẳng thức (1) suy ra: Vì Un là dãy giảm; -1 < Un < 0 với mọi n và U1 = a nên: với từ đó suy ra: Do đó: và từ (3) ta có: Theo chứng minh trên ta có: c) Đặt ta có: 0 0 và Ta có: Vì Lim (a + 1). qn - 1 = (a + 1). Lim qn - 1 nên Lim Vn = 0 Hay Lim Un = - 1 5 Vẽ thì H là trung điểm của BC và AH đồng thời là phân giác của góc . Ta có ba điểm H, P, Q nằm trên đường tròn đường kính AM. * Nếu Q nằm trong đoạn AC (hình 1). Ta có Tứ giác APHQ nội tiếp nên: Và kết hợp với Có tức là cân tại H. Do đó HP = HQ. Vậy H thuộc đường trung trực của đoạn PQ. (Hình 1) * Nếu Q nằm ngoài đoạn AC (Hình 2) vẫn có kết quả như vậy. Trong chứng minh trên chỉ khác: (1') (2') (Hình 2) * Trong trường hợp P nằm ngoài đoạn AB chứng minh tương tự. Khi hoặc kết quả hiển nhiên. Vậy khi M di động trên cạnh BC của tam giác ABC thì đường trung trực của đoạn PQ luôn đi qua điểm H cố định (chân đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC) 1,5 điểm 1,5 điểm 6 Ta có: (C) có tâm O(0;0) bán kính R = 1 Vì d tiếp xúc với (C) d(O;d) = R =1 Mặt khác tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng d là: Do T đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị mhỏ nhất. Với 4 số: a, b, 1, -1 ta có: Dấu "=" xảy ra khi hoặc 1,0 điểm 1,0 điểm 7 Ta có: Mặt khác: nên Do Suy ra: Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c 1,0 điểm 1,0 điểm