Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Đề chính thức) - Năm học 2019-2020 - Sở GD&ĐT Bình Thuận (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2018 – 2019 Ngày thi: 18/10/2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Đề này có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (6,0 điểm). a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2x y 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị x2 xy y2 nhỏ nhất của biểu thức P . x2 xy y2 b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3 x 2 3 mx m có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành. Bài 2 (5,0 điểm). * a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số un biết u1 2 và un 1 2 un 5, n . 1 2vn * b) Cho dãy số vn thỏa mãn v1 , vn 1 2 , n . Chứng minh 2018 1 2018vn * rằng vn 1 vn,.  n Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 2xy x y 1 x y . 2 2 2 2 x y y 1 x 1 x y x Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB AC và hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Các đường tròn O1 , O2 cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại BC,. Gọi D là giao điểm thứ hai của O1 và O2 . a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC; b) Chứng minh ba đường thẳng EF, BC, HD đồng quy. -------------- HẾT ------------- Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung Điểm 1 6,0 a t2 t 1 x 1 Ta có P , với t . t2 t 1 y 2 0,5 t2 t 1 1 Xét hàm số f() t với t . t2 t 1 2 0,5 f ( t ) 0 2t 2 2 1,0 Tính được f (t) 2 2 , 1 t 1. (t t 1) t 2 0,5 Bảng biến thiên 1 0,5 Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng , không có giá trị lớn nhất. 3 b Tập xác định D y' 3 x2 6 x 3 m 0,25 Yêu cầu bài toán Phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt 0,5 x, x thỏa mãn y x. y x 0. 1 2 1 2 Phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt 1 m 0 (*) 0,25 Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A x1;,;. y 1 B x 2 y 2 0,25 x 1 Ta có y . y 2 m 1 x 3 3 0,25 Do đó y y x 2 m 1 x 1 1 1 0,25 y2 y x 2 2 m 1 x 2 2 0,5 y x . y x 0 4 m 1 x . x 0 1 2 1 2 0,5 x1. x 2 0 m 0 m 0 0,25 Kết hợp với điều kiện (*) ta có m 0 thỏa mãn bài toán 2 5,0 a * 0,5 n , ta có un 1 2 u n 5 u n 1 5 2 u n 5 * Đặt wn u n 5,  n . * Khi đó wn 1 2 w n ,  n . 0,5 0,5 Do đó wn là cấp số nhân có w1 u 1 5 7, công bội q 2. n 1 n 1 * Suy ra wn w1. q 7.2 ,  n . 0,5 n 1 * Vậy un 7.2 5,  n . 0,5 b * 0,5 Chứng minh được vn 0,  n . 2v 2 v 1 Khi đó v n n ,.  n * (1) 1,0 n 1 1 2108v2 n 2 2018.vn 2018 Mặt khác, n *, ta có 2 3 v1 2018 v 2vn v n 2018 v n n n vn 1 v n 2 v n 2 2 0 1 2018vn 1 2018 v n 1 2018 v n 1,0 3 2 2 4,0 2xy x y 1 x y (1) . 2 2 2 2 x y y 1 x 1 x y x (2) Điều kiện xy 0 0,25 2 Ta có x 1 x 0,  x nên y 0 không thỏa mãn (2). Do đó 0,5 y 0. Suy ra x 0 không thỏa mãn (1). Nếu x, y cùng âm thì (1) vô lí. Do đó x, y cùng dương. 0,25 1 Suy ra (2) x2 1 x y y 2 1 1 x2 1 1 1 2 0,5 2 1 y y 1 y (3) x x x Xét hàm số f( t ) t t2 1 t trên khoảng 0; . 0,25 t 2 Ta có f ( t ) t2 1 1 0,  t 0 0,5 t 2 1 Suy ra f() t đồng biến trên 0; 0,5 1 1 Do đó (3) f f y y xy 1 0,5 x x Thay xy 1 vào phương trình (1) ta được 2 x y 1 x2 y 2 x 1 2 y 1 2 0 x y 1 0,5 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1;1 0,25 4 5,0 a Gọi I là giao điểm của AD và BC. 0,25 Ta có IB2 IA.. ID IC 2 0,75 Suy ra IB IC. 0,25 Do đó I là trung điểm của BC. Hay đường thẳng AD đi qua trung 0,25 điểm I của BC. b A E F H D K B I C 1,0 Chứng minh được BHC BDC. Suy ra tứ giác BHDC nội tiếp. Chứng minh AFHD nội tiếp 1,0 Chứng minh EF,, BC HD đồng qui 1,5