Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Sơn La (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SƠN LA LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Năm học 2018-2019.Ngày thi 18/03/2019 Thời gian làm bài :150 phút 6x 4 3x Câu 1 (3 điểm).Cho biểu thức A .Tìm x nguyên để A nhận 3 3x3 8 3x 2 3x 4 giá trị nguyên. 2 Câu 2 (4 điểm). Cho phƣơng trình x 2( m 1) x 3 m 3 0 (1). 22 a)Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x12;x thỏa mãn M x1 x 2 5x x 1 2 đạt giá trị nhỏ nhất. b)Xác định m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Câu 3 (4 điểm). 2x 13x a)Giải phƣơng trình 6 xx22 5x 3 2x 3 x32 2x y 12 y 0 b)Giải hệ phƣơng trình 8yx22 12 Câu 4 (6 điểm).Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đƣờng thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đƣờng tròn tâm O thay đổi nhƣng luôn đi qua B và C (O không thuộc đƣờng thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đƣờng tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đƣờng tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. 1. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đƣờng tròn. 2. Chứng minh điểm K cố định khi đƣờng tròn tâm O thay đổi. 3. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đƣờng thẳng vuông góc với MD cắt đƣờng thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME. Câu 5 (2 điểm). Cho hình vuông ABCD và 2019 đƣờng thẳng phân biệt thỏa mãn mỗi đƣờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và chia hình vuông thành 2 phần có tỉ số diện tích là 0,5.Chứng minh rằng trong 2019 đƣờng thẳng trên có ít nhất 505 đƣờng thẳng đồng quy. 6x 4 3x Câu 1 (3 điểm).Cho biểu thức A .Tìm x nguyên để A nhận 3 3x3 8 3x 2 3x 4 giá trị nguyên. 6x 4 3x 1 Điều kiện x 0 .Ta có A .Để A nguyên thì 3 3x3 8 3x 2 3x 4 3x 2 x 3 3x 2 1 1 .Vậy x 3 là thỏa đề 3x 2 1 x 3 Câu 2 (4 điểm). Cho phƣơng trình x2 2( m 1) x 3 m 3 0 (1). m 1 a)Để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x12;x thì ' (mm 1)( 4) 0 . m 4 2 2 2 Khi đó M x1 x 2 5 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) 3 x 1 x 2 2 22 1 81 81 4(m 2 m 1) 9 m 9 4 m m 5 m .Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi 8 16 16 1 m . 8 b) Để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì ' (mm 1)( 4) 0 x12 x 23 m . xx12 1 Câu 3 (4 điểm). 2x 13x a)Giải phƣơng trình 6 xx22 5x 3 2x 3 5 13 5 13 2x 13x ĐKXĐ: x2 5x 3 0 x ; x .Ta có 6 .Nhận thấy 22 xx22 5x 3 2x 3 x 0 không là nghiệm của phƣơng trình. Khi x 0 thì Phƣơng trình đã cho 2 13 3 6 0. Đặt tx , ta đƣợc phƣơng trình biểu thị theo t là 33 xx 51 x xx 2 13 11 3 6 tt 1; . Với t 1 x 1 x2 x 3 0 (vô nghiệm) tt 51 2 x 11 3 11 11 73 Với t x 2 x2 11 x 6 0 x (thỏa mãn). Vậy phƣơng trình đã 2x 2 4 11 73 cho có tập nghiệm là S .  4 x32 2x y 12 y 0 x 22 y x y b)Ta có 2 2 2 2 .Từ đó suy ra nghiệm hệ là 8yx22 12 8y x 12 8 y x 12 (-2;1) và (2;-1). Câu 4 (6 điểm).Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đƣờng thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đƣờng tròn tâm O thay đổi nhƣng luôn đi qua B và C (O không thuộc đƣờng thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đƣờng tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đƣờng tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. 1. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đƣờng tròn. 2. Chứng minh điểm K cố định khi đƣờng tròn tâm O thay đổi. 3. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đƣờng thẳng vuông góc với MD cắt đƣờng thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME. M A P H O D Q B K E I N C d a)I là trung điểm của BC (Dây BC không đi qua O) OI  BC OIA = 900 . Ta có OMA = 900 nên ANO = 900 . Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đƣờng tròn đƣờng kinh OA. b)Gọi I là trung điểm của BC suy ra IO BC ABN đồng dạng với ANC (Vì ANB ACN, CAN chung) AB AN AB.AC = AN2 . ANO vuông tại N, đƣờng cao NH nên AH.AO = AN AC AN2 AB.AC = AH.AO (1). AHK đồng dạng với AIO (g.g) AH AK Nên AI  AK AH  AO (2) AI AO AB AC Từ (1) và (2) suy ra AI.AK AB.AC AK .Ta có A, B, C cố định nên I cố AI định AK không đổi. Mà A cố định, K là giao điểm của BC và MN nên K thuộc tia AB K cố định (đpcm) ME MH c)Ta có: MHE đồng dạng QDM (g.g) MQ DQ MP MH MH MP 1 ME và PMH đồng dạng MQH (g.g) . ME = 2 MQ QH 2DQ MQ 2 MQ MP P là trung điểm ME. Câu 5 (2 điểm). Cho hình vuông ABCD và 2019 đƣờng thẳng phân biệt thỏa mãn mỗi đƣờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và chia hình vuông thành 2 phần có tỉ số diện tích là 0,5.Chứng minh rằng trong 2019 đƣờng thẳng trên có ít nhất 505 đƣờng thẳng đồng quy. d Gọi MN; EF là đƣờng nối trung điểm 1 hai cạnh đối của hình vuông (hình vẽ) A A1 E B Giả sử đƣờng thẳng d1 cắt cạnh AB tại A1 cắt MN tại I và cắt cạnh CD tại B1. K Ta có các tứ giác AA1B1D và BCB1A1 M N là hình thang và có MI, NI lần lƣợt là I J H các đƣờng trung bình của hai hình thang đó. D F B1 C 1 AD AA DB S 11 2IM IM 1 Khi đó AA11 B D 2 (theo GT) S1 2IN IN 2 A11 BCB BC A B B C 2 11 MI 1 1 Suy ra nên MI MN vậy điểm I cố định. Lập luận tƣơng tự ta tìm đƣợc các MN 3 3 điểm H; J; K cố định (hình vẽ). Có 4 điểm cố định mà có 2019 đƣờng thẳng đi qua nên theo nguyên lý Đirichlet ít nhất phải có 505 đƣờng thẳng đồng quy.