Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 10 môn: Toán

Trường THPT cẩm thuỷ I đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 10 năm học 2007-2008 Môn : Toán Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: Cho các phương trình: x2-x+m=0 (1) và x2+2x-3m=0 (2). Tìm m để (1) và (2) tương đương. Bài 2: Giải các phương trình sau: a) b) . c) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x-1)(x-2)(x-3) = y2 Bài4: Giải hệ phương trình: Bài 5: Tìm bR để: có nghiệm với . Bài 6: Tìm a R để hệ phương trình: có nghiệm duy nhất? Bài 7: Giải cácbất phương trình sau: a) b) với mR. Bài 8: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng (d): x-1= 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1): x-y+1= 0; (d2): x-y-1= 0. Bài 9: ChoABC, gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ABC. Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng. Bài 10: Cho ABC với a, b, c là các cạnh tương ứng với các góc A, B, C và S là diện tích . Chứng minh rằng : (-a + b + c)(a – b + c)(a + b – c) Bài 11: Cho ABC với: ABC ( A, B, C là số đo ba góc trong của tam giác ABC ). chứng minh rằng: (Trong đó: ha, hb, hc là độ dài các đường cao của ABC tương ứng hạ từ các đỉnh: A,B,C). Hết Họ tên thí sinh . Số báo danh. Thí sinh không được sử dụng tài liệu , giám thị không giải thích gì thêm. Đáp án toán 10 Kỳ thi học sinh giỏi Năm học 2007-2008. Bài 1: (2 điểm) Ta có: =1-4m; =1+3m.Thì (1) và (2) tương đương khi: *) (0,5 đ) *) mọi nghiệm x0 của (1) cũng là nghiệm của (2). Từ (0,5 đ) *) m=0 (1) x2-x=0 với nghiệm là:0;1 không tương đương với (2) x2+2x=0 nghiệm là;0;-2. (0,5 đ) *) m=-15/4 (1) x2-x-=0 không tương đương với (2) x2+2x+=0 VN. Vậy Khi: (0,5 đ) Bài 2 (4,5 điểm) : a) (1,5 điểm) *) x=0 không là nghiệm (0,25 đ) *) x - Đặt y=x+ ĐK (0,5 đ) Ta được VN (1,25 đ) b) (1,5 điểm) Đặt a= b= ĐK bĐược (0,75 đ) *) a=0;b=1 giảI được x=2 *) a=1;b=0 giảI được x=1 *) a=-2;b=3 giảI được x=10 Vậy nghiệm của phương trình là: x=1;x=2. (0,75 đ) c) (1,5 điểm) *) Dễ thấy x=2007;x=2008 là nghiệm (0,25 đ) *) Với x<2007 (1)(2007-x)2008+(2008-x)2007=1 VN vì với x1 nên (2008-x)2007>1 & (2007-x)2008>0. (0,5 đ) *) Với x>2008 (1)(x-2007)2008+(x-2008)2007=1 VN vì với x>2008 thì x-2007>1 nên (x-2007)2008>1 & (x-2008)2007>0.(0,25 đ) *) Với 2007<x<2008 (1)(x-2007)2008+(2008-x)2007=1 VN vì với 2007<x<2008 thì: (x-2007)2008+(2008-x)2007<(x-2007)+(2008-x)=1. Vậy nghiệm của phương trình là: x=2007;x=2008. (0,5 đ) Bài 3: (1,5 điểm) Ta có y2=(x2-3x)(x2-3x+2)= (x2-3x+1-1)(x2-3x+1+1)=(x2-3x+1)2-1 (x2-3x+1-y)(x2-3x+1+y)=1 (0,5 đ) *) có nghiệm (1;0) & (2;0). (0,5 đ) *) có nghiệm (0;0) & (3;0). (0,5 đ) Bài 4: (1,5 điểm) Từ (1) có: (*) khi đó trừ (1) cho (2) được: x2(1-x2005)+y2(1-y2006)=0 (1,0 đ) Vậy nghiệm của hệ là: (0;1);(0;-1);(1;0). (0,5 đ) Bài 5: (1,5 điểm) D=a2-4 *) a hệ có nghiệm (0,5 đ) *) a=2 hệ có nghiệm ;b=3. (0,5 đ) *) a=-2 hệ có nghiệm . (0,5 đ) Bài 6: (1,5 điểm) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng (d):x+y=a+1 là tiếp tuyến của đường tròn (C):x2+y2=2a2-2 (0,5 đ) với (1,0 đ) Bài 7: (2,5 điểm) a) (1,5 điểm) ĐK: +) dễ thấy x=1 là 1 nghiệm (0,5 đ) +) x<1 (1) Luôn đúng vì: & (0,5 đ) +) x (1) VN vì: & (0,5 đ) Vậy nghiệm của bất phương trình là: b) (1,0 điểm) *) Tập nghiệm là T=R- (0,5 đ) *) m>0 Tập nghiệm là T= (0,5 đ) Bài 8: (1,0 điểm) Vì I nằm trên (d) nên I(1;b) Theo bài ra ta có . (0,75 đ) Hay (C): (x-1)2+(y-1)2=1/2. (0,25 đ) Bài 9: (1,5 điểm) Gọi G là trọng tâm,H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi giao của BO với đường tròn (O) là I. Chứng minh AICH là hình bình hành, (0,5 đ) gọi M là trung điểm của BC chứng minh: (0,5 đ) Chứng minh . Và kết luận G,H,O thẳng hàng (0,5 đ) Bài 10: (1,5 điểm) Đặt x=-a+b+c,y=a-b+c,z=a+b-c (0,5 đ) Khi đó (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)abc áp dụng BĐT Cô si để chứng minh (0,75 đ) Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều. (0,25 đ) Bài 11: (1,5 điểm) Thay Đưa bài toán về: (0,5 đ) b2c+c2a+a2ba2c+b2a+c2b (0,75 đ) Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều. (0,25 đ)