Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2007-2008 môn: toán thời gian làm 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Sở giáo dục - đào tạo Thái bình ***** đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THpt Năm học 2007-2008 Môn: toán Thời gian làm 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu1. (3,0 điểm) Cho hàm số với mlà tham số. Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. Câu 2. (3,0 điểm) Cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 2x – 6y + 1 = 0 và A(1; 6) thuộc (C). Lập phương trình đường tròn đi qua M(2; -1) và tiếp xúc với đường tròn (C) tại A. Câu 3. (3,0 điểm) Giải phương trình sin2x – cosx = 1 + log2sinx ; với . Câu 4. (3,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hệ sau luôn có nghiệm (x;y): Câu 5. (2,0 điểm) Giả sử hàm số liên tục có đạo hàm trên khoảng (0;1), ngoài ra f(0) = 0, f(1) =1. Chứng minh rằng tồn tại a, b sao cho và f’(a)f’(b)=1. Câu 6. (3,0 điểm) Với mọi x,y ≠0. Chứng minh rằng: Câu 7. (3điểm) Cho a, b là các số dương. Chứng minh: Họ và tên thí sinh: Số báo danh:.. Đáp án và biểu điểm Câu1(3đ) *)( 0,75đ) Điều kiện cần để hàm số nghịch biến trên R là hàm số phải xác định trên R hay bất phương trình (1) phải đúng với mọi x *) Điều kiện đủ: Xét với hai trường hợp sau: TH1: (0,75đ) Nếu thì TH2: (1đ) Nếu m > 1/2 thì . Vậy ta có Do đó bất phương trình f’(x) < 0 Vì và (0,5đ) Vậy (2) đúng với mọi x hay f’(x) 1/2 KL: m >1/2. Câu2. (3điểm) *)(1đ) Đường tròn (C) có tâm I(1;3). Gọi I’ là tâm của đường tròn (C’) tiếp xúc với (C) tại A(1;6) và đi qua M(2;-1) I’ thuộc đường thẳng IA. Mà ; vậy ta chọn là véc tơ pháp tuyến của IA phương trình đường thẳng IA là x-1=0. *) (1đ) Mặt khác (C’) qua A và M nên I’ thuộc đường trung trực của đoạn AM Gọi J là trung điểm của AM và =(1; - 7) Phương trình đường trung trực của đoạn AM là *) (1đ) Vậy toạ độ I’ là nghiệm của hệ: (C’) có bán kính là *) Phương trình đường tròn là (3đ) *) (1đ) Đặt do đó *)(1đ) Có : Vì đồng biến nên: *) (1đ)Lập bảng biến thiên ta được MinA=Min=- 2 với khi t=-2 hay x=-y Vậy được chứng minh. Người thẩm định Người soạn đề GV: Vũ Văn Cẩn Hiệu trưởng ký duyệt