Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh năm học 2004 - 2005 môn: Toán 6

Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 6 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) Tính a/ A = b/ B = Câu 2 (2 điểm) a/ Chứng minh rằng: 1028 + 8 chia hết cho 72 b/ Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 22001 + 22002 B = 22003 So sánh A và B c/ Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 đều là các số nguyên tố. Câu 3 (2 điểm) Người ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa 1 em, còn nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em. Hỏi có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh ? Câu 4 (3 điểm) Cho +ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm. a/ Tính độ dài BM b/ Biết BAM = 800; BAC = 600. Tính CAM c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1 cm. Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng: Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 6 Câu 1: Tính a/ A = (1 điểm) b/ B = (1 điểm) Câu 2: a/ Vì 1028 + 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9 Lại có 1028 + 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72 (1/2 điểm) b/ Có 2A = 2 + 22 + 23 + . . . + 22002 + 22003 => 2A – A = 22003 – 1 => A = B – 1. Vậy A < B. (1/2 điểm) c/ Xét phép chia của p cho 5 ta they p có 1 trong 5 dạng sau: p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + 4 (k N; k > 0) + Nếu p = 5k thì do p nguyên tố nên k = 1 => p = 5 + Nếu p = 5k + 1 => p + 14 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 2 => p + 8 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 3 => p + 12 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 4 => p + 6 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) Thử lại với p = 5 thoả mãn (1 điểm) Câu 3: Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia mỗi tổ 10 em thì cũng còn thừa 1 em như khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cách chia sau hơn cách chia trước 4 học sinh. Mỗi tổ 10 học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh là: 10 - 9 = 1 (học sinh) (1 điểm) Do đó số tổ là: 4 : 1 = 4 (tổ) (1/2 điểm) Số học sinh là: 4 . 10 – 3 = 37 (học sinh) (1/2 điểm) Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận (1/2 điểm) a/ C nằm giữa B và M => BC + CM = BM (1/2 điểm) => BM = 3 + 5,5 = 8,5 (1/2 điểm) b/ C nằm giữa B và M =>AC là tia nằm giữa 2 tia AB và AM (1/2 điểm) => BAC + CAM = BAM => CAM = BAM – BAC => CAM = 800 – 600 = 200(1/2 điểm) c/ Xét 2 trường hợp: + Nếu K nằm giữa C và M tính được BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5 (cm) + Nếu K nằm giữa C và B tính được BK = 4,5 (cm) (1/2 điểm) Câu 5: Ta có: (1/2 điểm) (1/2 điểm) Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 7 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) Thực hiện các phép tính: a/ b/ ( 1 + 2 + 3 + ... + 90 ) ( 12 . 34 - 6 . 68 ) : Câu 2 (2 điểm) a/ Chứng minh rằng 3636 - 910 chia hết cho 45 b/ Tính x, y, z biết rằng: x + y + z c/ Tìm các số a, b, c biết: ( - 2a2b3 )10 + ( 3b2c4 )15 = 0 Câu 3 (2 điểm) Một người đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút. Sau khi đi được quãng đường thì người đó đi với vận tốc 3 km/h nên đến B lúc 12 giờ trưa. Tính quãng đường AB, người đó khởi hành lúc mấy giờ? Câu 4 (3 điểm) ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ACE vuông cân (góc ACE = 900). Đường cao Ah của tam giác ABC và đường cao CK của tam giác BCE cắt nhau ở N. Chứng minh AN = BC. Câu 5 (1 điểm) Cho 25 số, trong đó 4 số bất kì nào cũng có tổng là 1 số dương. Chứng minh rằng tổng 25 số ấy là một số dương Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 7 Câu 1: = 1 (1 điểm) b/ Ta có: 12.34 - 6 . 68 = 0 Do đó giá trị của biểu thức bằng 0. Câu 2: a/ Ta có 3636 có tận cùng bằng 6 910 có tận cùng bằng 1 (1/4 điểm) Do đó 3636 - 910 chia hết cho 5, đồng thời cũng chia hết cho 9, vậy chia hết cho 45 (1/4 điểm) b/ Ta có: (1) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho 3 tỉ số đầu ta được: (2) Nếu x + y + z = 0 thì từ (1) suy ra x = 0; y = 0; z = 0. Nếu x + y + z 0 thì từ (2) suy ra: x + y + z = (1/2 điểm) Khi đó (1) trở thành: Do đó: Có 2 đáp số: (0; 0; 0) và (1/2; 1/2; -1/2) (1/2 điểm) c/ Ta có: 210 . a20 . b 30 + 315 . b30 . c60 = 0 Hai đơn thức ở vế trái đều không âm mà có tổng bằng 0 nên: (1/4 điểm) Do đó b = 0, a và c tuỳ ý hoặc a = 0; c = 0 và b tuỳ ý hoặc a = 0; b = 0; c = 0. Câu 3: Ta có sơ đồ sau: A C B Gọi thời gian đi CB với vận tốc 4 km/h là t1 (phút) Gọi thời gian đi CB với vận tốc 3 km/h là t2 (phút) => t2 - t1 = 15 (phút) và v1 = 4 km/h; v2 = 3 km/h. (1/2 điểm) Ta có mà vận tốc và thờigian là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên: (1/2 điểm) => t2 = 15 . 4 = 60 (phút) = 1 (giờ) (1/2 điểm) Vậy quãng đường AB bằng: 1 . 5 . 3 = 15 (km) Và người đó khởi hành lúc: 12 - 1 . 5 = 8 (giờ) Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận (1/2 điểm) Ta có: NAC = BCE (Góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng tù) (1) (1 điểm) Lại có: C2 = E (2) và AC = CE (gt) (3) (1 điểm) Từ (1), (2), (3) =>+ACN =+BEC (gcg) Vậy AN = BC (1/2 điểm) Câu 5: (1 điểm) Trong 25 số đã cho, phải có ít nhất 1 số dương vì nếu cả 25 số đều âm, thì tổng 4 số bât kì là âm, trái với đề bài. Tách riêng một số dương đó, còn lại 24 số, chia thành 6 nhóm. Theo đề bài mỗi nhóm đều có tổng mang giá trị dương nên tổn của 6 nhóm đó là số dương. Vậy tổng của 25 số đó là số dương. Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - 6 b/ Giải phương trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0 Câu 2 (2 điểm) a/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên. b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = Câu 3 (2 điểm) a/ Chứng minh rằng với 4 số bất kỳ a, b, x, y ta có (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 b/ Chứng minh rằng: x3m+1 + x3n+2 + 2 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m,n. Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: Câu 5 (1 điểm) Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 8 Câu 1 a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6 = x(x2 - 22) - 3(x + 2) (1/2 điểm) = x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x - 3) = (x + 2)(x2 - 1 - 2x - 2) = (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x - 3) (1/2 điểm) b/ x4 -30x2 + 31x - 30 = 0 (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*) Vì x2 - x + 1 = (x - 1/2)2 + 1/4 > 0 (1/2 điểm) => (*) (x - 5)(x + 6) = 0 (1/2 điểm) Câu 2 a/ Có f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c là các số nguyên (1/2 điểm) => a + b + c - c = a + b nguyên => 2a + 2b nguyên => 4a + 2b nguyên => (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyên => 2b nguyên Vậy 2a, 2b nguyên. b/ Có A = (1/2 điểm) Đặt y = => A = y2 – 2y + 3 = (y – 1)2 + 2 2 (1/2 điểm) => min A = 2 => y = 1 => x = 2 Vậy min A = 2 khi x = 2 (1/2 điểm) Câu 3 a/ Ta có (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2axby + b2y2 (1/4 điểm) a2y2 - 2axby + b2x2 0 (ay - bx)2 0 (1/4 điểm) Vì bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức đúng nên bất đẳng thức phải chứng minh là bất đẳng thức đúng. (1/4 điểm) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay - bx = 0 hay (1/4 điểm) b/ Ta có x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + 1 (1/4 điểm) = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1) (1/4 điểm) Ta thấy x3m - 1 và x3n - 1 chia hết cho x3 - 1 do đó chia hết cho x2 + x + 1 x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 Câu 4 + Có SABC = BC . AA’ (1/2 điểm) + Có SHBC = BC . HA’ (1/2 điểm) + Có SHAC = AC . HB’ (1/2 điểm) + Có SHAB = AB . HC’ (1/2 điểm) + ; ; (1/2 điểm) => Vậy (1/2 điểm) Câu 5 Do a + b + c = 1 nên (1/2 điểm) Vậy Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1/3 Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) a/ Tính giá trị biểu thức: P = b/ Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thoả mãn a + c = 2b thì ta luôn có: Câu 2 (1,5 điểm) a/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = Câu 3 (2,5 điểm) Xét đa thức P(x) = x9 + x99 a/ Chứng minh rằng P(x) luôn luôn chẵn với mọi x nguyên dương b/ Chứng minh rằng P(2) là bội số của 100 c/ Gọi N là số nguyên biểu thị số trị của P(4). Hỏi chữ số hàng đơn vị của N có thể là chữ số 0 được không ? Tại sao ? Câu 4 (3 điểm) Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox, Oy các điểm A, B sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Câu 5 (1 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b > c và |a - b| < c. Chứng minh rằng phương trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = 0 luôn luôn vô nghiệm. Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 9 Câu 1 a/ P = (1/2 điểm) (1/2 điểm) b/ Ta có: VT = (*) (1/4 điểm) Từ a + c = 2b => a = 2b – c thay vào (*) ta có (1/4 điểm) VT = (**) (1/4 điểm) Thay b = vào (**) ta có VT = VP (Đpcm) (1/4 điểm) Câu 2 a/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2 (2x + 2)2 = 6(7 - y2) (1/4 điểm) Vì (2x + 2)2 0 => 7 - y2 0 => 7 y2 mà y Z => y = (1/4 điểm) + Với y = 1 => (2x + 2)2 = 6(7 - 1) 2x2 + 4x - 16 = 0 => x1 = 4; x2 = -2. + Với y = 2 =>2x2 + 4x - 7 = 0 => x1, x2 Z (loại) (1/4 điểm) + Với y = 0 =>2x2 + 4x - 19 = 0 => x1, x2 Z (loại) Vậy cặp nghiệm (x, y) của phương trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1). b/ Nhận xét rằng nếu x = 0 thì M = 0, giá trị này không phải là giá trị lớn nhất. Vậy M đạt giá trị lớn nhất với x khác 0. Chia cả tử và mẫu cho x2 ta được: M = (1/2 điểm) M đạt giá trị lớn nhất khi nhỏ nhất => = 2 => x = 1 Vậy M lớn nhất bằng 1/3 khi x = 1 Câu 3 Ta có P(x) = (x3)3 + (x33)3 = (x3 + x33)( x6 – x36 + x66) = (x + x11)(x2 – x12 + x22)( x6 – x36 + x66) (1/4 điểm) a/ Với x chẵn thì x9, x99 đều chẵn x lẻ thì x9, x99 đều lẻ => x9 + x99 đều chẵn với mọi x nguyên dương (1/4 điểm) b/ Ta có x11 = 2048 nên x + x11 = 2050 (1/4 điểm) Vì x = 2 nên các thừa số còn lại đều chẵn do đó p là bội của 4100 Vậy P(2) chia hết cho 100 (1/4 điểm) c/ Ta có N = P(4) = 49 + 499 = (29)2 + (299)2 = (29 + 299)2 – 2 . 29 . 299 (1/4 điểm) Theo câu b thì số bị trf có chữ số hàng đơn vị là 0 mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác 0 hay hiệu của chữ số hàng đơn vị khac 0 Vậy chữ số của N khác 0. Câu 4 - Dựng A’ đối xứng với M qua Ox (1 điểm) - Dựng B’ đối xứng với M qua Oy - Nối A’B’ cắt Ox tại A, cắt Oy tại B (1 điểm) => AM = AA’ (A Ox trung trực của A’M) BM = BB’ (B Oy trung trực của B’M) (1/2 điểm) => P(AMB) = AA’ + AB + BB’ nhỏ nhất (vì A’, A, B, B’ thẳng hàng) Câu 5 Tính biệt số = [(a – b)2 – c2][(a + b)2 – c2] (1/2 điểm) Vì a + b > c > 0 và 0 < | a – b| < c nên (a – b)2 (a – b)2 – c2 < 0 và (a + b)2 > c2 => (a + b)2 – c2 > 0 Do vậy Phương trình vô nghiệm (1/2 điểm)