Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2008 – 2009 - Môn thi: Toán

sở giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh thanh hóa Năm học 2008 – 2009 Đề chính thức Môn thi : Toán Số báo danh Ngày thi: 28/3/2009 Thời gian:180 phú,( không kể thời gian giao đề) Bài 1. (5.0 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (C). 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3/ Với mỗi điểm M thuộc (C) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C)? Bài 2. (4.0 điểm) 1Tính tích phân sau: 2/Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó chỉ có một chữ số lẻ? Bài 3. (4.0 điểm) 1/Giải phương trình:. 2/Tìm giá trị của m để bất phương trình sau ngiệm đúng với mọi x 3/Với giá trị nào của x và y thì 3 số theo thứ tự đó, đồng thời lập thành một cấp số cộng và một cấp số nhân. Bài 4 (5.0 điểm) 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình : Chứng minh rằng với mỗi điểm M(m; 3) trên đường thẳng y = 3 ta luôn tìm được hai điểm T1, T2 trên trục hoành, sao cho các đường thẳng MT1, MT2 là tiếp tuyến của (C). Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MT1T2. 2. CHo hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân( AB = BC = 1) và các cạnh bên SA = SB = SC = 3. Gọi K , L lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1. Tính thể tích của tứ diện LMNK Câu. (1.0 điểm) Cho n là số nguyên lẻ và n > 2. Chứng minh rằng với mọi a khác 0 luôn có: Hết đáp án đề chính thức Bài Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 5đ 1(3đ) 1.Tập xác định: R 2. Sự biến thiên +) +) +) Bảng biến thiên x - Ơ 0 1 2 + Ơ y’ + 0 - 0 + y’’ - 0 + y 2 + Ơ U(1; 0) - Ơ -2 x y O 2 1 1+ 1- y = x3 - 3x2 + 2 -2 2 3.Đồ thị 0,5 0,5 1,0 1,0 2.(1đ) Đặt Số nghiệm cua rphương trình là số giao điểm của đường thẳng với đồ thị (C) . Từ đồ thị (C) ta có: +)Nếu m = - 1 hoặc m = 2 thì f(m) = -2 +)Nếu m = 3 hoặc m = 0 thì f(m) = 2 +) Nếu m < - 1 thì f(m) < - 2 +) Nếu m > 3 thì f(m) > 2 +) Nếu thì KL: *) phương trình có một ngiệm *) phương trình có hai nghiệm *) phương trình có ba nghiệm 0,5 0,5 3.(1đ) M thuộc đồ thị (C) suy ra M(a; a3 - 3a2 + 2). đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại T(x0;y0) thì (d) có phương trình: y = (3x02 - 6x0)(x - x0) + x03 - 3x02 + 2 Do M ẻ (d) nên: Û Û Û TH1: ị M º I(1; 0) có một tiếp tuyến duy nhất TH2: Nếu ị M ạ I(1; 0) có hai tiếp tuyến Bài 2 1.(2đ) 0,5 0,5 2.(2đ) Ta kí hiệi số A là ã Có 5 khả năng chọn một chữ số lẻ ã Mỗi cách chọn 1 chữ số lẻ và 5 chữ số chẵn có P6 = 6! cách sắp xếp 6 chữ số đã cho vào 6 vị trí từ a1 đến a6 Như vậy có 5.P6 = 5.6! cách sắp xếp 10 chữ số từ 0 đến 9 vào 6 vị trí từ a1 đến a6 mà mỗi cách chỉ có một chữ số lẻ. * Trong tất cả cá cách sắp xếp đó thì những cách sắp xếp có chữ số 0 đứng ở vị trí a1 không phải là một số có 6 chữ số . * Do tính bình đẳng của các chữ số đã chọn có số cách sắp xếp không phải là số có 6 chữ sốvà bằng Vậy số các số có 6 chữ số mà trong đó chỉ có một số lẻ là 5.6!-5.5! = 5!( 30 - 5) = 25.5! = 3000 số 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3 1.(2đ) Đặt khi đó phương trình trở thành Suy ra : Vậy phương trình có nghiệm , 0,5 0,5 0,5 0,5 2.(2đ) Đặt , bất phương trình đã cho trở thành: (1) BPT (1) thỏa mãn với mọi x khi và chỉ khi: Với a > 6 ta có: Û Û Û 0,5 0,5 0,5 0,5 3.(1đ) Nếu các số đồng thời lập thành cấp số cộng và cấp số nhân thì Suy ra là nghiệm của phương trình: (1) Vậy . (2) Vậy theo bài ra ta có: Từ (1) , thay vào (2) ta được: 0,25 0,25 0,5 Bài 4 1.(3đ) Đường tròn (C) có tâm I(0 ; 1) bán kính R = 1 Điểm T thuộc trục hoành thì T(t; 0) Điểm M(m; 3) thuộc đường thẳng y = 3 , ta có: Phương trình đường thẳng MT: Do MT là tiếp tuyến của (C) nên khoảng cách từ tâm I của (C) đến MT bằng 1, hay: Do phươgn trình (*) luôn có hai nghiệm t1, t2 với mọi m nên luôn tồn tại hai điểm T1(t1; 0) và T2(t2; 0) để MT1 và MT2 là tiếp tuyến của (C). *) Theo định lí Viét có t1 + t2 = -2m. Phương trình đường tròn (C1) ngoại tiếp tam giác MT1T2 có dạng: Vì M, T1, T2 thuộc đường tròn (C1) nên có hệ: (I) Giải hệ (I) ta có: Vậy phương trình của (C1) là: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2.(2đ) Lấy điểm E thuộc SA sao cho AE =1 suy ra NE // AB//KL ị Mặt khác khoảng cách từ L đến mặt phẳng (MKE) bằng Vậy mà (đvtt) 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 5 (1đ) Coi a là ẩn , điều kiện a khác 0 Đặt Suy ra Khi đó: với mọi a và n lẻ, n > 2. Đặt vế trái củabất đẳng thứccần chứng minh là f(a). Ta có khi a > 0 khi a < 0 Do u + v > 0, a ạ 0 ị Ta có bảng biến thiên a - Ơ 0 +Ơ f’(a) + 0 - f(a) 1 Vậy, từ bảng biến thiên ta có f(a) < 1 (đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25