Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế khối 12 chuyên - Năm học 2008-2009 - Môn: Toán

SỎ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIấN HUẾ KHỐI 12 CHUYấN - NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Moõn : TOAÙN Thụứi gian laứm baứi : 180 phuựt Bài 1: (4 điểm) Tỡm cỏc cặp số thực sao cho: Bài 2: (6 điờ̉m) Cho khối lăng trụ đứng (L) cú cạnh bờn bằng . Đỏy của (L) là lục giỏc lồi ABCDEF cú tất cả cỏc gúc đều bằng nhau và . Tớnh theo thể tớch của khối lăng trụ (L). Chứng tỏ rằng cú thể chia khối lăng trụ (L) thành 4 khối đa diện trong đú cú một khối lăng trụ đều đỏy tam giỏc và ba khối hộp. Bài 3: (6 điểm) Gọi (C) là đồ thị hàm số được dựng trờn mặt phẳng tọa độ Oxy. Chứng tỏ rằng nếu một hỡnh bỡnh hành cú tất cả cỏc đỉnh đều nằm trờn (C) thỡ tõm của hỡnh bỡnh hành đú là gốc tọa độ O. Hỏi cú bao nhiờu hỡnh vuụng cú tất cả cỏc đỉnh đều nằm trờn (C) ? Bài 4: (4 điểm) Cho tập hợp S cú phần tử. Chứng minh rằng cú đỳng cặp cú thứ tự với và là cỏc tập con của S thỏa điều kiện: . Hỏi cú bao nhiờu cỏch thành lập tập hợp , trong đú và là hai tập hợp khỏc nhau sao cho ? Hết Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 CHUYấN - Năm học 2008-2009 Moõn : TOAÙN ẹAÙP AÙN - THANG ẹIEÅM Bài 1 NỘI DUNG ĐIỂM (4đ) thỏa hệ phương trỡnh. Nếu thỡ và . Chỉ xột . 1,0 Thay vào phương trỡnh đầu ta được: . Xột hàm số với . 1,0 1,0 nờn là điểm cực tiểu của . Vỡ vậy với mọi và . Cặp số duy nhất thỏa món bài toỏn là: . 1,0 Chỳ ý: . Với thỡ . Do đú với mọi Bài 2 (6đ) a) (3 đ) Thể tớch của (L) là: Do cỏc gúc của lục giỏc ABCDEF đều bằng nhau nờn mỗi gúc của nú bằng Gọi X, Y, Z lần lượt là cỏc giao điểm của cỏc cặp đường thẳng AB và CD, AB và EF, CD và EF. Ta cú tam giỏc XBC là tam giỏc đều cạnh , tam giỏc YAF là tam giỏc đều cạnh , ZDE là tam giỏc đều cạnh và XYZ là tam giỏc đều cạnh b) (2,0) Dựng điểm G sao cho , ta cú: . Dựng điểm H sao cho , ta cú điểm H trờn tia FG với và . Dựng điểm K sao cho , ta cú điểm K trờn tia DH với và . Do và nờn K ở trờn đoạn BG với . Ta cú: . Do đú tam giỏc GHK là tam giỏc đều cạnh 1,0 Xột phộp tịnh tiến theo vectơ (AA1 là cạnh bờn của (L)). Đỏy ABCDEF của (L) biến thành đỏy A1B1C1D1E1F1. Cỏc điểm G, H, K lần lượt biến thành G1, H1, K1. 1,0 Khối (L) là hợp bởi cỏc khối lăng trụ đứng sau: 1) Do ABGF, EFHD và CDKB là cỏc hỡnh bỡnh hành nờn cỏc khối , , là cỏc khối hộp. Do tam giỏc GHK là tam giỏc đều nờn khối là khối lăng trụ đều. 1,0 Bài 3 (6 đ) a) (3,0) Xột hỡnh bỡnh hành cú cỏc đỉnh nằm trờn đồ thị (C): . Do nờn và 1,0 Vỡ nờn . Do đú 1,0 Để chứng tỏ tõm của hỡnh bỡnh hành là gốc tọa độ O ta chứng tỏ: và . Ta cú: . Mà nờn . Chỳ ý: Cú thể nhận xột O là tõm đối xứng (duy nhất) của (C). Sau đú lập luận nếu tõm của hỡnh bỡnh hành khỏc O thỡ mõu thuẫn. 1,0 b) (3,0) Giả sử tồn tại hỡnh vuụng cú cỏc đỉnh nằm trờn đồ thị (C): . Theo cõu a) hỡnh vuụng cú tõm O. Gọi là hệ số gúc của đường thẳng . Khụng mất tớnh tổng quỏt cú thể giả sử . Lỳc đú đường thẳng cú hệ số gúc là 1,0 Xột hỡnh thoi với . Trong đú là nghiệm khỏc 0 của phương trỡnh nờn cũn là nghiệm khỏc 0 cuả 1,0 Hỡnh thoi là hỡnh vuụng khi và chỉ khi: . Phương trỡnh này cú hai nghiệm. Chọn , nghiệm cũn lại là . Đú chớnh là hệ số gúc của hai đường chộo và của hỡnh vuụng đang xột. Cú đỳng một hỡnh vuụng thỏa bài toỏn. 1,0 Bài 4 (3 đ) a) (2,0) Một phần tử thuộc khi và chỉ khi thuộc đỳng vào một trong 3 tập phõn li đụi một sau: 1) . Ngoài ra: và 1,0 Do đú, số cặp cú thứ tự với là cỏc tập con của S thỏa điều kiện: bằng số cỏch đặt tất cả n phần tử của S vào 3 tập hợp: sao cho mỗi phần tử được đặt vào đỳng một trong 3 tập đú. Số cỏch đặt như thế bằng 1,0 b) (2,0) S Đặt . Khi thỡ A, B là cỏc tập con của S. Số cặp cú thứ tự với là cỏc tập con của S thỏa điều kiện: là 1,0 Trong đú cú một cặp và cặp với khỏc . Chỳ ý . Vỡ vậy số cỏch thành lập tập với A, B khỏc nhau và là: . 1,0