Đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 8 năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề) Câu 1: (4 điểm ) a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n thì: chia hết cho b) Tìm tất cả các số x, y nguyên dương lớn hơn 1 sao cho 2xy - 1 chia hết cho (x - 1)(y - 1) Câu 2: (4 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử . Từ đó suy ra nghiệm của phương trình b) Giải phương trình: Câu 3: ( 3 điểm ) Tìm a, b sao cho đa thức chia hết cho đa thức Câu 4: (2 điểm ) Biết ab + bc + ca = 0 và abc 0. Tính giá trị của biểu thức: Câu 5: ( 7 điểm ) a) Ta đã biết hai tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên dương như ( 5, 12, 13 ) và ( 6, 8, 10 ) đồng thời có số đo diện tích của mỗi tam giác bằng số đo chu vi của mỗi tam giác đó. Hỏi còn tam giác vuông nào còn tính chất như vậy nữa không ? b) Cho tam giác ABC. Đường thẳng MN song song với cạnh BC; M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC. Gọi I, J tương ứng là trung điểm của đoạn MN và cạnh BC. Chứng minh rằng: ba điểm A, I, J thẳng hàng. --------------------------------------------------------- Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên……………………………………… số báo danh…………….. ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề) Câu Hướng dẫn giải Điểm 1 4đ a Do và 2đ b Đặt a = x - 1; b = y - 1 với a, b là các số nguyên dương ta được: 2xy - 1 = 2( a + 1 )( b + 1 ) - 1 = ( 2a + 2b + 2ab + 1 ) ( 2xy - 1) ab 2a + 2b + 1 ab Suy ra 2a + 1 b và 2b + 1 a không mất tổng quát ta có thể giả sử a b + Nếu a = b thì 2a + 1 a => 1 a = > a = b = 1 => x = 2; y = 2 + Nếu a > b thì vì ( 2b + 1) là số lẻ nhỏ hơn 3a nên khi chia 2b + 1 cho a, ta có một thương là số lẻ nhỏ hơn 3. Do đó 2b + 1 = a => 2a + 1 = (4b + 3) b = > 3 b ta được b = 1 hoặc b = 3 Nếu b = 1 thì a = 3 => x = 4; y = 2 Nếu b = 3 thì a = 7 => x = 8; y = 4 Vì vai trò của x, y là như nhau nên ta được các nghiệm (x; y) là (2; 2), (4; 2), (2; 4), (8; 4), (4; 8) 1đ 0,5đ 0,5đ 2 4đ a Từ đó suy ra Suy ra x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = 3 1đ 1đ b ĐKXĐ: x -9, x - 10 Thu gọn x( x + 19)(19x + 181) = 0 S = 2đ 3 Giả sử phép chia f(x) cho có thương q(x), khi đó f(x) Chọn các giá trị riêng x sao cho + x = 2 thì 16 + 2a + b = 0 (2) + x =- 2 thì 16 - 2a + b = 0 (3) Từ (2) và (3) ta nhận được: a = 0 và b = -16 3đ 4 ab + bc + ca = 0 Khi đó A = abc 1đ 1đ 5 7đ a Gọi b, c là độ dài các cạnh góc vuông, a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đang xét ( a, b, c nguyên dương b c) Theo định lí Pytago ta có: (1) bc = 2( a + b + c ) (gt) (2) Từ (1) suy ra Thay (3) vào (2) ta được: bc = 4(b + c - 2) hoặc hoặc Như vây, ngoài hai tam giác vuông đã cho trong bài toán, không còn tam giác vuông nào có tính chất như vậy nữa 1đ 1đ 1đ 1đ b Do I, J nằm về một phía của đường thẳng AB và MI // BJ. Vậy để chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng ta chỉ cần chứng tỏ thật vậy do MN // BC nên theo định lí Thales áp dụng cho tam giác ABC có: 1đ 2đ Người ra đề Lê Trung Hiếu