Đề thi chọn lọc học sinh giỏi môn: Toán

ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút Bài 1:( 4 điểm) Cho biểu thức M = : a) Rút gọn M b)Tính giá trị của M khi = Bài 2:(4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 – 5x2 + 8x – 4 b) c )( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 d )(x2+x+1)(x2+x + 2 ) –12 Baøi 3 : (4ñieåm ) a)Cho hai soá thöïc x, y thoaû maõn vaø . Tính giaù trò bieåu thöùc P = . b) Chöùng minh raèng :Neáu vaø a + b + c = abc thì Bài 5) (6 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF c) Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA Bài 6) ( 2 điểm) Chứng minh với mọi số a, b, c khác 0. Đáp án và biểu điểm Bài 1: a) Rút gọn M M=:=: M = = ( 2 điểm) b)Tính giá trị của M khi = = x = hoặc x = - Với x = ta có : M === Với x = - ta có : M === ( 2 điểm) Bài 2: a) ) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( 1 điểm) b) = (x11+x10+x9)+( –x10-x9 –x8 )+(x8 +x7 +x6)+( –x6 –x5-x4) +(x5+x4 +x3) +(–x3–x2 –x ) +(x2+x+1) = x9(x2+x+1) –x8(x2+x+1) +x6(x2+x+1)-x4(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1) =(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1) (1 điểm) c) Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) (1 điểm) d) ñaët y= x2 +x +1 suy ra x2 + x+ 2= y+1 . ta ñöôïc :M =y(y+1) – 12 =y2+y –12 =y2-3y +4y –12 =(y-3)(y +4) Thay y =x2 +x +1 .Ta ñöôïc :M =(9x2+x –2 )(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5) (1ñiểm) Bài 3: a) Ta coù: => => vaø .=> => Suy ra: => ( 2 điểm ) b) Ta coù : ù Vì a+b+c = abc neân ta coù : ( 2 điểm) Bài 5 : a : Lý luận được : ( Do AM//DF) (1) ( Do AM // DE) (2) Từ (1) và (2) ( MB = MC) DE + DF = 2 AM ( 2,25điểm) b: AMDN là hình bành hành Ta có => NE = NF ( 2.25 điểm) c: AMC và FDC đồng dạng FNA và FDC đồng dạng và . S2FDC 16 SAMC.SFNA ( Do với x 0; y 0) ( 1.5 điểm) Bài 6: Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có: Tương tự: và Cộng theo vế tương ứng của các BĐT trên ta có đpcm