Đề thi giáo viên dạy giỏi cấp trường môn toán năm học 2013-2014 thời gian làm bài : 150 phút

SỞ GD-ĐT BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT HOÀI ÂN ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn Toán Năm học 2013-2014 Thời gian làm bài : 150’ Bài 1: (2 điểm) Cho 2 số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 –xy = 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Bài 2 (2 điểm) Giải hệ phương trình : Bài 3 (2 điểm) : Bài toán : Cho tam giác ABC thoả . Chứng minh tam giác ABC cân. Anh (chị) hãy phân tích đề bài toán và từ đó hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải bài toán trên. Bài 4 (2 điểm) : Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí của điểm M bên trong tam giác ABC sao cho bé nhất. Bài 5 (2 điểm) : Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mp(ABC); AC = AD = 4; AB = 3; BC = 5. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD). Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách./. Hết ĐÁP ÁN Bài 1: ĐK x2 + y2 3. Thay x2 + y2 = 1+xy, biến đổi ta được M = Đặt t = xy. Từ BĐT (x-y)2 0 suy ra t = xy 1. Mặt khác gt x2 + y2 = 1+xy (x+y)2 – 3xy = 1 xy = Phát biểu lại bài toán : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức M = trên đoạn [-1/3;1]. Dùng đạo hàm HS nghịch biến -> GTLN của M là -8/21 khi t = -1/3 (tương ứng x = ; y = ) ; min = -4 khi t = 1 (tương ứng x=y = 1) Bài 2: ĐK : . AD BĐT Bunhiacopxki 2 = ( 10 = Vậy x+y = 2. Dấu bằng xảy ra x = y -> ĐS: x=y=1 Bài 3 : - Nêu vài cách thường dùng để c/m 1 tam giác là tam giác cân ? C1: c/m hai cạnh bằng nhau C2: c/m 2 góc bằng nhau C3 : c/m 2 đường cao bằng nhau, .... Vì giả thiết chỉ chứa yếu tố góc nên ta suy nghĩ dùng cách 2. Quan sát đề bài ta thấy : Vai trò của A, B như nhau, chỉ góc C là khác. Vậy ta dự đoán nếu cân thì cân tại C. Phải c/m A = B. Biến đổi bài toán đưa về : cos(A-B) - cos(A+B) = 2cos2 = 1 + cosC = 1 - cos(A+B) Từ đó suy ra cos(A-B) = 1 -> đpcm D Bài 4 : F E B C A Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF. G Ta có : + = 2. + = 2. M + + + = 2( + ) = 4 Þ D A B C M H Như vậy bé nhất Û bé nhất Û M là hình chiếu của G lên mặt phẳng ABC. Bài 5: Từ gt suy ra AB, AC, AD đôi một vuông góc C1: Dùng pp toạ độ trong không gian - Viết pt mp(BCD) theo đoạn chắn : - AD công thức k/c từ A (0,0,0) đến mp(BCD) : C2: AD công thức suy ra AH C3 : AD công thức AH = Hết Mọi cách giải khác, đúng đều cho điểm tối đa.