Đề thi giáo viên giỏi năm học 2011 - 2012 môn: Toán

PHÒNG GD BÁ THƯỚC TRƯỜNG PTCS LÂM TRƯỜNG ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (6điểm) Cho biểu thức: A= 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất? 3. Tính giá trị của A khi x = 7 -. Bài 2: (6 điểm) 1.Giải phương trình: 2.Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng của a và c thì ta có: Bài 3: (6điểm) Cho tam giác ABC (AC > AB), trung tuyến AM, điểm NÎAM, (điểm N nằm giữa A và M), vẽ đường tròn (O) có đường kính AN. 1. Gọi F là giao điểm của phân giác trong AD với (O), gọi E là giao điểm của phân giác ngoài góc A với (O). Chứng minh: EF là đường kính của đường tròn (O). 2. Đường tròn (O) cắt AB ở K, cắt AC ở H, KH cắt AD ở I. Chứng minh: FK2 = FI. FA. 3. Chứng minh: NH.CD = NK. BD. Bài 4: (2 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: (có tất cả 2011 dấu căn thức). ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI NĂM HỌC 2011 - 2012 Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm Bài 1 1 (2,0 điểm) ĐK: 0 £ x <1 0,5 A = 0,5 = 1,0 2 (2,0 điểm) 1,0 Dấu "=" xảy ra Û = 0 Û x =0 0,5 Vậy Max A = 2 khi x = 0 0,5 3 (2,0 điểm) Với x = 7-2 = (-1)2 Þ = -1 1,0 Ta có : A = 1,0 Bài 2 1 (3,0 điểm) 0,75 , nên (thoả ĐK) là một nghiệm của phương trình (1) 0,75 , nên pt (2) do đó pt (2) có vô số nghiệm y (), suy ra pt (1) có vô số nghiệm x ( ). 0,75 , nên pt (2), pt vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của pt (1) là: 0,75 2 (3,0 điểm) 0,5 Ta có: 0,5 Theo giả thiết: , nên: 1,0 Đẳng thức (*) được nghiệm đúng. 1,0 Bài 3 1 (2,0 điểm) Ta có: AE và AF là hai tia phân giác của 2 góc kề bù đỉnh A nên AE ^ AF = 900 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn - Hay EF là đk đường tròn (O) - đpcm. 2,0 2 (2,0 điểm) Xét D AKF và DKIF có = (Chắn 2 cung bằng nhau: = ) 0,5 Mà = + = + 0,5 và = số đo ; = số đo( + ) nên = DAKF t D KIF 0,5 - c 0,5 3 (2,0 điểm) Xét DABM và DACM có: S DABM = S DACM mà S DNCM = SDNBM (Cùng đường cao và cạnh đáy bằng nhau) 0,5 Nên:SDANC = SDANB Û NH.AC = NK.AB Û (1) 0,5 Áp dụng tính chất đường phân giác: (2) 0,5 Từ (1) và (2) NH.CD = NK.BD - c 0,5 Bài 4 1 (2,0 điểm) với x,y Î Z+ với k,m ÎN 0,5 1,0 Vậy pt có nghiệm nguyên duy nhất x=y=0 0,5