Đề thi học sinh giỏi cấp huyện trường thcs Mỹ Đức môn toán – lớp 9 - Năm học 2010 – 2011

PHÒNG GD & ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ ĐỨC Môn : Toán – Lớp 9 - Năm học : 2010 – 2011 Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ (không kể thời gian phát đề) Câu 1.(3,0 điểm): Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương: A = x4 – x2 + 2x + 2. Câu 2.(3,0 điểm): Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương. Câu 3.(5,0 điểm): a) Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: A = x6 + y6. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =. Câu 4.(3,0 điểm): Chứng minh rằng nếu các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: , thì abc Câu 5.(3,0 điểm): Cho tam giác ABC. Qua điểm O tùy ý trong tam giác kẻ các đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh hệ thức: Câu 6.(3,0 điểm): Không dùng bảng lượng giác và máy tính. Tính cos150. PHÒNG GD & ĐT PHÙ MỸ ĐÁP ÁN - HD CHẤM - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS MỸ ĐỨC CẤP HUYỆN – NĂM HỌC : 2010 – 2011 Môn : Toán – lớp 9 Câu 1 (3,0 điểm) A = x4 – x2 + 2x + 2 = (x4 – 2x2 + 1) + (x2 + 2x + 1) = (x2 – 1)2 + (x + 1)2 = (x2 – 1)(x2 – 1) + (x + 1)2 = (x -1)(x +1)(x – 1)(x + 1) +(x + 1)2 = (x +1)2(x – 1)2 + (x + 1)2 = (x + 1)2. Để A là số chính phương thì phải có: (x + 1)2 = 0 và (x -1)2 + 1 tùy ý; hoặc (x + 1)2 0 và (x -1)2 + 1 là số chính phương. Nếu (x + 1)2 = 0 x + 1 = 0 x = -1. Nếu (x + 1)2 0 và (x -1)2 + 1 là số chính phương, ta đặt (x -1)2 + 1 = y (yN). Do đó y2 - (x -1)2 = 1 . Vì yN và nên chỉ xảy ra : y + và y - . x – 1 = 0 x = 1. Thử lại ta thấy với x = 1, x = -1 thì A = x4 – x2 + 2x + 2 là số chính phương. Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Câu 2 (3,0 điểm) Tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp có dạng : S = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n +1)2 + (n +2)2 (nZ). S = n2 + 4 – 4n + n2 + 1 – 2n + n2 + n2 + 1 + 2n + n2 + 4 + 4n S = 5n2 + 10 = 5(n2 + 2). Ta chứng minh n2 + 2 không chia hết cho 5 với mọi n: Nếu n 5 thì n2 + 2 chia cho 5 dư 2. Nếu n = 5k 1 thì n2 + 2 = (5k 1)2 + 2 chia cho 5 dư 3. Nếu n = 5k 2 thì n2 + 2 = (5k 2)2 + 2 chia cho 5 dư 1. Vậy n2 + 2 5 nên S là số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25, do đó S không thể là một số chính phương. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 3 (5,0 điểm) Câu a (3,0 điểm) Câu 3a (3,0 điểm)  * Với x2 + y2 = 1 (gt) ta có : A = x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3 = (x2 + y2)3 – 3x2y4 – 3x4y2 = (x2 + y2)3 – 3x2y2(x2 + y2) = 1 - 3x2y2. Ta có - 3x2y2 0. Do đó A 1. Dấu “=” xảy ra Vậy A(max) = 1 * Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có: , mà x2 + y2 = 1 (gt) nên ta có : x2y2 -3 x2y2 . Do đó A = 1 - 3x2y2 . Dấu “=” xảy ra Vậy A(min) = . 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 Câu 3b (2,0 điểm) * Điều kiện : 9 – x2 0 x2 9 -3 x 3. * Aùp dụng bất đẳng thức cho hai số không âm, ta có : B =. Dấu “=” xảy ra = x2 = 9 - x2 x2 = (TMĐK). Vậy max B = . 0,5 0,5 0,75 0,25 Câu 4 (3,0 điểm) Câu 5 (3,0 điểm) Ta có (gt) (1) Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có : (2) * Từ (1) và (2) suy ra (3) * Chứng minh tương tự, ta được : (4) (5) Nhân các vế tương ứng của (3), (4), (5) ta được : (vì a, b, c > 0) 1 8abc (vì a, b, c > 0) abc (đpcm). * Vẽ hình đúng theo đề bài (h.1) * Kẻ AH BC, OI BC (H, OBC). Khi đó OI // AH (cùng BC). Xét DAHA’ có OI // AH theo hệ quả của định lí Talet ta có: (1) * Mặt khác có : (2) Từ (1) và (2) suy ra (3) Chứng minh tương tự, ta có : (4) (5) * Cộng các vế tương ứng của (3), (4), (5) ta được : . 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 Câu 6 (3,0 điểm) * Vẽ DABC vuông tại A có (hình 2). * Đặt AC = b. Vẽ đường trung trực của BC cắt BC, AB lần lượt tại I, K. Khi đó : KB = KC DKBC cân tại K . * Xét DAKC vuông tại A có (góc ngoài của DKBC) (định lí về tam giác vuông có góc 300). Và AK = (đlíPytago). Do đó AB = AK + KB = AK + KC = b + 2b = b( +2). * Xét DABC vuông tại A, theo định lí Pytago ta có: BC2 = AB2 + AC2 = b2( +2)2 + b2 = b2(3 + 4 + 4 + 1) = 4b2(2+ ). BC = cos150 = cosB = =. § Mọi cách gải khác đúng, chặt chẽ đều được điểm tối đa của từng câu. 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5