Đề thi học sinh giỏi cấp huyện và chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học: 2010 – 2011. môn thi: Toán 9

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang) CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH. NĂM HỌC: 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. Giải phương trình Câu 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình: , với tham số . Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. b. Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Câu 3. Cho B = ; B là một số gồm n chữ số 1, n + 1 chữ số 2 và một chữ số 5. Chứng minh B là số chính phương. Cho là số nguyên tố; . Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì: là hợp số. Chứng minh không tồn tại cặp giá trị nguyên thỏa mãn: Cho và , chứng minh: Câu 4. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P kẻ 2 tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm); OP cắt AB tại M. Qua M kẻ dây cung CD của đường tròn (O), (CD khác AB và CD không đi qua O). Hai tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở Q. Chứng minh: a) AB < CD ; b) PQ vuông góc với PO tại P. Câu 5. Cho đường thẳng xy; đường tròn (O) và một điểm A nằm trên đừơng tròn (O), xy không cắt (O). Dựng đường tròn tâm K tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với đường thẳng xy. (Chỉ trình bày cách dựng và biện luận) Hết./. PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ HD CHẤM (Gồm 3 trang) CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH. NĂM HỌC: 2010 – 2011.Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm 1 a , Điều kiện: HS biến đổi: , Dấu “=” xẩy ra khi , Dấu “=” xẩy ra khi Vậy nghiệm: thỏa mãn điều kiện 0,25 0,25 0,25 1,75 b , ĐK: Nhân 2 vế với : và biến đổi đưa về hệ PT: Đối chiếu điều kiện: thỏa mãn. 0,25 0,5 0,25 2 a (d) : ; với tham số, Gọi là điểm cố định (d) luôn đi qua: Thay vào PT của (d) ta có: , Với mọi m , 0,5 0,5 1,75 b Nhận thấy (d) không đi qua O Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B Ta có: AOB vuông tại O và có khoảng cách từ O đến (d) là OH (đường cao) nên: Hay ; Dấu “=” xẩy ra . Xét ; K/c từ O đến (d) bằng 2. Vậy 0,25 0,25 0,25 3 a B = vì () Nên B là số chính phương 0,25 0,25 2,0 b là số nguyên tố; nên lẻ và không chia hết cho 3chẵn; chia cho 3 dư 1 hoặc 2 HS lập luận để chứng tỏ là hợp số. 0,2 0,3 c lẻ, đặt thay vào ta có: (1)chẵn, Thay vào (1) và biến đổi: Xét thấy VT của (2) luôn chẵn; VP của (2) là số lẻ vì k(k+1) chẵn (Tích 2 số nguyên liên tiếp). Vậy dấu “=” của (2) không thể xẩy raKhông tồn tại cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 0,25 0,25 d ; xét Chứng minh tương tự: ; Cộng vế theo vế ta có: (Đpcm) 0,25 0,25 0,25 2,5 4 a Gọi giao điểm của QO và CD là N. HS áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại Q để suy ra: tại N, MNO vuông tại N OM>ON AB<CD (T/c khoảng cách từ tâm đến dây....) 0,5 0,5 b HS áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: OAP, OQC có: mà OA = OC nên OM . OP = ON . OQ 0,25 0,25 Từ c/m đã có: OM . OP = ON . OQ (1) Xét MON và QOP có chung và (1) MON đồng dạng QOP hay QP PO tại P 0,25 0,25 0,25 5 Vẽ hình cả 2 trường hợp: + At cắt xy + At // xy 0,25 2,0 Cách dựng: - Qua A dựng tiếp tuyến At với (O): + Nếu At cắt xy tại P: dựng phân giác của góc tạo bởi At và xy, Phân giác đó cắt OA tại K. Dựng (K; KA) là đường tròn cần dựng. + Nếu At // xy: Dựng giao của OA với xy tại I, Dựng K là trung điểm của AI, dựng (K; KA) 0,25 0,5 0,5 Biện luận: + Nếu OA bài toán có 1 nghiệm hình. + Nếu OA không vuông góc xy thì At tạo với xy hai góc nên bài toán có 2 nghiệm hình. 0,25 0,25 Học sinh giải các cách khác phù hợp và đúng theo yêu cầu vẫn chấm điểm tối đa