Đề thi học sinh giỏi cấp trường THCS Vinh Quang môn toán - Lớp 9

TRƯỜNG THCS VINH QUANG Tổ: Tự nhiên ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN - Lớp 9 Đề số 1 Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (2 điểm) Các biểu thức sau có thể âm được không? Có thể bằng 0 được không? A = 4x4 – 4x3 + x2 B = 2x2 – 2x + 1 Câu 2: (2 điểm) Cho hai số có tổng bằng và hiệu bằng tìm tích hai số ấy? Câu 3: (2 điểm) Cho A = . a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A> -6 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là hình chiếu của H trên AB, N là hình chiếu của H trên AC. a) Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC b) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất? Biết BC = a (Không đổi). Câu 5: (1 điểm) Một người đo chiều cao AB bằng cách ngắm từ C (Hình vẽ). Tính độ dài AB biết CH = 1,5m, = 450, = 150. TRƯỜNG THCS VINH QUANG Tổ: Tự nhiên ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN - Lớp 9 Đề số 2 Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (1 điểm) Tìm chỗ sai trong bài toán Ngụy biện sau: a2 – 2ab +b2 = b2 – 2ab + a2 (a – b)2 = (b – a)2 a – b = b – a 2a = 2b a = b Câu 2: (2 điểm) Cho hai số không âm a và b. Gọi trung bình nhân của hai số là . Chứng minh rằng trung bình cộng của hai số không nhỏ hơn trung bình nhân? (BĐT CôSi) Câu 3: (3 điểm) Cho biểu thức . a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng = = . Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b (a>b), = a < 900. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành một tứ giác. a) Tứ giác đó là hình gì? b) Tính diện tích tứ giác đó theo a, b, a. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1 Câu Đáp án Điểm 1 1a A = 4x4 – 4x3 + x2 = x2(4x2- 4x + 1) = x2(2x-1)2 A = x2(2x-1)2³ 0 " xÎ R A = 0 Û 2x - 1 = 0 Û x = 1 1b B = 2x2 – 2x + 1 = x2 + x2 - 2x + 1 = x2 + (x - 1)2 > 0 " xÎ R 1 2 Gọi hai số là a và b ta có a + b = và a - b = Vậy a = = ; b = = Þ a.b = . = = = 1 0,5 1 0,5 3 A = . Điều kiện 0 < x ≠ 1 3a Rút gọn: Đặt = a ta có A = . = . = = = = -2a Vậy A = -2 1 3b A = -6 Û x = 1 A > -6 Û < 3 Û x < 9 Vậy để A > - 6 thì 1 4 H 0,5 4a Trong tam giác vuông AHB ta có: AM.AB = AH2 (1) Trong tam giác vuông AHC ta có: AN.AC = AH2 (2) Từ (1)&(2) Þ AM.AB = AN.AC 0,5 0,5 4b S{AMHN = AM.AN = . = = Gọi I là trung điểm của BC ta có: AH £ AI = = nên S{AMHN £ = Do đó Max S{AMHN = Û H º I Û DABC vuông cân tại A 0,5 0,5 0,5 5 Ta có: KC = KB.Cotg 150 = 1,5.3,732 = 5,6 (m). KA = KC = 5,6 (m). AB = KA + KB = 5,6 + 1,5 = 7,1 (m) 1 TRƯỜNG THCS VINH QUANG Tổ: Tự nhiên ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN - Lớp 9 Đề số 2 Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (1 điểm) Tìm chỗ sai trong bài toán Ngụy biện sau: a2 – 2ab +b2 = b2 – 2ab + a2 (a – b)2 = (b – a)2 a – b = b – a 2a = 2b a = b Câu 2: (2 điểm) Cho hai số không âm a và b. Gọi trung bình nhân của hai số là . Chứng minh rằng trung bình cộng của hai số không nhỏ hơn trung bình nhân? (BĐT CôSi) Câu 3: (3 điểm) Cho biểu thức . a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng = = . Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b (a>b), = a < 900. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành một tứ giác. a) Tứ giác đó là hình gì? b) Tính diện tích tứ giác đó theo a, b, a. Câu Đáp án Điểm 1 Sai lầm trong bài là: (a – b)2 = (b – a)2 = Vì thế không thể suy ra a-b = b-a 0.5 0.5 2 Ta có BĐT: = (1) Với a ³ 0; b ³ 0 Û 2³ ab Û ³ ab Û a2+2ab+b2³ 4ab Û a2- 2ab + b2³ 0Û(a+b)2³0 (Đúng với mọi a, b) Đẳng thức xảy ra khi a = b. 0.5 0.5 0.5 0.5 3 3a Điều kiện để A có nghĩa: * x2-4x³0Ûx(x-4)³0Û Û Û x³4 (1) * Xét x2 = 2 Û x2 = x2 - 4x Û 4x = 0 Û x = 0 Do đó với x≠0 thì x≠ ± (2) (1)(2) Þ với x³4 thì A có nghĩa. 0.25 0.25 0.25 0.25 3b Rút gọn: A = = = 1 3c Giải Bpt: < Û x2-4x-5<0 Ûx2+x-5x-5<0 Ûx(x+1)-5(x+1)<0 Û(x+1)(x-5)<0 Û Û Kết hợp hai điều kiện trên ta có: -1<x<5 thì A< 1 4 0.5 Kẻ AH ^ BC ta có: = : = Þ = Tương tự: = Vậy: = = 0.5 0.5 0.5 5 0.25 5a Ta có: AB // CD, AG và DM là phân giác của hai góc trong cùng phía đối với AD nên AG ^ DM = H. Tương tự: AG ^ BN = G Tương tự có: CE ^ BN = F Tương tự: CE ^ DM = E { EFGH có 4 góc vuông vậy { EFGH là hình chữ nhật. 0.75 5b { DMBN là h.b.h, HD = HM, FB = FN nên HF//MB HF = MB = AB - AM = a-b Tương tự EG//AD. Tính được: = = a, EI = = Kẻ EK ^ HF ta có EK = EI.sina = Do đó S{ EFGH = 2SDEFH = HF.EK = (a-b)2.sina 1