Đề thi học sinh giỏi huyện Toán 7 năm 2001 - 2002

ĐỀ THI HSG HUYỆN TOÁN 7 NĂM 2001-2002 (Thời gian 120 phút) Câu 1: ( 3điểm) Tìm a,b,c biết: a, 2a=3b; 5b-7c và 3a-7b+5c = 45 b, và 2a+3b-c =68 c, a+b=7(a-b) và a.b=192(a-b) Câu2: (2,5 điểm) Gạo chứa trong ba kho theo tỉ lệ 1,3:2,5:1,2. Gạo trong kho thứ hai nhiều hơn trong kho thứ nhất là 40,8 tấn. Sau một tháng người ta tiêu thụ hết ở kho thứ nhất 40%,ở kho thứ hai 30%,ở kho thứ ba 25% cuả số gạo có trong mỗi kho. Hỏi trong một tháng đã tiêu thụ hết bao nhiêu tấn gạo Câu 3:(3,5 điểm) Cho tam giác ABC có các góc bé hơn 1200 . Vẽ phía ngoài tam giác các tam giác đều ACC’, ABB’. M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC . Trên nửa mặt phẳng bờ AM về phía C’ xác định điểm M’ sao cho tam giác AMM’ đều. a, Chứng minh ∆ AMM’ = ∆ AMC b,MA +MB +MC = MM’ + MB + M’C’ c, Tìm vị trí của M để MA +MB +MC đạt gí trị bé nhất Câu 4:(1 điểm) Tìm GTNN của hàm số với x >2 ĐỀ THI HSG HUYỆN TOÁN 7 NĂM 2002-2003 (Thời gian 120 phút) Câu 1 : (2 điểm) Tìm x,y z biết a, và 2x + 3y – z = 50 b, x(x+y+z) =-12; y(x+y+z)=18 ;z(x+y+z)=30 Câu 2 :( 2 điểm) Cho biểu thức A = với x ≠1 Tìm số nguyên x để A đạt GTLN ? Tìm GTLN đó? Câu 3( 4 điểm) Từ đỉnh A của tam giác ABC kẻ các đường vuông góc AD và AE với phân giác trong và ngoài của góc B ,các đường vuông góc AH và AK với phân giác trong và ngoài của góc C. a, Chứng minh các góc DBE vả HCK bù nhau b, Chứng minh 4 điểm D,H,E,K thẳng hàng c, So sánh EK với chu vi của tam giác ABC Câu 4(2 điểm) a, Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : (trong đó p là số nguyên tố cho trước) b, Tìm tất cả các chữ số a và b sao cho là bình phương của một số nguyên ĐỀ THI HSG HUYỆN TOÁN 7 NĂM 2003-2004 (Thời gian 120 phút) Bài 1 : Tìm x,y,z biết Bài 2: Thực hiện phép tính Bài 3 Tìm x biết : b, c, d, (2x -3 )x+2 = (2x-3)x+4 Bài 4(1điếm): Rút gọn M = Bài 5: (1,5 điểm) Cho biểu thức A = a, Với giá trị nào của x thì A có nghĩa ? b, Với giá trị nào của x thì A > 2? 0≤A≤3? Bài 6: (2,5 điểm) Cho ∆ ABC có  < 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tia Ax vuông góc với AB ,trên Ax lấy điểm D sao cho AD= AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ay vuông góc với AC ,trên Ay lấy điểm E sao cho AE = AC. a, Chứng minh BE = CD. b, Chứng minh BE vuông góc với CD. c, Các đường thẳng AC và ED có thể vuông góc với nhau được không ? Vì sao? ĐỀ THI HSG HUYỆN TOÁN 7 NĂM 2004-2005 (Thời gian 90 phút) Câu 1 : Tính a, b, c, d, (0,125)-1. Câu 2 : Tìm x biết : a, b, Câu 3 : Tìm x,y,z biết a, b, c, Câu 4 :Cho biểu thức A = với x≠1 Tìm số nguyên x để A đạt GTLN ? Tìm GTLN đó Câu 5: Cho ∆ ABC có 3 góc đều nhọn .Vẽ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Tại miền ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF nhận A là đỉnh góc vuông . Kẻ EM và FN vuông góc với AH ( M,N thuộc đường thẳng AH) Chứng minh : a, ∆AHC=∆FNA; ∆AME=∆BAH b, HM+HN = 2EM +BC ĐỀ THI HSG HUYỆN TOÁN 7 NĂM 2005-2006 (Thời gian 120 phút) Câu 1 ( 2 điểm ) a, Tìm x thỏa mãn : b, Tìm x,y,z biết : 3x = 2y; 7x = 5z và x+y-z = 16 Câu 2( 3 điểm ) Ba lớp 7A ,7B ,7C của trường đoàn kết được thưởng 21000 đồng. Số tiền đó được chia cho ba lớp theo tỉ lệ học sinh giỏi của mỗi lớp.Biết số học sinh giỏi lớp 7B bằng trung bình cộng của 7A và 7C. Lớp 7A nhận được nhiều hơn lớp 7C là 20000 đồng. Tính số tiền thưởng của mỗi lớp? Câu 3 ( 4 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH ( H thuộc BC ). Lấy điểm E sao cho AB vuông góc với EH và AB đi qua trung điểm của EH , lấy điểm F sao cho AC vuông góc với FH và AC đi qua trung điểm của FH . EF cắt AB tại M và cắt AC tại N. a, Chứng minh góc EAF = 2 góc BAC b, Chu vi tam giác MHN < 2AH c, AH,BN,CM cùng đi qua một điểm . Điểm này có tính chất gì đối với tam giác MHN Câu 4 (1 điểm ) Cho với = 1 hoặc =-1 ( k = 1;2;3...;n). chứng minh rằng,nếu : thì n 4 ĐỀ THI HSG HUYỆN TOÁN 7 NĂM 2007-2008 (Thời gian 120 phút) Câu1 (1,5 đ). Tính b) - c) d) e) với a< -3 g) Câu 2 ( 2 đ ) : Tìm số có ba chữ số biết rắng số đó chia hết cho 9 và chữ số hàng trăm , hàng chục ,hàng đơn vị của nó tỉ lệ với 3;2;1. Câu 3 (2đ) : Cho P = (với x≠5) Xác định x để P =0; P 0. Tìm giá trị nguyên của x để P nguyên Câu 4 (3,5đ) : Cho tam giác ABC cân đỉnh A .Trên BC lấy điểm D ,trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE . Đường vuông góc với BC tại D và E cắt AB,AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh MD = ME Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB ,qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC chúng cắt nhau tại O . Chứng minh AO là đường trung trực của BC. Chứng minh khi D chạy trên BC thì đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định Câu 4 (1 đ): Cho điểm A cố định ,B0). Vẽ tam giác đều BCD sao cho A,D nằm về hai nửa mặt phẳng bờ BC . Xác định độ lớn của góc BAC khi AD có độ dài lớn nhất . ĐỀ THI HSG HUYỆN TOÁN 7 NĂM 2009-2010 (Thời gian 120 phút) Câu 1 ( 4 đ) a, Thực hiện phép tính : b, Cho A = ( 4n + 6n + 8n +10n ) – ( 3n + 5n + 7n +9n) ( với n thuộc N) . Chứng minh A chia hết cho 2 Câu 2 ( 4 đ) a, Cho tích xyz. Nếu thêm 1 vào x thì tích đó tăng thêm 1 đơn vị,nếu thêm 1 vào y thì tích đó tăng thêm 2 đơn vị, nếu thêm 1 vào z thì tích đó tăng thêm 8 đơn vị. Hãy tính tích xyz. b, Tìm x,y,z biết Câu 3 (3đ) : Cho biểu thức A = a, Viết biểu thức A dưới dạng không có dấu giá trị tuyệt đối b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A Câu 4 (3 đ) Một trường THCS có ba lớp 7 . Tổng số học sinh của hai lớp 7A và 7B là 85 em. Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang 7C thì số học sinh ba lớp 7A,7B ,7C tỉ lệ thuận với 7;8;9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? Câu 5 (6 đ) Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE . Qua D và E kẻ các đường thẳng vuông góc với BC cắt AB và AC lần lượt ở M và N . Gọi giao điểm của MN và BC là I . Đường vuông góc với MN kẻ qua I cắt tia phân giác của góc BAC ở O . Chứng minh: a, DM = EN c, I là trung điểm của MN. b, ∆AOB = ∆ AOC d, OC vuông góc với AN. ĐỀ THI HSG HUYỆN TOÁN 7 NĂM 2010-2011 (Thời gian 120 phút) Baì1(3đ). Thực hiện phép tính a, ; b, ; c, Bài 2(4đ). Cho biểu thức : A = x2 + 1; B = 3-4x a, Tìm x biết A + B =0 b, Tìm số nguyên x để có giá trị là số nguyên c, Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Bài 3 (4đ) Ba vòi nước cùng chảy vào một bể nước có dung tichslaf 65m3 từ lúc không có nước đến lúc đầy bể. Biết thời gian chảy được 1m3 vòi thứ nhất hết 4 phút ,vòi thứ hai hết 6 phút , vòi thứ ba hết 8 phút. Hỏi mỗi vòi chảy được bao nhiêu nước vào bể. Bài 4 (9đ) Cho tam giác ABC có AB=AC, AB>BC. Tại trung điểm M của AC kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt đường thẳng BC tại I. Trên tia đối của tia AI lấy điểm K sao cho BI = AK a, Chứng minh góc BAC = góc AIC b, Chứng minh CI = CK c, Tam giác ABC phải có điều kiện gì để góc ICK bằng 900 d, Cho diện tích tam giác CIK bằng ba lần diện tích tam giác ABC , AB cắt IM tại H. Chứng minh đường thẳng CH đi qua trung điểm của AI. ------------ hết------------ Phòng GD & ĐT Diễn Châu ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG Trường THCS Diễn Lâm MÔN TOÁN 7 (Thời gian 120 phút ) Câu1: (4 điểm ) a, Thực hiện phép tính: (-1)3.(-)3.(-)2(-7).(-) b, Tìm số nguyên a sao cho : được thương là số nguyên Câu2: (4 điểm) a, Tìm x,y ,z biết : == và x-2y+3z = 14 b, Cho tỉ lệ thức = với a,b,c,d là các số khác 0, chứng minh rằng : = Câu 3 : ( 3 điểm ) a, Tìm x biết : - 1 = . - 1 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = + Câu 4 : Trong một tam giác nếu cộng lần lượt từng độ dài hai đường cao thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8 . Hỏi ba cạnh của tam giác tỉ lệ với những số nào ? . Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A , Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho góc ABD = góc ABC , trên cạnh AB lấy điểm E sao cho góc ACE = góc ACB . Gọi F là giao điểm của BD và CE . a, Tính góc BFC b, Tia phân giác của góc BFC và FBC cắt nhau ở I . Chứng minh : DI = DE ======================= Hết ======================== MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO TRÊN MẠNG ®Ò thi häc sinh giái To¸n Líp 7 §Ò sè 1: (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: a) ; b) 27 < 3n < 243 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: Bµi 3. a) T×m x biÕt: b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = Khi x thay ®æi Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC §Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a. b. Bài 3: (4 điểm) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. Cho . Chứng minh rằng: Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o . Tính và Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: Tia AD là phân giác của góc BAC AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… §¸p ¸n ®Ò 1to¸n 7 Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) a) ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 33 n = 4 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) = = Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: Ta cã: x + 2 0 => x - 2. + NÕu x - th× => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Tho¶ m·n) + NÕu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - 2 > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = Khi x thay ®æi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 2006 x 2007 Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi) Gäi x, y lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc 2 kim ®èi nhau trªn mét ®­êng th¼ng, ta cã: x – y = (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè 4 trªn ®«ng hå) vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) Do ®ã: => x = (giê) VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó 2 kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng lµ giê D B A H I F E M Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi) §­êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F ABM = DCM v×: AM = DM (gt), MB = MC (gt), = DMC (®®) => BAM = CDM =>FB // ID => IDAC Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) vµ E FA = 1v (4) MÆt kh¸c E BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB =>AE = BC §Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a. b. Bài 3: (4 điểm) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. Cho . Chứng minh rằng: Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o . Tính và Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: Tia AD là phân giác của góc BAC AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… §¸p ¸n ®Ò 2 to¸n 7 Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) b) (2 điểm) = = = = 10( 3n -2n) Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) b) (2 điểm) Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) Từ (1) = k Do đó (2) k = 180 và k = + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k =, ta được: a = ; b =; c = Khi đó ta có só A =+( ) + () = . b) (1,5 điểm) Từ suy ra khi đó = Bài 4: (4 điểm) a/ (1điểm) Xét và có : AM = EM (gt ) = (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : = (c.g.c ) AC = EB Vì = = (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . b/ (1 điểm ) Xét và có : AM = EM (gt ) = ( vì ) AI = EK (gt ) Nên ( c.g.c ) Suy ra = Mà + = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) + = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( = 90o ) có = 50o = 90o - = 90o - 50o =40o = - = 40o - 25o = 15o là góc ngoài tại đỉnh M của Nên = + = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra Do đó b) ABC cân tại A, mà (gt) nên ABC đều nên Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra . Tia BM là phân giác của góc ABD nên Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC §Ò sè 3: ®Ò thi häc sinh giái M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n C©u 3. Cho 2 ®a thøc P = x + 2mx + m vµ Q = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = +5 B = C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. Chøng minh: DC = BE vµ DC BE Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM. Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA Chøng minh: MA BC §¸p ¸n ®Ò 3 to¸n 7 C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt 0 =>= 0; 1; 2; 3 ; 4 * = 0 => a = 0 * = 1 => a = 1 hoÆc a = - 1 * = 2 => a = 2 hoÆc a = - 2 * = 3 => a = 3 hoÆc a = - 3 * = 4 => a = 4 hoÆc a = - 4 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x Ta cã: => => -77 9x = -72 => x = 8 VËy ph©n sè cÇn t×m lµ C©u 3. Cho 2 ®a thøc P = x + 2mx + m vµ Q = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1 Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2 = m2 – 2m §Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4 C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: => => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cïng dÊu nªn: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: => => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vµo trªn ta ®­îc: =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = VËy x = 2, y = tho¶ m·n ®Ò bµi C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = +5 Ta cã : 0. DÊu = x¶y ra x= -1. A 5. DÊu = x¶y ra x= -1. VËy: Min A = 5 x= -1. B = = = 1 + Ta cã: x 0. DÊu = x¶y ra x = 0 x + 3 3 ( 2 vÕ d­¬ng ) 4 1+ 1+ 4 B 5 DÊu = x¶y ra x = 0 VËy : Max B = 5 x = 0. C©u 6: a/ XÐt ADC vµ BAF ta cã: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE XÐt AIE vµ TIC I1 = I2 ( ®®) E1 = C1( do DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC BE b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (®pcm) (1) V× D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cïng phÝa ) mµ BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( 2 ) Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3). Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm) c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H. Tõ E h¹ EP MH XÐt AHC vµ EPA cã: CAH = AEP ( do cïng phô víi gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( do ABC = EMA c©u b) => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (®pcm) §Ò sè 4: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1 ( 2 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : a- b- C©u 2 ( 2 ®iÓm) T×m sè nguyªn a ®Ó lµ sè nguyªn T×m sè nguyªn x,y sao cho x-2xy+y=0 C©u 3 ( 2 ®iÓm) Chøng minh r»ng nÕu a+c=2b vµ 2bd = c (b+d) th× víi b,d kh¸c 0 CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng S = 1+2+3+… ®Ó ®­îc mét sè cã ba ch÷ sè gièng nhau . C©u 4 ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 450 , gãc C b»ng 1200. Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD=2CB . TÝnh gãc ADE C©u 5 ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2-2y2=1 §¸p ¸n ®Ò 4 C©u H­íng dÉn chÊm §iÓm 1.a Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ -2 cho ®iÓm tèi ®a 1§iÓm 1.b Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ 14,4 cho ®iÓm tèi ®a 1§iÓm 2.a Ta cã : = v× a lµ sè nguyªn nªn lµ sè nguyªn khi lµ sè nguyªn hay a+1 lµ ­íc cña 3 do ®ã ta cã b¶ng sau : a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 VËy víi ath× lµ sè nguyªn 0,25 0,25 0,25 0,25 2.b Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 V× x,y lµ c¸c sè nguyªn nªn (1-2y)vµ (2x-1) lµ c¸c sè nguyªn do ®ã ta cã c¸c tr­êng hîp sau : HoÆc VËy cã 2 cÆp sè x, y nh­ trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi 0,25 0,25 0,25 0,25 3.a V× a+c=2b nªn tõ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d) Hay ad=bc Suy ra ( §PCM) 0,5 0,5 3.b Gi¶ sö sè cã 3 ch÷ sè lµ =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0) Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã : Hay n(n+1) =2.3.37.a VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ n+1<74 ( NÕu n = 74 kh«ng tho¶ m·n ) Do ®ã n=37 hoÆc n+1 = 37 NÕu n=37 th× n+1 = 38 lóc ®ã kh«ng tho¶ m·n NÕu n+1=37 th× n = 36 lóc ®ã tho¶ m·n VËy sè sè h¹ng cña tæng lµ 36 0,25 0,25 0,5 4 KÎ DH Vu«ng gãc víi AC v× ACD =600 do ®ã CDH = 300 Nªn CH = CH = BC Tam gi¸c BCH c©n t¹i C CBH = 300 ABH = 150 Mµ BAH = 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H Do ®ã tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H VËy ADB = 450+300=750 0,5 0,5 1,0 1,0 5 Tõ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2 NÕu x chia hÕt cho 3 v× x nguyªn tè nªn x=3 lóc ®ã y= 2 nguyªn tè tho¶ m·n NÕu x kh«ng chia hÕt cho 3 th× x2-1 chia hÕt cho 3 do ®ã 2y2 chia hÕt cho 3 Mµ(2;3)=1 nªn y chia hÕt cho 3 khi ®ã x2=19 kh«ng tho¶ m·n VËy cÆp sè (x,y) duy nhÊt t×m ®­îc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi lµ (2;3) 0,25 0,25 0,25 0,25 §Ò sè 5: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (3đ): 1, Tính: P = 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 3, Cho: A = Tính giá trị của A biết là số nguyên âm lớn nhất. Bài 2 (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 Bài 3 (1đ): Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ? Bài 4 (2đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, Bài 5 (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm. 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó. 2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB §Ò sè 6: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị của M(x) khi x = 3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ? Bài 2 (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: Bài 3 (4đ): Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức 1, P = có giá trị lớn nhất 2, Q = có giá trị nguyên nhỏ nhất Bài 4 (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E. 1, Chứng minh BD = CE. 2, Tính AD và BD theo b, c Bài 5 (3đ): Cho ∆ABC cân tại A, . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho . Tính góc ADB ? §Ò sè 7: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (3đ): Tính: 1, 2, (63 + 3. 62 + 33) : 13 3, Bài 2 (3đ): 1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005. Tính b, c. 2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức: Bài 3 (4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài 4 (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: y = Bài 5 (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh: ID = IE§Ò sè 8: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : A = + Bài 2 (3đ): Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: = Bài 3 (4đ): Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu 4 (6đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. 1, Chứng minh: BE = DC. 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC. Bài 5 (2đ): Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = . Chứng minh rằng : p2 = n + 2. §Ò sè 9: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Cho Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®­êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®i tíi lóc gÆp nhau ? C©u 3: a) Cho víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. Chøng tá r»ng: . BiÕt r»ng b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ lín nhÊt. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho DABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900. F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB. a) Chøng minh r»ng: DABF = DACE b) FB ^ EC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña §Ò sè 10: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh b) Cho Chøng minh r»ng . C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu th× (gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa). b) T×m x biÕt: C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. b) §é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; 4. Ba ®­êng cao t­¬ng øng víi ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi ba sè nµo ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC0. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn l­ît ë M, N. Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN. c) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt. §Ò sè 11: ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1