Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn: toán thời gian làm bài: 180 phút

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT THANH BÌNH MÃ ĐỀ T - 01 - HSG10 - TB - SGD&ĐTHD ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 PHÚT (Đề này gồm 04 câu, 01 trang) Câu 1(2,5 điểm): a) Cho hàm số và hàm số . Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho lần lượt là độ dài của hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng . b) Giải bất phương trình Câu 2 (2,5 điểm): a) Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d: x- 2y + 2 = 0. Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC. b) Tìm x để ba cạnh của một tam giác có số đo lần lượt đồng thời chứng minh tam giác đó có một góc bằng . Câu 3 (2,5 điểm): a) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, gọi I là trung điểm của AG, K là điểm nằm trên AB sao cho 5AK = AB.Chứng minh rằng C, I, K thẳng hàng. b) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Chứng minh rằng Câu 4 (2,5 điểm): a) Giải phương trình: b) Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . ----- Hết ----- SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT THANH BÌNH MÃ ĐỀ T - 01 - HSG10 - TB - SGD&ĐTHD HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 10 MÔN: TOÁN  (hướng dẫn chấm  gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm 1 (2,5 điểm) a) (1,25 điểm) Cho hàm số và hàm số . Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho là độ dài của hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng . Từ yêu cầu của bài toán → phương trình có hai nghiệm dương phân biệt sao cho . 0,5 có hai nghiệm dương phân biệt sao cho . 0,5 Vậy m = - 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 b) (1,25 điểm) Giải bất phương trình (1) +) Điều kiện của bất phương trình: . 0,25 +) Khi đó: (1) (*) +) Xét các trường hợp 0,25 1. Với x ≤ - 2, ta thấy → : vô lý suy ra với x ≤ - 2 bất phương trình vô nghiệm. 0,25 2. Với x ≥ 5, ta có (*) suy ra với x ≥ 5, bất phương trình có nghiệm x ≥ 14 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 14. 0,5 2 (2,5 điểm) a) (1,25 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d: x- 2y + 2 = 0. Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC. +) Đường thẳng qua A và vuông góc với đường thẳng d có phương trình 2x + y - 2 = 0. Vì AB và vuông tại B. Vậy tọa độ của B là nghiệm hệ phương trình . 0,5 +) Theo bài thì đường thẳng d có phương trình tham số . Do điểm C nằm trên d, nên C( - 2 + 2t; t).Mặt khác suy ra C() hoặc C() 0,5 Vậy B() , C() hoặc B() , C() thỏa mãn bài toán. 0,25 b) (1,25 điểm) Tìm x để ba cạnh của một tam giác có số đo lần lượt đồng thời chứng minh tam giác đó có một góc bằng . +) Để tồn tại một tam giác như đề bài thì Vậy x > 1 thì tồn tại một tam giác có số đo lần lượt là . 0,75 +) Đặt . Khi đó Đpcm. 0,5 3 (2,5 điểm) a) (1,25 điểm) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, gọi I là trung điểm của AG, K là điểm nằm trên AB sao cho 5AK = AB.Chứng minh rằng C, I, K thẳng hàng. Hình vẽ: A B K I C P G +) Gọi P là trung điểm của BC. Khi đó 0,5 +) Ta có .Từ (1) và (2) suy ra thẳng hàng 0,75 b) (1,25 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Chứng minh rằng +) Theo định lý côsin trong tam giác ta có . Theo định lý sin trong tam giác ta có . 0,5 +) Do đó . Tương tự , . Suy ra 0,75 4 (2,5 điểm) a) (1,25 điểm) Giải phương trình: (1) +) Ta thấy x = - 4 không là nghiệm phương trình vì : vô lý. 0,25 +) Khi đó 0,5 +) Từ (1) và (2), có hệ Thay x = 0 v x = vào phương trình, ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 0 v x =. 0,5 b) (1,25 điểm) Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị ớn nhỏ nhất của biểu thức . +) Ta có 0,5 hay 0,5 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = . Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8. 0,25