Đề thi học sinh giỏi lớp 6 – Số 1

Đề thi học sinh giỏi lớp 6 – số 1 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản. Câu 2: (2 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho và Câu 3: (2 điểm) a. Chứng tỏ n2 + 2006 khụng phải là một số chính phương với mọi n b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. Câu 4: (3 điểm) a. Cho a, b, n ẻ N* Hãy so sánh và b. Cho A = ; B = . So sánh A và B. Câu 5: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. -------------------------Hết ---------------------------- Đáp án đề số 1 Câu 1 (2đ): Tỏch số hạng, nhúm, đặt thừa số chung và rỳt gọn ta được: = Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm). Rút gọn đúng cho (0,75 điểm). b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm). Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ, nên d là số lẻ Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau.(0, 5 điểm) Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) Câu 2: (2đ) = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,5 điểm) Từ (1) và (2) ị 99(a-c) = 4 n – 5 ị 4n – 5 99 (3) (0,5 điểm) Mặt khác: 100 [ n2-1 [ 999 Û 101 [ n2 [ 1000 Û 11 [n[31 Û 39 [4n – 5 [ 119 (4) (0,5 điẻm) Từ (3) và (4) ị 4n – 5 = 99 ị n = 26 Vậy: = 675 (0, 5 điểm) Câu 3: (2 đ) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương. Khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( aẻ Z) Û a2 – n2 = 2006Û (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,5 điểm). + Thấy : Nếu a, n khác tính chất (a chẵn, n lẻ hoặc ngược lại) thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) (0,5 điểm). + Nếu a, n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm). Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,5 điểm). b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. (0,5 điểm). Cõu 4: (3đ) a. (2đ) Ta xét 3 trường hợp ; và (0,5 điểm). TH1: Û a=b thì a+n = b+n thì = =1. (0,5 điểm). TH1: Û a>b Û a+m > b+n. mà < nên < (0,5 điểm). TH3: <1 Û a<b Û a+n < b+n. = Mà nờn (vế trỏi là 1 trừ số nhỏ, vế phải là 1 trừ số lớn) (0,5 điểm). b. (1đ) A = ; rõ ràng A< 1 ta đặt A= = <1 (0,5 điểm) Ta lại thấy: B== hay B = Theo phần trờn thỡ Vây A<B. (0,5 điểm) Câu 5 (1đ): Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. ( 0,25 điểm) Mà có 2006 đường thẳng ị có : 2005x 2006 giao điểm. ( 0,25 điểm) Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần ị số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm. ( 0,5 điểm)