Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện trường THCs Mỹ Lộc năm học 2010 - 2011 môn toán

PHÒNG GD - ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ LỘC NĂM HỌC : 2010 - 2011 Môn : TOÁN (ĐỀ ĐỀ XUẤT ) Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể phát đề ) Bài 1 : (6.0 điểm) a- Cho tổng : A = 5 + 52 + 53 + + 52010 . Chứng minh rằng : A chia hết cho 126 . b- Tìm số tự nhiên a để (23 – a) ( a – 3 ) là số chính phương . Bài 2 : (4.0 điểm) a- Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác . CMR : ++ 3 b- Giải phương trình : Bài 3 :(3.0 điểm) Cho x,y dương thỏa : x+y=. Tìm GTNN của S =+ Bài 4 :(4.0 điểm) Cho cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong. Biết IA = 2, IB = 3. Tính độ dài AB ? Bài 5 : (3.0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất ? ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài Đáp án Điểm Bài 1 (6.0 đ) Câu a A = 5 + 52 + 53 + + 52010 = (5 + 54) + (52 + 55) +(53 + 56) + + (52007 +52010) = 5(1+53)+52(1+53) +53(1+53)+ + 52007(1+53) = 126.(5 + 52 + 53 + + 52007) Vì : 126 126 Þ A 126 1.0đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ Câu b Đặt (23 – a) ( a – 3 )= b. Biến đổi được: 26a – a2 - 69 = b2 . ( a – 13) 2 = 100 - b2. Suy ra 100 – b2 là số chính phương. Tìm được : Trường hợp: b = 10 a = 13. b = 8 a = 19 . b = 6 a = 21. Vậy các số a là 13; 19, 21. 0.5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ Bài 2 (4.0 đ) Câu a Đặt x = b + c – a , y = a + c – b , z = a + b – c Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên x , y ,z > 0 Khi đó ta có : Do đó : ++= = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z a = b = c 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ Câu b Điều kiện : Ta có : Vậy phương trình có một nghiệm : x = -8 . 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài 3 (3.0 đ) Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky , ta có : Suy ra : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : Vậy MinS = đạt được khi ; 1,5đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ Bài 4 (4.0đ) - Từ A kẻ AMAC (Mtia CI) - Chứng minh được : cân tại A AM = AI = Kẻ AHMI => MH = HI Đặt HM = HI = x (x>0) Tam giác AMC vuông tại A , có AM2 MH . MC => => x = 2,5 hoặc x = -4 (loại) Do đó : MC = 2.2,5+3=8 AC2 = MC2 – AM2 = 82 - = 44 => AC = AB = 1,0đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ Bài 5 (3.0đ) Gọi a,b,c là độ dài các cạnh đối diện A,B,C và ha,hb,hc là các đường cao tương ứng Giả sử : , khi đó Ta có : SABC = SPAC + SPBC + SPAB => 2SABC =a.PH + b.PK + c.PI a(PH + PK + PI) => PH + PK + PI = ha Vập PH + PK + PI đạt giá trị nhỏ nhất khi PA 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ