Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán - Trường THCS Đại Tự

Trường THCs Đại Tự Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(1,5 điểm): Cho x,y,z là 3 số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và Chứng minh rằng: x+y là số chính phương. Bài 2 (2,5điểm): a/ Cho 3 số a,b,c thoả mãn điều kiện a2+b2+c2 =1 chứng minh rằng: a+b+c+ab+bc+ca 1+ b/Cho biểu thức: A=x – 2+3y -2 +1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A có trheer đạt được. Bài 3: (2 điểm): Giải hệ phương trình: { Bài 4(2,5 điểm): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn đường cao HE trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB vuông góc với AH . Hai trung tuyến AM và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I. Hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại O a, Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác MKO b, Chứng minh Bài 5 (1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương cảu phương trình Hướng dẫn chấm Bài 1 (1,5 điểm) Từ Nếu d là ước nguyên dương của x-z và y-z thì z2 d2 và y-z d nên x,y,z đều là bội của d d=1 vì (x,y,z) =1 Vậy x-z và y-z đều là số chính phương. đắt x-z =k2 ; y-z = m2 với k,m N z2= (x-z)(y-z) =K2m2 z=km Do đó x+y = (x-z) +(y-z)+2z =k2 +m2+2km=(k+m)2 Vậy x=y là số chính phương. Bài 2 (2,5 điểm) a, Ta có (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 0 nên ab+bc+ca a2+b2+c2 = 1 (1) Do đó (a+b+c)2 = 2(ab+ba+ca)+(a2 +b2+c2) (a+b+c)2 =3 a+b+c (2) Từ (1) và (2) a+b+c+ab+bc+ca 1+ (đpcm) b, Điều kiện : x 0 và y0 A= x-2 +y +2y =2 +1 A= (-)2 +1 -2(-) -2+2y A= (--1)2 - 2+2y + -. A= (--1)2 +(2-1)2 - A vậy A đạt giá trị nhỏ nhất. Khi 2-1 = 0 Và (--1)=0 Do đó Min A= - y= , x= Bài 3 Giải hệ PT (2,0 điểm)(1) (2) { Từ (1) 2xy =4 +6 -2(x+y) Từ (2) (x+y)2 -2y = 6 (x+y+1)2 =(3+)2 Do đó x+y+1 = 3+ hoặc x+y+1 =-3- Hay x+y = 2+ xy =2 (3) Hoặc (x+y) = -4 - xy = 6 +4 (4) Từ (4) (x-y)2 = (x+y)2 – 4xy = (4+)2- 4(6+4) = - 6-8 <0 vô lý x+y = 2+ Từ (3) xy =2 { x2= y2 =2 Vậy nghiệm của hệ là x1= 2 y1 = { Và { Bài 4(2,5 điểm) K I B M H C O E A a, MO // HA (Cùng vuông góc với BC) OK // BH (cùng vuông góc với AC) Góc KOM = Góc BHA (góc có cạnh tương ứng //) MK//AB Góc HAB = góc KMO ABH đồng dạng với MKO (*) b, Từ (*) suy ra Tam giác AIH và tam giác MIO có (do I là trọng tâm của ABC) Góc OMI = góc HAI (góc so le trong) AIH đồng dạng với MIO do đó Vậy Bài 5 (1,5 điểm) 2x+1 = y2 (y-1)(y+1) = 2x y-1 = 2m y+1=2n { Với n<m và m+n = x) m,n N 2 = 2n -2m =2m (2n-m – 1) 2m=1 2n-m -1 =2 2m=2 2n-m -1 =1 { hoặc { m=1 n =2 m=0 2n= 3 { hoặc { Không có n N thoả mãn đẳng thức Do đó x=3, y=3. 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ