Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 - Trường THCS Phạm Công Bình

Phòng gd – yên lạc Trường THCS Phạm công bình Đề thi học sinh giỏi Môn Toán 9 (Thời gian làm bài 150 phút) Câu1(1,5 điểm): Cho các số: a = 11...1 (2n chữ số 1), b = 44...4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a+b+1 là số chính phương. Chứmg minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì: (p-1)(p+1) chia hết cho 24. Câu 2(2,5 điểm): Giải và biện luận phương trình sau: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn: Câu 3(1,5 điểm): Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn: a+b+c=1. Chứng minh rằng: Câu 4(2 điểm): Tính giá trị biểu thức A biết x = 2006 A = + Câu 5(2,5 điểm): Cho (0; R) và dây BC với góc BOC = 1200, các tiếp tuyến vẽ tại B, C với đường tròn (0) cắt nhau tại A. Chứng minh đều. Gọi M là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến tại M với (0) cắt AB tại E, cắt AC tại F. Tính số đo góc E0F Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của BC với 0E và 0F. Chứng minh đồng dạng với (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Phòng gd – yên lạc Trường THCS Phạm công bình Hướng dẫn chấm Đề thi học sinh giỏi Môn Toán 9 (Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1(1,5 điểm) 0,75 điểm Ta có: a = 11...1 = ; b = 44....4 = 2n chữ số n chữ số Vậy: a+b+1 = Do 102n + 2 chia hết cho 3 nên: là số tự nhiên Hay a+b+1 là số chính phương. 0,75 điểm Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và không chia hết cho 3. Do dó: p = 2k+1 (k>1) (1) P = 3h(h) (2) Từ (1) và (2) Câu 2(2,5 điểm) a)1 điểm Phương trình đã cho tương đương với phương trình: m2x-4x = m2+4m+4 (m-2)(m+2) = (m+2)2 (1) (0,25) Nếu : (m-2)(m+2) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = (0,25đ) Nếu : (m-2)(m+2) = 0 + Với m = 2 , Pt (1) có dạng: 0x = 4 (Vô nghiệm) đã cho vô nghịêm (0,25) + Với m = -2 , Pt (1) có dạng: 0x = 0 (Vô số nghiệm) đã cho vô số nghịêm Vậy với: mcó nghiệm duy nhất x = Với m = 2 đã cho vô nghịêm (0,25đ) Với m = -2 đã cho vô số nghị Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ pt sau: (0,75) Vì x,y là các số nguyên nên có các trường hợp xảy ra là: 1) 2) (0,5) 3) 4) Thay các giá trị tìm được của x,y vào hệ phương trình đã cho ta chỉ tìm được: x= -1,y = -4 thoả mãn, suy ra z = 5 (0,25) Vậy x=-1,y=-4,z=5 thoả mãn hệ đã cho. Câu 3 (1,5 điểm) Ta có: 1+ (1) (0,5đ) Tương tự ta có: 1+(2) ,1+(3) (0,5đ) Nhân vế với vế (1),(2),(3) ta được: (0,25đ) (0,25đ) Câu 4(2 điểm) Đặt u = , v = Ta có: u = Tương tự ta có v = Khi đó A = Với x = 2006 thì A = 2006 Câu 5(2,5 điểm) Ta có: AB=AC(T/c hai tiếp tuyến) Vậy đều Ta có 0E,0F lần lượt là phân giác của các góc:B0M và M0C, suy ra Ta có: nội tiếp được() suy ra 0P tam giác 0PF vuông tại P, lại có góc P0F = 600, suy ra 0P = Tương tự ta có: 0Q = Xét và có: chung Vậy đồng dạng với