Đề thi học sinh giỏi Toán cấp thị xã lớp 9 (1997 - 1998)

nĐề thi H/S giỏi toán cấp thị xã lớp 9. (1997-1998) Câu 1:(2 điểm) Cho số A= 1997.(19989+19988+19987+...+19982+1999). a) Hãy rút gọn A. b)Tìm chữ số hàng đơn vị của A Câu 2:(2điểm) Trục căn ở mẫu biểu thức: với n ³ o. áp dụng tìm tổng sau: M= Câu 3:(1 điểm) Tìm các giá trị x ; y ; z thoả mãn đẳng thức: 4x2- 8z + 9y2- 4x - 6y + 16z2 + 3 = 0. Câu 4:(1 điểm ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2x3 +9x2 +10x - 7 =- 10. Câu 5: ( 4 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC . Các đường cao A A1 ; B B1 và C C1 đồng quy tại điểm H. a) Cho biết góc A = a , hãy tính tỷ số theo a. b) Chứng minh rằng : Dấu " = " xẩy ra khi nào ? *Đề thi h/s giỏi toán cấp tỉnh lớp 9 (1997-1998 ) Bài 1: (3 điểm ) a) Chứng minh rằng: Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 25. b) Tìm số chính phương biết rằng : Bài 2: (3 điểm ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x + xy + y = 1 y + yz + z = 4 z + zx + x = 9 b) ù x - 5 ù1997 + ù x - 6 ù1997 = 1 Bài 3: (4 điểm ) Cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R (M ạ A , M ạ B ). Kẻ MH ^ AB ( H ẻ AB ). Gọi 01 , 02 lần lượt là giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác MAH và MBH. a) Chứng minh A01 , B02 và đường thẳng qua M vuông với 0102 đồng quy. b) Đường thẳng qua 01 , 02 lần lượt cắt MA , MB tại C và D. Biết AH =x ( 0 < x <2R ) tính diện tích của tam giác MCD theo R và x. Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác MCD là lớn nhất. * Đề thi học /s giỏi toán lớp 9 (1999-2000 ) Bài 1: ( 2 điểm ) Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là một số chính phương . Bài 2 : (2 điểm ) Tính số trị của biểu thức : A = Biết | a | = 1 Bài 3 (2 điểm ) Thực hiện phép tính : - 2 . với x³ 1 Bài 4 ( 2điểm ) Qua tâm đối xứng 0 của hình vuông ABCD cạnh a, dựng đường thẳng x cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Tính theo a và b tổng các khoảng cách từ đỉnh của hình vuông đến đường thẳng x với (MN = b). Bài 5: ( 2 điểm ) Hai đường tròn tâm ( 01 ) và ( 02 ) tiếp xúc ngoài nhau , đường thẳng chứa tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này cắt đường nối tâm của nó theo một góc 300 .Độ dài đoạn tiếp tuyến chung bao gồm giữa hai tiếp điểm là 12 cm . Tính độ dài bán kính của mỗi đường tròn. Đề thi h/s giỏi toán cấp thị xã lớp 9 ( 2001- 2002 ) Câu 1: (4 điểm ) a) Cho a = Chứng minh a thuộc tập hợp số tự nhiên b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x6+3x3+1 = y4 Câu 2: (5 điểm ) Cho hệ phương trình: | x - 1 | + | y - 5 | = 1 ( 1 ) y =5 + | x - 1 | ( 2 ) a) Giải hệ phương trình trên. b) Kiểm nghiệm kết quả trên hệ tọa độ 0xy. Câu 3: ( 2điểm ) Cho a , b , c là độ dài các cạnh của một tam giác . chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm : a2x2 + ( a2 + b2 -c2 )x +b2 = 0 Câu 4: (3 điểm ) Cho hai đường tròn ( 0 , R ) và ( 0' , r ) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD. Biết R > r và CD = a Hãy tính BC và BD. Câu 5: ( 6 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( 0 ) và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác. a) Chứng minh OC vuông góc với HK.b) Gọi MN và EF lần lượt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BK lên đường thẳng d . Chứng minh MN = EF.  Đề thi h/s giỏi toán cấp thành phố lớp 9. Năm học: 2002-2003 Bài 1: (4điểm). Giải hệ phương trình: y-2| x | + 3 = 0 | y | + x - 3 = 0 Bài 2: (4 điểm). Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên, dương của phương trình sau: xy2 + 2xy - 243y + x = 0 Bài 3: (4 điểm). Tính giá trị của biểu thức: A = Với x = a > 0; b > 0 Bài 4: (8 điểm). Cho tam giác vuông AOB (vuông tại A ). Vẽ đường tròn tâm O bán kính R ( R < OA ). Từ B kẻ tiếp tuyến BD với đường tròn ( O, R ), điểm D nằm trên đường tròn, DA cắt đường tròn tại E. Tiếp tuyến tại E cắt đường thẳng AB tại C. a) Chứng minh: AE. AD = AO2 - OD2 b) Chứng minh: AC = AB Đề thi h/s giỏi toán lớp 8. Cấp thị xã Năm học: 1996- 1997. Thời gian: 180' Bài 1: Cho biểu thức: P = a5 + b5 - a4b - ab4 a) Phân tích P thành nhân tử. b)Tính giá trị của P đã rút gọn với a = -2 và b = 1/2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của thức: A = Với x > 0 Bài 3: Cho x > y > 0. Chứng minh rằng: Bài 4: Chứng minh rằng: P = ( n - 1 )( n + 1 ) n2 ( n2 + 1 ) chia hết cho 60 Bài 5: Cho tứ giác lồi ABCD . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. a) Chứng minh rằng: Nếu AB + BD không lớn hơn AC + CD thì AB < AC. b) Chứng minh rằng: Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu có mỗi đường chéo chia tứ giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Đề thi h/s giỏi toán lớp 8. Cấp thị xã Năm học: 1997-1998 Thời gian làm bài: 150' Bài 1: ( 1,5 điểm ). Cho biểu thức: M = a) Tìm tập xác định của M. b) Rút gọn M. c) Tìm giá trị của x để M = 0. Bài 2: ( 2 điểm ). Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình: x2 - 2y2 = 1. Bài 3: ( 2 điểm ). Hãy tìm các cặp số tự nhiên sao cho tích hai số đó bằng 700 và UCLN của chúng bằng 5. Bài 4: ( 1,5 điểm ). Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = x2 + y2. Bài 5: ( 3 điểm ). Cho tam giác ABC có diện tính là S và một hình chữ nhật MNPQ có diện tích S1 nằm trong tam giác đó ( Điểm M thuộc cạnh AB; Điểm N thuộc cạnh AC; Điểm P và Q thuộc cạnh BC ) . Chứng mih rằng: S ³ 2S1 . Dấu '' = '' xẩy ra khi nào.   Đề thi h/s giỏi toán lớp 8. Cấp thị xã Năm học: 2001- 2002 Thời gian làm bài: 150' Câu 1: ( 3 điểm ). Cho A = a) Rút gọn A. b) Tìm những giá trị của x để A đã rút gọn bằng 0. Câu 2: ( 2 điểm ). Chứng minh rằng số có dạng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số n là số tự nhiên. Câu 3: ( 3 điểm ). Cho a, b, c Là ba số đôi một khác nhau và: Chứng minh rằng: Câu 4: ( 4 điểm ). Rút gọn biểu thức: P = | 2m - 1 | + | 3 - m | - | m + 4 | Câu 5: ( 8 điểm ). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Dựng ở ngoài tam giác những hình vuông AXBY ; ACOG ; BCJI. a) Gọi M, N và P theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB ; BC và CA. Chứng minh tứ giác AMNP là hình bình hành. b) Điểm E; F; Q theo thứ tự là giao điểm các đường chéo của những hình vuông vừa dựng. 1- Tính góc EPQ. 2- Chứng minh EF = QA. Đề thi học/s giỏi toán lớp 8. Cấp thành phố Năm học : 2002- 2003 Thời gian làm bài: 150' Bài 1: ( 2 điểm ). Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu? Bài 2: ( 2 điểm ). Cho x + y = 1 ; x2 + y2 = a ; x4 + y4 = b Chứng minh: a( a + 2 ) = 2b + 1 Bài 3: (2 điểm ). Nếu nhân số tự nhiên A gồm ba chữ số với số B cũng gồm ba chữ số đó , nhưng được viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 100. Tìm tất cả các cặp số A, B như vậy. Bài 4: ( 4 điểm ). Cho hình vuông ABCD . Một đường thẳng d đi qua tâm O của hình vuông cắt hai cạnh AD và BC lần lượt ở E và F ( E , F không phải là các đỉnh của hình vuông đã cho ). Từ E kẻ đường thẳng song song với BD và từ F kẻ đường thẳng song song với AC , chúng cắt nhau ở I. a) Chứng minh : Điểm I nằm trên đường thẳng AB. b) Giả sử đường thẳng EI cắt AC ở K, cắt CD ở G. Gọi H là đỉnh thứ tư của hình vuông EDGH. Chứng minh: K là trung điểm của BH. Đề thi h/s giỏi toán lớp 8. Cấp tỉnh Năm học : 2002 - 2003. Thời gian làm bài: 150'. Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) A = a16 + a8b8 + b16 b) B = x8 + x7 + 1 Bài 2: Cho a, b, c, m, n, p là những số khác 0 và thoả mãn: và a) Tính A = b) Tính B = Bài 3: Cho a, b là hai số nguyên dương . Chứng minh rằng nếu ab + 1 chia hết cho 24 thì a + b chia hết cho 24. Bài 4: Cho hình thoi ABCD có góc nhọn A = a. Trên tia BC lấy điểm E sao cho CE = CB, từ E hạ EF vuông góc với tia AB tại F. a) Tam giác DEF là tam giác gì? Chứng minh nhận xét đó. Chứng minh rằng: BAD = 2AFD. b) Xác định a để tam giác DEF là tam giác vuông, tam giác đều.  đề thi h/s giỏi toán lớp 8, cấp tỉnh Năm học: 2003- 2004 Thời gian: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Chứng minh rằng nếu a và b không chia hết cho 3 thì a6 - b6 chia hết cho 9. Bài 2: (4điểm) Giả sử: abc = 2004 Chứng minh rằng: Bài 3: (4điểm) Tìm số tự nhiên n thoả mãn : n + S(n) = 2004 Trong đó S(n) là tổng các chữ số của n. Bài 4: (8điểm) Cho hình thang ABCD Có AB // CD và 4AB = CD. Gọi E, F là hai điểm thuộc cạnh AD sao cho AE = EF = FD. Kẻ EE' và FF' song song với AB cắt BC ở E' và F'. Gọi M là trung điểm của CD. a) Chứng minh ME và ME' cắt FF' thành ba phần bằng nhau. b) ME cắt BD ở I, ME' cắt AC ở J . Hãy chứng minh IJ // CD.  đề thi h/s giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh Năm học : 2003 -2004 Bài 1: (5điểm) Cho A = x( x + 5 ) - 4( x + 3 ). a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa? Tính giá trị của A khi x = b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2: ( 3,5 điểm) Giải hệ PT: x1x2x3 = x1+ x2 +x3 (1) x2x3x4 = x2 + x3 + x4 (2) ........................ ....................... x2002x2003x1 = x2002 + x2003 + x1 (2002) x2003x1x2 = x2003 + x1 + x2 (2003) x2004 = x2003 (2004) Bài 3: (3,5điểm) Cho P(n) = an + bn + c. a;b;c ẻ Z. Biét P(1) ;P(2); P(3) đều chia hết m (m ẻ N*). Chứng minh : b2 chia hết cho m. Bài4: (8điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC. Điểm A di động trên nửa đường tròn đã cho. Gọi H là chân đường cao AH của tam giác ABC . Gọi 01, 02 lần lượt là tâm của các đường tròn nội tiếp các tam giác ABH, ACH. a) Chứng minh đường thẳng vuông góc với 0102 kẻ từ A luôn đi qua một điểm cố định. b) Gọi I là giao điểm của B01 với C02. Tìm quỹ tích của điểm I.