Đề thi học sinh giỏi trên máy tính casio

đề thi học sinh giỏi trên máy tính casio Câu 1(5đ) (chỉ nêu đáp số) Tính giá trị các biểu thức sau( chính xác đến 6 chữ số thập phân) Câu 2(5đ) (chỉ nêu đáp số) a)Tìm các số tự nhiên a,b, c biết b)Tìm x biết Câu 3(5đ) ; Gọi C là tổng các số nghịch đảo của các phần tử trong A; G là tổng các số nghịch đảo của các phần tử trong B. Tính C.G (kết quả để ở dạng phân số) Câu 4(5đ) Chứng minh rằng: tổng 10 chữ số tận cùng của số 281120082 là số nguyên tố. Câu 5(5đ) Cho A(x) = 20 x3 - 11x +2008 ; B(x) = 20x3 - 11x + 1987. Gọi a là số dư khi chia A(x) cho x -2, b là số dư khi chia B(x) cho x -3. Hãy tìm số dư khi chia b cho a, ƯCLN(a;b), BCNN(a;b), Ư(b-a). Câu 6(5đ) Cho đa thức A(x) = x4+ax3+bx2+cx+d thoả mãn A(1) =1; A(2) =3; A(3) =5; A(4) =7. Xác định đa thức trên. Tìm m để A(x) + m chia hết cho x-5 Câu 7(5đ). Cho ; tg = 27,72008 . Tính giá trị của biểu thức(chính xác đến 0,001) + 19 cotg5+2008sin2. Câu 8(5đ) Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức : (n) Tính U1; U2; U3; U4 (chỉ nêu đáp số ) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-2 c) Lập quy trình bấm phím tính Un+1 . Tính U8 - U5 Câu 9(5đ) a) Một người vay vốn ở một ngõn hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48 thỏng, lói suất 1,15% trờn thỏng, tớnh theo dư nợ, trả đỳng ngày qui định. Hỏi hàng thỏng, người đú phải đều đặn trả vào ngõn hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lói là bao nhiờu để đến thỏng thứ 48 thỡ người đú trả hết cả gốc lẫn lói cho ngõn hàng? b) Nếu người đú vay 50 triệu đồng tiền vốn ở một ngõn hàng khỏc với thời hạn 48 thỏng, lói suất 0,75% trờn thỏng, trờn tổng số tiền vay thỡ so với việc vay vốn ở ngõn hàng trờn, việc vay vốn ở ngõn hàng này cú lợi gỡ cho người vay khụng? Câu 10(5đ) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn( Ax, By, và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là AB). Từ M trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax, By lần lượt tại C,D. Cho biết . Tính MO và diện tích tam giác ABM. Hướng dẫn chấm Chú ý: - Trong các phần, cứ sai một chữ số thì trừ 0,5đ - Học sinh giải theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa Câu Đáp án Điểm 1 A=39,908336 B=0,341799 2,5 2,5 2 a)a=2; b=215; c=2129 b)x=8,586963434 3 2 3 1 1 1 1 1 4 Ta có A=281120082 =(2811.104+2008)2 = (2811.104)2+2.2811.104.2008+20082 = 790 172 100 000 000+112 889 760 000+4 032 064 = 790 284 993 792 064 Tổng 10 chữ số tận cùng của A là 4+9+9+3+7+9+2+0+6+4=53 Mà 53 là số nguyên tố => đpcm 1 1 1 1 1 5 A(x) = 20 x3 - 11x +2008 ; B(x) = 20x3 - 11x + 1987. a/ Giá trị của biểu thức A(x) tại x = 2 chính là số dư của phép chia đa thức trên cho x – 2. Quy trình bấm phím trên máy 500 MS: 2 SHIFT STO X 20 ALPHA X ^ 3 - 11 ALPHA X +2008 = ( được kết quả là a=2146) Tương tự ta có b=2494 Ta có: . Do đó: số dư khi chia b cho a là 2494 – 1.2146 =348 ƯCLN(a;b) = 2494:43 = 58 BCNN(a;b) = 2494.37=92 278 Quy trình ấn phím tìm Ư(b-a) = Ư(348) trên 570MS: 1 SHIFT STO A ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : 348 ALPHA A. ấn = liên tiếp và chọn các kết quả là số nguyên. Kết quả Ư(348) = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 6 a) Đặt B(x) = 2x-1. B(1)=1; B(2)=3; B(3)=5; B(4)=7 => A(x)-B(x) có 4 nghiệm 1; 2; 3; 4 => A(x)-B(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) => A(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+B(x) => A(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+2x-1 => A(x)=x4-10x3+35x2- 48x+23 Ngoài ra có thể sử dụng cách giải hệ phương trình Rút ẩn d từ phương trình thứ nhất thay vào phương trình còn lại để được hệ phương trình 3 ẩn , dùng máy giải để tìm a,b,c,d . b)A(x) + m chia hết cho x-5 khi A(5) + m = 0. Do đó m = - A(5) = -33 1 1 1 1 1 7 Quy trình ấn phím: SHIFT tan-1 27.72008 SHIFT STO D SHIFT tan-1 20.102008 SHIFT STO A sin ALPHA A SHIFT STO B cos ALPHA A SHIFT STO C ( 5 ALPHA B - 9 ALPHA C +15 ALPHA B ALPHA C – 10 ALPHA C ): ( 20 ALPHA C + 11 ALPHA C ALPHA B-22 ALPHA B +12 ALPHA B)+19 (cos ALPHA D sin ALPHA D)5 +2008 (sin ALPHA D)2 = Kết quả là: 2004,862. 4 1 8 a) U1 = 1; U2 = 26; U3 = 510; U4 = 8944. b) Đặt Un+1 = a.Un + b.Un-1 Theo kết quả tớnh được ở trờn, ta cú: Giải hệ phương trỡnh trờn ta được: a = 26,b = -166 Vậy ta cú cụng thức: Un+1 = 26Un – 166Un-1 c) Lập quy trỡnh bấm phớm trờn mỏy CASIO 500MS: Quy trình bấm phím để tính un+1 trên máy 500 M 1 SHIFT STO A 26 SHIFT STO B 26 ALPHA B - 166 ALPHA A SHIFT STO A 26 ALPHA A - 166 ALPHA B SHIFT STO B ấn = được u5 ấn tiếp = được u6; Quy trình bấm phím trên máy 570 MS 1 SHIFT STO A 26 SHIFT STO B 2 SHIFT STO C (biến đếm) ALPHA C ALPHA = ALPHA C + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = 26 ALPHA B - 166 ALPHA A ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = 26 ALPHA A - 166 ALPHA B ấn = liên tiếp đến khi dòng trên xuất hiên C=C+1 cho kết quả = n+1 thì ta ấn tiếp 1 lần = sẽ được un+1 Ta được: U5 = 147 884; U6 = 2 360 280; U7 = 36 818 536; U8 = 565 475 456 => U8 – U5 = 565 327 572 2 1 1 1 9 a) Gọi số tiền vay của người đú là N đồng, lói suất m% trờn thỏng, số thỏng vay là n, số tiền phải đều đặn trả vào ngõn hàng hàng thỏng là A đồng. - Sau thỏng thứ nhất số tiền gốc cũn lại trong ngõn hàng là: N – A = N.x – A đồng với x = - Sau thỏng thứ hai số tiền gốc cũn lại trong ngõn hàng là: (Nx– A)x– A = Nx2– A(x+1) đồng. - Sau thỏng thứ ba số tiền gốc cũn lại trong ngõn hàng là: [Nx2– A(x+1)]x– A = Nx3– A(x2+x+1) đồng Tương tự : Số tiền gốc cũn lại trong ngõn hàng sau thỏng thứ n là : Nxn– A(xn-1+xn-2+...+x+1)đồng. Vỡ lỳc này số tiền cả gốc lẫn lói đó trả hết nờn ta cú : Nxn = A (xn-1 +xn-2 +...+x+1) ị A = = Thay bằng số với N = 50 000 000 đồng, n = 48 thỏng, y =1,0115 ta cú : A = 1 361 312,807 đồng. b) Nếu vay 50 triệu đồng ở ngõn hàng khỏc với thời hạn như trờn, lói suất 0,75% trờn thỏng trờn tổng số tiền vay thỡ sau 48 thỏng người đú phải trả cho ngõn hàng một khoản tiền là: 50 000 000 + 50 000 000 . 0,75% . 48 = 68 000 000 đồng. Trong khi đú vay ở ngõn hàng ban đầu thỡ sau 48 thỏng người đú phải trả cho ngõn hàng một khoản tiền là: 1 361 312,807 . 48 = 65 343 014,74 đồng. Như thế việc vay vốn ở ngõn hàng thứ hai thực sự khụng cú lợi cho người vay trong việc thực trả cho ngõn hàng. 1 1 1 1 1 10 cm được góc COD = 90o Từ đó dùng hệ thức lượng ta được : OM= b)cm được : 1 1 1 1 1