Đề thi học sinh năng khiếu môn Toán lớp 8 năm học 2009 – 2010

Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8 năm học 2009 – 2010 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn A b)Tìm A với x = 2010 c)Tìm x để A < 0 Bài 2. (2điểm) a) Chứng minh hằng đẳng thức b) Chứng minh rằng a2+b2+c2 ab+bc+ac với mọi a;b;c Bài 3. (2điểm) Chứng minh (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y4 là số chính phương với mọi số nguyên x;y b) Cho a,b,c thỏa mãn Chứng minh rằng có một số bằng 2010 Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O bất kì trong tam giác. Các đường thẳng OA;OB;OC cắt BC;CA;AB tại M;N;P. Chứng minh rằng: a) b) Tổng không phụ thuộc vị trí điểm O Bài 5. (1điểm) Giải phương trình sau: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba Hướng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8 năm học 2009 – 2010 Bài 1. (2điểm) Cho a)Rút gọn A b)Tìm A với x =2010 c)Tìm x để A < 0 ĐKXĐ x0; -1; = = b) giá trị của A = c) A < 0 < 0 x < 1 0,25đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ Bài 2.(2điểm) Chứng minh hằng đẳng thức biến đổi vế phải nhân phá ngoặc, rút gọn cho kết quả bằng vế trái b) Chứng minh rằng a2+b2+c2 ab+bc+ac với mọi a;b;c chuyển vế nhân hai vế với 2 ta được 2a2+2b2+2c2 -2ab-2bc-2ac 0 (a-b)2+ (b-c)2+(c-a)2 0 ( luôn đúng) dấu bằng xảy ra khi a=b=c 1đ 0,75đ 0,25đ Bài 3.(2điểm) Chứng minh A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4 là số chính phương với mọi số nguyên x;y Nhân phá ngoặc được A= (x2+5xy+4y2)( x2+5xy+6y2) +y4 đặt x2+5xy+5y2= m => A= (m-y2)(m+y2)+y4 = m2= (x2+5xy+5y2)2 vậy A luôn chính phương với mọi số nguyên x;y Cho a,b,c thỏa mãn Chứng minh rằng có một số bằng 2010 Biến đổi Thành => (ab+bc+ac)(a+b+c)=abc a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2+2abc =0 (a+b)(b+c)(c+a) =0 xét các trường hợp nếu a+b =0 => c=2010 tương tự với các trường hợp còn lại 0,5Đ 0,5Đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Bài 4.(2điểm) Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O bất kì trong tam giác. Các đường thẳng OA;OB;OC cắt BC;CA;AB tại M;N;P. Chứng minh rằng: a) b) Tổng không phụ thuộc vị trí điểm O a) vẽ qua A đường thẳng song song với BC cắt BN; CP tại H;I ấp dụng định lí Ta lét thay vào ta có b) Kẻ OD; OE song song với AB; AC Ta có ; do tam giác ODE đồng dạng với tam giác ABC nên Thay vào hệ thức được 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 5.(1điểm) Giải phương trình sau: Nhận thấy: y=3 hoặc y=4 là nghiệm của phương trình - Nếu y 1 => Phương trình vô nghiệm - Nếu 3 < y < 4 thì 0 < < 1 và 0 < < 1 Do đó < = y – 3 và < = 4-y Suy ra < y – 3 + 4 – y =1 phương trình vô nghiệm - Nếu y > 4 thì = y – 3 > 1 Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm y = 3 hoặc y = 4 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Lưu ý: - Trên đây chỉ là một phương án nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa -Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ thang điểm cho phù hợp với bài làm của học sinh. Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba đề thi học sinh năng khiếu môn giải toán trên máy tính lớp 8 năm học 2009 – 2010 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Thí sinh chỉ được sử dụng các loại máy sau: CASIO- FX500MS; CASIO- FX570MS; VINACAL – 500MS; VINACAL – 570MS: VINACAL – 570MS NEW. Bài 1. (5điểm) Tính 1,1234567893 - 5,021234567 Tính B = Bài 2. (5điểm) Tính A = khi x=1,8156 Bài 3. ( 5điểm) Tìm dư của phép chia 718 cho 2010 Bài 4. ( 5điểm) Tìm a để x3+2ax2 +5x-5 chia hết cho x+2 Bài 5. (5điểm) Biểu diễn B ra dạng phân số B = Bài 6.(5điểm) Dân số một nước là 65 triệu người mức tăng dân số là 1,2% mỗi năm. Tính dân số nước ấy sau 20 năm. Bài 7. (5điểm) Giải phương trình Bài 8.(5điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 12cm. M;P là trung điểm của AB;CD. Trên BC; AD lấy N;Q sao cho BC= 4BN; AD = 4DQ. Hãy tính chu vi và diện tích tứ giác MNPQ. Bài 9. (5điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c;AC = b;BC = a. a) Chứng minh công thức với p là nửa chu vi, S là diện tích tam giác ABC. b) áp dụng tính diện tích tam giác ABC với AB =5cm;AC =8cm;BC=7cm. Bài 10.(5 điểm) cho phương trình Lập một quy trình tìm nghiệm của phương trình trên Giải phương trình trên. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba Hướng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn giải toán trên máy tính lớp 8 Bài 1 (5điểm) a)Tính 1,1234567893 - 5,021234567 Tính trên máy cho kết quả -80,4759 b)Tính B = Nhập công thức tính B trên máy cho kết quả B = 1,308970368 2đ 3đ Bài 2 (5điểm) Tính A = khi x=1,8156 Nhập công thức của A trêm CASIO 570 nhấn phím CALC máy hỏi x Nhập 1,8156 = Cho kết quả 1,496532 3đ 2đ Bài 3 ( 5điểm) Tìm dư của phép chia 718 cho 2010 Viết quy trình tìm dư đúng (với máy VINACAL – 570MS NEW) không phải viết nhưng phải có quy trình nhập công thức) 718 =79.79 có 79 847 ( mod 2010) do đó 71884721849 (mod2010) 1đ 2đ 2đ Bài 4 ( 5điểm) Tìm a để x3+2ax2 +5x-5 chia hết cho x+2 F(x) chia hết cho x-a khi f(a) =0 Tính f(-2) = (-2)3+2(-2)2.a+5(-2)-5 =0 => a= 2đ 3đ Bài 5 (5điểm) biểu diễn B ra dạng phân số B = quy trình tính 1ab/c 4+3=x-1= +3 = x-1=+3 =x-1= +7= SHIPT d/c cho kết quả B = 4đ 1đ Bài 6(5điểm) Dân số một nước là 65 triệu mức tăng dân số là 1,2% mỗi năm. Tính dân số nước ấy sau 20 năm. Sau 1 năm dân số nước ấy là 65.(1+1,2%) Sau 2 năm dân số nước ấy là 65.(1+1,2%)+65.(1+1,2%).1,2% =65.(1+1,2%)2 2đ Tương tự ta có sau 20 năm dân số là 65.(1+1,2%)20 khoảng 82 triệu người 2đ 1đ Bài 7 (5điểm) Giải phương trình (x-2002)() =5 x=5: ()+2002 tính cho kết quả x=2009,892489 2đ 2đ 1đ Bài 8(5điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 12cm. M;P là trung điểm của AB;CD. Trên BC; AD lấy N;Q sao cho BC= 4BN; AD = 4DQ. Hãy tính chu vi và diện tích tứ giác MNPQ. Tính MN = PQ = Tính MQ=NP = Do đó chu vi tứ giác MNPQ 35,0497(cm) SMNPQ=SABCD-2.(SAMQ+SQDP) Thay số tính được S = 72(cm2) 2đ 1đ 2đ Bài 9 (5điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh AB =c;AC=b;BC=a. a) Chứng minh công thức với p là nửa chu vi, S là diện tích tam giác ABC. b ) áp dụng tính diện tích tam giác ABC với AB=5cm;AC=8cm;BC=7cm Giả sử tam giác ABC có góc B và C nhọn Kẻ đường cao AD Đặt AD =h; CD = x => BD =a-x Ta có b2 = h2+x2; c2=h2+(a-x)2 => b2- c2=x2-(a-x)2 => x= => h2= => h= => => tính ra kết quả S = 17,32050808 2đ 2đ 1đ Bài 10(5 điểm) cho phương trình lập một quy trình tìm nghiệm của phương trình trên Giải phương trình trên. a) Nhập công thức trên máy 570 3^ALPHA X +4^ALPHA X-5^ALPHA X SHIPFT SOLVE nhập 3= Nhấn SHIPT SOLVE cho kết quả x = 2 vậy phương trình có một nghiệm bằng 2 b ) Nhận thấy x= 2 là nghiệm của phương trình với x > 2 ta có do đó phương trình không có nghiệm lớn hơn 2 với x < 2 ta có do đó phương trình không có nghiệm nhỏ hơn 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất bằng 2 3đ 1đ 1đ Lưu ý:- Trên đây chỉ là một phương án nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa-Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ thang điểm cho phù hợp với bài làm của học sinh. Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 7 năm học 2009 – 2010 ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) Bài 1. (2điểm) a) Cho x = 2009. Tính giá trị của biểu thức: A = b) Tìm x biết : Bài 2. (2điểm) Cho và a.b = 2010. Tìm a và b Bài 3. (2điểm) a) Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d khác 0 b) Cho Với m,n Chứng minh rằng: Bài 4.(2điểm) Cho điểm M nằm trong tam giác ABC . chứng minh rằng Bài 5.(2điểm) Tìm các số tự nhiên x; y sao cho Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét tất cả các đoạn thẳng nối 2009 điểm nói trên. Chứng minh rằng nếu kẻ đường thẳng d bất kì không đi qua bất kì điểm nào trong số các điểm nói trên thì số đoạn thẳng bị đường thẳng d cắt là một số chẵn. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm phòng giáo dục và đào tạo thanh ba hướng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 7 năm học 2009 – 2010 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Bài 1 (2điểm) a) Cho x = 2009. Tính giá trị của biểu thức: A = Thay 2008 = x-1 vào biểu thức A ta có: b) Tìm x biết : Vậy x= hoặc x = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 2 (2điểm) Cho và a.b = 2010 . Tìm a và b Đặt = k => a = 2k; b = 3k Từ a.b=2010 => 2k.3k = 2010 => k2 = 335 => k = hoặc k = - nếu k = => a= 2.; b = 3 nếu k = - => a= -2.; b = -3 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 3 (2điểm) a) Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d = c(b+d) Hay ad = bc Suy ra ( ĐPCM) 0,5đ 0,5đ b) Cho Với m,n Chứng minh rằng: Ta có (x1p – y1q)2n ; (x2p – y2q)2n ;…; (xmp – ymq)2n Nên Mà theo đề bài thì: Suy ra (x1p – y1q) =(x2p – y2q) =…= (xmp – ymq) = 0 Do đó 0,25đ 0,25đ 0,5đ Bài 4(2điểm) Cho điểm M nằm trong tam giác ABC . chứng minh rằng Ta có MA+MB > AB MB+MC > BC MA+MC > AC =>2MA+2MB+2MC > AB+AC+BC => Gọi giao của BM và AC là D ta có MA + MB < MB+AD +MD = DA + DB < DA + DC + BC = AC + BC => MA +MB < AC+BC Tương tự ta có MB +MC < AB + AC MA + MC < BA + BC Cộng các bất đẳng thức trên ta có MA + MB + MC < AB + AC + BC 1đ 1đ Bài 5(2điểm) Tìm các số tự nhiên x; y sao cho Từ => => x(6-5y) = 15 => do x là số tự nhiên nên x là ước của 15 nếu x=1 => 6-5y =15 (loại) x= 3 => 6-5y = 5 (loại) x=5=> 6-5y = 3 (loại) x= 15 => 6-5y =1 => y =1 Vậy các số cần tìm là x= 15; y=1 b) Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét tất cả các đoạn thẳng nối 2009 điểm nói trên. Chứng minh rằng: nếu kẻ đường thẳng d bất kì không đi qua bất kì điểm nào trong số các điểm nói trên thì số đoạn thẳng bị đường thẳng d cắt là một số chẵn. Kẻ đường thẳng d bất kì không đi qua 2009 điểm nói trên khi đó đường thẳng d chia mặt phẳng làm hai phần giả sử phần thứ nhất của mặt phẳng chứa n điểm khi đó nửa mặt phẳng còn lại chứa ( 2009-n) điểm để một đoạn thẳng nào đó cắt đường thăng d thì hai đầu mút phải nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là d . nối n điểm của nửa mặt phẳng này với ( 2009-n) điểm của nửa mặt phẳng còn lại ta được n(2009-n) đoạn thẳng đo đó ta có số đoạn thẳng bị đường thẳng d cắt là n(2009-n) mà n(2009-n) luôn chẵn với mọi số tự nhiên n vậy số đoạn thẳng bị d cắt luôn chẵn 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Lưu ý: - Trên đây chỉ là một phương án nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa -Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ thang điểm cho phù hợp với bài làm của học sinh. Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 6 năm học 2009 – 2010 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2điểm) Tính tổng sau: A = Bài 2. (2điểm) a) Cho C = 3 + 32 + 33 + 34........+ 3100 Chứng tỏ C chia hết cho 40. b) Cho các số 0,1,3,5,7,9. Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5, từ 6 chữ số đã cho. Bài 3. (2điểm) Tính tuổi của anh và em, biết rằng 5/8 tuổi anh hơn 3/4 tuổi em là 2 năm và 1/2 tuổi anh hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Bài 4. (2điểm) a)Vẽ góc AOB =1300; góc AOC =300. Tính góc BOC b)Cho góc XOY = 900; vẽ OX1 là phân giác của góc XOY; vẽ OX2là phân giác của góc XOX1; vẽ OX3 là phân giác của góc XOX2… vẽ OX2010 là phân giác của góc XOX2009 . Tính số đo góc XOX2010.. Bài 5.(2điểm) a)Tích của hai phân số là . Nếu ta thêm vào thừa số thứ hai 3 đơn vị thì được tích là . Tìm hai phân số đó. b)Tìm các số nguyên dương a,b,c. Biết rằng và Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba Hướng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 6 năm học 2009 – 2010 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2điểm) Tính tổng sau: A = = 3 ( = 3 = 33. 1đ 1đ Bài 2 (2điểm) a) C = (3 + 32 + 33 + 34) +......+(397 + 398 + 399 + 3100 ) = 3(1+3+32+33) +......+ 397(1+3+32+33) = 40.(3+35+39+.......+ 397) 40 b) Mỗi số có dạng abc0, abc5 - Với abc0 + Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (Vì chữ số hàng nghìn không phải là số 0) + Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm + Có 6 cách chọn chữ số hàng chục Vậy 5.6.6 = 180 số. - Với abc5 Cách chọn tương tự và cũng có 180 số. Vậy ta thiết lập được 360 số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho. 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ Bài 3(2điểm) 1/2 Tuổi anh thì hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Vậy tuổi anh hơn 6/8 tuổi em là 14 năm Mà 5/8 tuổi anh lớn hơn 3/4 tuổi em là 2 năm. nên 1-5/8 = 3/8 tuổi anh = 14-2 = 12 năm. Vậy tuổi anh là 12:3/8 = 32 tuổi. 3/4 tuổi em = 32-14 = 18 tuổi tuổi em là: 18:3/4 = 24 tuổi. 0,5đ 1đ 0,5đ Bài 4: (2điểm) a, Vẽ góc AOB =1300; góc AOC =300. Tính góc BOC vẽ hai trường hợp lập luận để có góc BOC = 1000 hoặc BOC = 1600 b, Cho góc XOY = 900; vẽ OX1 là phân giác của góc XOY; vẽ OX2là phân giác của góc XOX1; vẽ OX3 là phân giác của góc XOX2… vẽ OX2010 là phân giác của góc XOX2009. Tính số đo góc XOX2010.. do OX1 là phân giác của góc XOY => góc XOX1= 900:2 do OX2là phân giác của góc XOX1=> góc XOX2= 900:22 do OX3 là phân giác của góc XOX2 => góc XOX3 = 900:23 ………………………………… OX2010 là phân giác của góc XOX2009 => góc XOX2010 = 900: 22010 Vậy góc XOX2010 = 900: 22010 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 5(2điểm) a)Tích của hai phân số là . Nếu ta thêm vào thừa số thứ hai 3 đơn vị thì được tích là . Tìm hai phân số đó. Tích mới lớn hơn tích cũ là Tích mới lớn hơn tích cũ 3 lần phân số thứ nhất Vậy phân số thứ nhất là ; phân số thứ hai là b)Tìm các số nguyên dương a,b,c.Biết rằng và Vì a2 = 2(b + c) => a2 chẵn => a chẵn (1) Mà a,b,c nguyên dương nên từ => a > b và a > c => 2a > b + c => 4a > 2(b +c) => 4a > a2 ( Vì a2 = 2 ( b + c)) => a < 4 (2) Từ (1) và (2) => a = 2 và b = c = 1 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Lưu ý: - Trên đây chỉ là một phương án nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa -Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ thang điểm cho phù hợp với bài làm của học sinh.