Để thi thử đại học, cao đẳng môn thi:Toán, Khối B

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỂ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Môn thi: TOÁN, khối B TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình lượng giác: 2. Giải bất phương trình: Câu III (1 điểm) Tính tích phân: Câu IV (1 điểm) Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. Câu V (1 điểm) Cho phương trình Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng định bởi: . Tìm điểm M trên sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;1;0), B(1;1;3), C(2;-1;3), D(1;-1;0). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Câu VII.a (1 điểm) Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu? 2. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng và có hoành độ , trung điểm của một cạnh là giao điểm của (d) và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là . Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng. Câu VII.b (1 điểm) Cho là những số dương thỏa mãn: . Chứng minh bất đẳng thức ----------------------Hết---------------------- Đáp án. Câu Ý Nội dung Điểm I 2,00 1 1,00 + MXĐ: 0,25 + Sự biến thiên Giới hạn: 0,25 Bảng biến thiên 0,25 Đồ thị 0,25 2 1,00 Ta có . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là: ; Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi: Vì A và B phân biệt nên , do đó (1) tương đương với phương trình: Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau , Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là và . Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là II 2,00 1 1,00 Điều kiện: 0,25 Từ (1) ta có: 0,25 0,25 Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 0,25 2 1,00 Điều kiện: 0,25 Phương trình đã cho tương đương: 0,25 0,25 Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là 0,25 III 1,00 1 1,00 0,50 0,50 IV 1,00 Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Khi đó và . Giả sử I là giao điểm của MN và OO’. Đặt R = OA và h = OO’. Khi đó: vuông cân tại O nên: 0,25 Ta có: 0,25 0,25 và 0,25 V 1,00 Phương trình (1) Điều kiện : Nếu thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì cần có điều kiện . Thay vào (1) ta được: 0,25 * Với m = 0; (1) trở thành: Phương trình có nghiệm duy nhất. 0,25 * Với m = -1; (1) trở thành + Với + Với Trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất. 0,25 * Với m = 1 thì (1) trở thành: Ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm nên trong trường hợp này (1) không có nghiệm duy nhất. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1. 0,25 VIa 2,00 1 1,00 Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính . Gọi A, B là hai tiếp điểm của (C) với hai tiếp của (C) kẻ từ M. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là nửa tam giác đều suy ra . Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: . 0,25 Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng , nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương trình: 0,25 Khử x giữa (1) và (2) ta được: 0,25 Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: hoặc 0,25 2 1,00 Ta tính được . 0,25 Vậy tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó ABCD là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm G của tứ diện này. 0,25 Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là , bán kính là . 0,50 VIIa 1,00 Số cách chọn 9 viên bi tùy ý là : . 0,25 Những trường hợp không có đủ ba viên bi khác màu là: + Không có bi đỏ: Khả năng này không xảy ra vì tổng các viên bi xanh và vàng chỉ là 8. + Không có bi xanh: có cách. + Không có bi vàng: có cách. 0,25 Mặt khác trong các cách chọn không có bi xanh, không có bi vàng thì có cách chọn 9 viên bi đỏ được tính hai lần. Vậy số cách chọn 9 viên bi có đủ cả ba màu là: cách. 0,50 VIb 2,00 1 1,00 I có hoành độ và Vai trò A, B, C, D là như nhau nên trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của (d) và Ox, suy ra M(3;0) , suy ra phương trình AD: . Lại có MA = MD = . Vậy tọa độ A, D là nghiệm của hệ phương trình: hoặc .Vậy A(2;1), D(4;-1), 0,50 là trung điểm của AC, suy ra: Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4). Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1). 0,50 2 1,00 Mặt cầu (S) tâm I(2;-1;3) và có bán kính R = 3. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): . Do đó (P) và (S) không có điểm chung.Do vậy, min MN = d –R = 5 -3 = 2. 0,25 Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0. Dễ thấy N0 là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S). Gọi là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm của và (P). Đường thẳng có vectơ chỉ phương là và qua I nên có phương trình là . 0,25 Tọa độ của N0 ứng với t nghiệm đúng phương trình: Suy ra . 0,25 Ta có Suy ra M0(0;-3;4) 0,25 VIIb 1,00 Áp dụng bất đẳng thức Ta có: 0,50 Ta lại có: Tương tự: Từ đó suy ra Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 0,50 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỂ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Môn thi: TOÁN, khối D TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số , m là tham số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1. 2. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị. Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình : 2. Giải phương trình: Câu III (1 điểm) Tính tích phân Câu IV (1 điểm) Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. Câu V (1 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Câu VII.a (1 điểm) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện sau: (Ở đây lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử) 2. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C): .Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông ở B. 2. Cho mặt phẳng (P): và các đường thẳng . Tìm các điểm sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2. Câu VII.b (1 điểm) Tính đạo hàm f’(x) của hàm số và giải bất phương trình Đáp án Câu Ý Nội dung Điểm I 2,00 1 1,00 Khi m = 1 ta có + MXĐ: 0,25 + Sự biến thiên: Giới hạn: ; 0,25 Bảng biến thiên 0,25 Đồ thị 0,25 2 1,00 + Khi m = 0 , nên hàm số không có cực trị. 0,25 + Khi Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi không có nghiệm hoặc có nghiệm kép 0,50 0,25 II 2,00 1 1,00 (1) Điều kiện: 0,25 0,25 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 0,50 2 1,00 (2) Điều kiện: 0,25 0,25 + Với ta có phương trình ; 0,25 + Với ta có phương trình (4); Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là hoặc 0,25 III 1,00 Đặt + Đổi cận: 0,50 0,50 IV 1,00 Gọi E là trung điểm của AB, ta có: , suy ra . Dựng , vậy OH là khoảng cách từ O đến (SAB), theo giả thiết thì OH = 1. Tam giác SOE vuông tại O, OH là đường cao, ta có: 0,25 0,25 Thể tích hình nón đã cho: 0,25 Diện tích xung quanh của hình nón đã cho: 0,25 V 1,00 Hệ bất phương trình . Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại thỏa mãn (2). 0,25 Gọi 0,25 Hệ đã cho có nghiệm ; Vì nên chỉ nhận 0,25 Ta có: Vì f liên tục và có đạo hàm trên [1;6] nên Do đó 0,25 VIa 2,00 1 1,00 Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình: 0,25 Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình 0,25 Đường thẳng AC đi qua điểm A(-2;4) nên phương trình có dạng: Gọi Từ giả thiết suy ra . Do đó + a = 0 . Do đó + 3a – 4b = 0: Có thể cho a = 4 thì b = 3. Suy ra (trùng với ). Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y - 4 = 0. 0,25 Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình: 0,25 2 1,00 Gọi I(a;b;c) là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S). Từ giả thiết ta có: 0,25 Ta có: Từ (1) và (3) suy ra: 0,25 Từ (2) và (3) suy ra: Thế (4) vào (5) và thu gọn ta được: Như vậy hoặc .Suy ra: I(2;2;1) và R = 3 hoặc và R = 3. 0,25 Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu với phương trình lần lượt là: và 0,25 VIIa 1,00 Điều kiện: Hệ điều kiện ban đầu tương đương: 0,50 0,50 VIb 2,00 1 1,00 Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình 0,50 Vì A có hoành độ dương nên ta được A(2;0), B(-3;-1). Vì nên AC là đường kính đường tròn, tức là điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tròn. Tâm I(-1;2), suy ra C(-4;4). 0,50 2 1,00 Phương trình tham số của d1 là: . M thuộc d1 nên tọa độ của M . Theo đề: 0,25 + Với t1 = 1 ta được ; + Với t2 = 0 ta được 0,25 + Ứng với M1, điểm N1 cần tìm phải là giao của d2 với mp qua M1 và // mp (P), gọi mp này là (Q1). PT (Q1) là: . Phương trình tham số của d2 là:  (2) Thay (2) vào (1), ta được: -12t – 12 = 0 t = -1. Điểm N1 cần tìm là N1(-1;-4;0). 0,25 + Ứng với M2, tương tự tìm được N2(5;0;-5). 0,25 VIIb 1,00 Điều kiện ; 0,25 Ta có: 0,25 Khi đó: 0,50