Đề thi thử đại học lần 1 năm 2008-2009

Khối chuyên Toán - Tin trường ĐHKHTN-ĐHQGHN Đề thi thử đại học lần 1 năm 2008-2009 Ngày thi: 15/2/2009 • Thời gian: 180 phút. • Typeset by LATEX2ε. • Copyright c©2009 by Nguyễn Mạnh Dũng. • Email: nguyendunghus@gmail.com. 1 1 Đề bài Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = 2x3 − 3(m+ 1)x2 + 6mx+ 6. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác sin 4x+ 2 = cos 3x+ 4 sinx+ cosx 2) Giải phương trình 2 + (1− log3 x) log 2√ x 4x2 = (1 + log2 x) log 2√ x 4x2 + 2 log3 3 x . log2x 2 Câu III (2 điểm) 1) Giải phương trình ln (2 + sin 2x) = 2 cos2 ( x− pi 4 ) 2) Tính nguyên hàm ∫ xdx cos4 x Câu IV (3 điểm). Cho hai đường tròn trên mặt phẳng tọa độ có phương trình x2 + y2 = 1 và x2 + y2 + 16 = 8x+ 4y. 1)a) Viết phương trình các đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình. b) Tìm giao điểm của các tiếp tuyến. 2) Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = 1, u2 + v2 + 16 = 8u + 4v. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = 8u+ 4v − 2(ux+ vy) Câu V (1 điểm). Tìm số các số tự nhiên gồm 8 chữ số phân biệt được thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho trong mỗi số không có bất kì hai chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau. 2 2 Lời giải tóm tắt Câu I. 1) Khi m = 1 thì y = 2x3 − 6x2 + 6x + 6, y′ = 6(x − 1)2 ≥ 0 nên hàm số luôn đồng biến, y′′ = 12x− 12⇒ xu = 1, yu = 8. (Bạn đọc tự vẽ đồ thị) 2) Ta có y′ = 6x2 − 6(m+ 1)x+ 6m = 6(x− 1)(x−m). • m = 1⇒ y′ ≥ 0, đồ thị chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm (không thỏa mãn) • m 6= 1. Hàm số có cực trị nên đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔ ymax.ymin = y(1).y(m) < 0 ⇔ (9m− 1)(−2m3 + 3m2 + 6m) < 0 ⇔ m(9m− 1)(−2m2 + 3m+ 6) < 0 ⇔ m < 3− √ 57 4 , 0 < m < 1 9 , m ≥ 3 + √ 57 4 Câu II. 1) Phương trình đã cho tương đương với ⇔ (sin 4x− sin 2x) + (sin 2x− cosx) + (2− 4 sinx) = cos 3x ⇔ (2 cos 3x sinx− cos 3x) + cosx(2 sinx− 1)− 2(2 sinx− 1) = 0 ⇔ (2 sinx− 1)(cos 3x+ cosx− 2) = 0 • sinx = 12 • cos 3x+ cosx = 2⇔ cosx = 1, cos 3x = 1⇔ cosx = 1 2) Phương trình đã cho tương đương với (log2 2x− log3 3 x )(2 log2x 2− log 2√ x 4x2) = 0 • log2 2x = log3 3x = t. Phương trình này tương đương với{ 2x = 2t 3 x = 3 t ⇔ { x = 2t−1 x = 31−t ⇔ 2 t−1 = ( 1 3 )t−1 ⇔ t = 1⇔ x = 1 • log2x 4− log 2√ x 4x2 ⇔ 2 1 + log2 x = 2 + log2 x 1− 12 log2 x . Đặt log2 x = t ta thu được (2− t) = (1 + t)(2 + t)t = 0, t = −4⇔ x = 1, x = 116 Câu III (2 điểm) 1) Phương rình đã cho tương đương với ln(1 + (sinx+ cosx)2) = (sinx+ cosx)2 3 Đặt t = (sinx+ cosx)2 ≥ 0. Với t > 0 ta có ln(1 + t) < t, thật vậy, xét hàm số f(t) = ln1 + t− t < 0, f ′(t) = 1 1 + t − 1 < 0 Suy ra f(t) là hàm giảm suy ra f(t) < f(0)⇒ ln(1 + t)− t < 0, đpcm. Với t = 0⇒ ln(1 + t) = t ta thu được phương trình tương đương sinx+ cosx = 0⇔ cos (x− pi 4 ) = 0↔ x = pi 4 + 2kpi, k ∈ Z. 2) Ta có I = ∫ xdx cos4 x − ∫ x(1 + tan2 x)d(tanx) = ∫ xd(tanx) + ∫ xd( tan3 x 3 ) = x tanx− ∫ tanxdx+ x tan3 x 3 − 1 3 ∫ tan3 xdx = x tanx+ x tan3 x 3 + ∫ −d(cosx) cosx − 1 3 ∫ tanx ( 1 cos2 x − 1 ) dx = x tanx+ x tan3 x 3 − 2 3 ∫ d(cosx) cosx − 1 3 ∫ tanxd(tanx) = x tanx+ x tan3 x 3 − 2 3 ln| cosx| − tan 2 x 6 + C Câu IV (3 điểm) Câu (1) và (2) học sinh tự làm. 3) Ta có P − 15 = 8u+ 4v − 2ux− 2vy − 15 = (8u+ 4v − 16) + 1− 2ux− 2vy = u2 + v2 + x2 + y2 − 2ux− 2vy = (u− x)2 + (v − y)2 = d2 Trong đó d là khoảng cách giữa hai điểm trên 2 đường tròn. Khoảng cách tâm bằng √ 42 + 22 = 2 √ 5. Suy ra { dmax = 2 √ 5 + 1 + 2 = 2 √ 5 + 3 dmin = 2 √ 5− 3 ⇒ { Pmax = 15 + ( 2 √ 5 + 3 )2 Pmin = 15 + ( 2 √ 5− 3)2 Câu V (1 điểm). • Có C63 cách lấy ra 3 ô không kề nhau, có 3! cách xếp 3 số chẵn, có 5! cách xếp 5 số lẻ. Suy ra số bộ 8 số thỏa mãn yêu cầu đề bài (có thể số 0 đứng đầu) bằng d1 = C363!5! • Có C25 cách lấy 2 ô không kề nhau từ vị trí 3 → 8 để điền 2 số chẵn khác 0 (chữ số 0 đứng đầu), suy ra số bộ có 8 chữ số có số 0 đứng đầu thỏa mãn yêu cầu đề bài bằng d2 = C252!5! Đáp số: d = d1 − d2 = 100.5! 4