Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 – 2009 môn thi: Toán

UBND HUYỆN NAM ĐÔNG PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ……………………………………………………………………………….. Câu1: (3 điểm) Cho Rút gọn y. Tìm các giá trị nguyên của x để y có giá trị nguyên. Câu2: (1,5điểm). Với giá trị nào của m và n thì hàm số: là hàm bậc nhất? Câu3: (1,5điểm) Giải phương trình sau: Câu 4: (2điểm) Tìm các giá trị của a để hệ vô nghiệm: Câu 5: (4 điểm) Một chiếc thuyền xuôi, ngược trên khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút. Cho biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Hãy tính vận tốc của dòng nước. Câu 6 (5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của cạnh BC và D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB và AC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng năm điểm A, E, I, D, F cùng thuộc một đường tròn. Câu 7: (3 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó. ----Hết--- HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9, NĂM HỌC 2008- 2009 Câu Nội dung – yêu cầu Điểm 1 3đ 2 1,5đ a) Ta có: - Nếu x < 0 thì - Nếu 0 < x ≤ 2 thì - Nếu x > 2 thì b) Nếu xÎZ thì, do đó để yÎz thì: hay Hàm số đã cho là hàm bậc nhất khi: Û - Với m = 2 thì (m – 2n)(m+3n) ≠ 0 Û Û (2 – 2n)(2+3n)≠0 Û và Với m =3 thì (m-2n)(m+3n) ≠ 0 Û (3 – 2n)(3+3n)≠0 Û và Vậy hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi: m =2; n ≠ 1 và m=3; n ≠ -1 và n ≠ 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,25 0,25 0,5 0,5 3 1,5đ 4 2đ 5 4đ 6 (5đ) Þ Thử lại x = 0 không là nghiệm của phương trình: x = 3 là nghiệm của phương trình. Hệ phương trình vô nghiệm (4 giờ 30 phút = 4,5 giờ). Gọi vận tốc của thuyền khi nước yên lặng là x (km/giờ), vận tốc dòng nước là y (km/giờ) (đk: x > y >0). Vận tốc của thuyền khi xuôi dòng là: x+ y (km/giờ) Vận tốc của thuyền khi ngược dòng là: x – y (km/giờ) Thời gian thuyền ngược dòng 5km là: (giờ) Thời gian thuyền ngược dòng 4km là: (giờ) Theo đề bài ta có phương trình: (1) Thời gian xuôi dòng 40km là: (giờ) Thời gian ngược dòng 40km là: (giờ) Theo bài ta có phương trình: + = (2) Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình. Giải hệ ta được x = 18; y = 2. Vậy vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. -Vẽ hình đúng chính xác -Gọi M, N, K là trung điểm của AC ; AB ; AI. Δ ABC vuông tại A nên đường trung trực của AB ; AC phải đi qua trung điểm I của BC. Δ ABC vuông tại A có IA là trung tuyến nên IA=IC => ; NI // AM (cùng vuông góc với AC) . Suy ra . Ta lại có KM là đường trung bình của Δ AIC => KM // IC => => . Tứ giác AKMF nội tiếp được nên . Từ những điều kiện trên, suy ra: mà chúng cùng nhìn nhìn đoạn AE. Vậy tứ giác AEIF nội tiếp vì (AMIN là hình chữ nhật) nên EF là đường kính của đường tròn ngoại tiếp mà EF là trung trực của AD nên D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEIF. Hay năm điểm A, D, E, I, F nằm trên đường tròn. 0,5 1,0 0,5 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 7 (3đ) Vẽ hình đúng, chính xác * Thuận: Vì M là trung điểm của AB, nên: OM ^ AB Þ ÐAMO = 900 Điểm M nhìn đoạn AO dưới một góc vuông, nên M chạy trên đường tròn đường kính AO. Giới hạn: Vì B chạy khắp đường tròn (O) nên M chạy khắp đường tròn đường kính AO. * Đảo: Lấy N thuộc đường tròn đường kính AO suy ra AN cắt đường tròn (O) tại K. Ta có: góc ANO = 900 suy ra OM’^A’B’ suy ra N là trung điểm AK. Kết luận: Tập hợp trung điểm M của đoạn AB là đường tròn đường kính AO 0,5 1,0 1,0