Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 ngành: toán học môn thi: giải tích thời gian làm bài: 180 phút

Bộ giáo dục và đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Ngành: Toán học Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho hàm số xác định trên R2 bởi f(x; y) = ẵ y4 x2+y2 nếu x2 + y2 > 0 0 nếu x2 + y2 = 0 Chứng minh rằng a) f(x; y) có các đạo hàm riêng liên tục. b) f 00 xy(0; 0) = f 00 (0; 0). Câu 2. Cho f : R ! R là ánh xạ liên tục. Đặt ẵ(x; y) = jf(x)Ă f(y)j với mọi x; y 2 R. Chứng minh rằng a) ẵ(x; y) là một mêtric trên R khi và chỉ khi f đơn ánh. b) (R; ẵ) là không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi f(R) là đóng trong R với mêtric thông thường. Từ đó suy ra rằng với ẵ(x; y) = jarctgxĂ arctgyj thì (R; ẵ) là không gian mêtric không đầy đủ. Câu 3. Chứng minh rằng không gian C[a;b] các hàm số liên tục trên [a; b] là khả ly với mêtric d(x; y) = max t2 [a;b] jx(t)Ă y(t)j, 8x; y 2 C[a;b]. Câu 4. Cho X là không gian định chuẩn n chiều. Chứng minh rằng không gian liên hợp XÔ là không gian định chuẩn n chiều đồng phôi tuyến tính với X. Câu 5. Giả sử E = C[0;1] là không gian Banach với chuẩn kxk = sup t2 [0;1] jx(t)j, F là không gian con của E gồm các hàm số có đạo hàm liên tục trên [0; 1]. Xét ánh xạ A : F ! E cho bởi A(f) = f 0. 1. Chứng minh rằng a) KerA = AĂ1(0) là không gian con đóng của F và A có đồ thị đóng. b) A không liên tục. 2. Nếu trên F xác định chuẩn kxk = max t2 [0;1] jx(t)j+ max t2 [0;1] jx0(t)j ; 8x 2 F , hãy chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục. Tính kAk. 1Typeset by Đặng Xuân Cương – Cao học 12 – Giải tích – Đại học Vinh . 2Bộ giáo dục và đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Ngành: Toán học Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1.Cho G là một nhóm Xyclic cấp n sinh bởi phần tử a và H là một nhóm con của G. a) Chứng minh rằng H là nhóm Xyclic và H có một một phần tử sinh ad với d là một ước số dương nào đó của n. b) Cho q là một ước số dương nào đó của n. Chứng minh rằng G có duy nhất một nhóm con cấp q. c) Cho m và k là những số nguyên dương. Xét nhóm cộng Zm và quy tắc tưng ứng ' từ Zm vào G cho bởi '(t) = atk, với mọi t 2 Zm. Chứng minh rằng ' là một đồng cấu nhóm khi và chỉ khi km chia hết cho n. d) Xác định các tự đồng cấu, tự đẳng cấu của nhóm Z15. Câu 2. a) Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và I là một Ideal của R. Chứng minh rằng J là Ideal nguyên tố khi và chỉ khi R/J là miền nguyên. b) Chứng minh rằng số nguyên dương n là số nguyên tố khi và chỉ khi Zn là một trường. c) Chứng minh rằng trong trường Zn, với mọi x; y 2 Zn, ta có x+ y = xn + yn = (x+ y)n: Câu 3. Ký hiệu V = M(2; R) và cho A 2 V . a) Chứng minh rằng ánh xạ 'A : V ! V cho bởi X 7! AX Ă XA với mọi X 2 V là một tự đồng cấu tuyến tính của V. b) Chứng minh rằng 'A không là đơn cấu với mọi A 2 V . Câu 4. Giả sử V là một không gian vectơ Euclide hữu hạn chiều và W1; W2 là các không gian vectơ con của V. Giả sử rằng với mỗi Ă!v 2 W2; Ă!v 6= Ă!0 ; tồn tại một vectơ Ă!x 2 W1 sao cho tích vô hướng hĂ!v ; Ă!x i 6= 0. Chứng minh rằng dimW2 á dimW1. 1Typeset by Đặng Xuân Cương – Cao học 12 – Giải tích – Đại học Vinh . 3Bộ giáo dục và đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004 Ngành: Toán học Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho hàm số hai biến số: f(x; y) = ẵ e Ă 1 x2+y2 nếu x2 + y2 > 0 0 nếu x2 + y2 = 0 Tính các đạo hàm riêng @f @x ; @f @y và xét tính khả vi của hàm số f tại điểm (x; y) 2 R2. Câu 2. Cho hàm số f : [0; 1] ! R xác đinh như sau: f(x) = ẵ 1 (x2+1)2 nếu x 2 Q ex 2 nếu x 62 Q Xét tính khả tích Riemann và khả tích Lebesgue của hàm số này trên [0; 1] và tính tích phân tương ứng nếu tồn tại. Câu 3. Giả sử (X; ẵ) là một không gian mêtric. Xét d : X ÊX ! [0; +1), d(x; y) = ẵ(x;y) 1+ẵ(x;y) . Chứng minh rằng (X; ẵ) là không gian mêtric. Câu 4. Kí hiệu C[0;1] là không gian vectơ gồm tất cả các hàm số liên tục trên [0; 1]. Với x 2 C[0;1], đặt kxk = max t2 [0;1] jx(t)j. 1. Chứng minh rằng (C[0;1]; k:k) là một không gian Banach. 2. Định nghĩa ánh xạ A : C[0;1] ! C[0;1], (Ax)(t) = 1R 0 sin(t+ s):x(s)ds; với x 2 C[0;1], t 2 [0; 1]. Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính chuẩn của A. Câu 5. Giả sử X là không gian định chuẩn và Y là không gian con đóng của X với ; 6= Y 6= X và cho 0 < t < 1. Chứng minh rằng với mỗi y 2 Y , tồn tại x 2 X với kxk = 1 sao cho kxĂ yk > t. 1Typeset by Đặng Xuân Cương – Cao học 12 – Giải tích – Đại học Vinh . 4Bộ giáo dục và đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004 Ngành: Toán học Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Với mỗi số nguyên dương n á 2, ký hiệu Pn là không gian vectơ các đa thức thuộc R[x] có bậc n, trong đó R là trường số thực. 1. Chứng minh rằng với mỗi a 2 R, hệ vectơ f1; (xĂ a); :::; (xĂ a)ng là một cơ sở của Pn 2. Cho ánh xạ â : Pn ! PnĂ1 xác định bởi â(f(x)) = f 0(x), với mọi f(x) 2 Pn, trong đó f 0(x) là đa thức đạo hàm của f(x). a) Chứng minh â là ánh xạ tuyến tính. b) Xác định ma trận A của â đối với cặp cơ sở f1; (xĂ a); :::; (xĂ a)ng và f1; x; :::; xnĂ1g, với a 2 R cho trước. c) Xác định hạng của ma trận A. Câu 2. Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K, f : V ! V là một phép biến đổi tuyến tính. Chứng minh rằng Imf = Imf2khi và chỉ khi V = Kerf â Imf . Câu 3. Cho G = hai là một nhóm Cyclic cấp n sinh bởi a. a) Chứng minh rằng với k là một số nguyên bất kỳ, cấp của phần tử ak bằng n d , trong đó d = (n; k). b) Cho n = p2, với p là một số nguyên tố. Hãy xác định số phần tử sinh của nhóm G. Câu 4. Ký hiệu D = â m n j m, n 2 Z; n là số lẻ ê, trong đó Z là tập hợp các số nguyên. Chứng minh rằng D là một vành chính với các phép toán cộng và nhân các số hữu tỷ. Câu 5. Cho p là một số nguyên tố và p(x) = xpĂ1 + xpĂ2 + ::: + x+ 1 2 Q[x], trong đó Q là trường các số hữu tỷ. 1.Chứng minh rằng p(x) là một đa thức bất khả quy trên Q. 2. Gọi đ 2 C là một nghiệm của p(x). Xét tương ứng: ' : Q[x] ! C f(x) 7! f (đ) Chứng minh rằng: a) ' là một đồng cấu vành. b) B = fa0 + a1đ + ::: + apĂ2đpĂ2 ja0; a1; :::apĂ2 2 Qg là một trường với các phép toán cộng nhân các số phức. 1Typeset by Đặng Xuân Cương – Cao học 12 – Giải tích – Đại học Vinh . 5Bộ giáo dục và đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005 Ngành: Toán học Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. 1.Trên tập hợp số thực R, ta đặt d(x; y) = jarctgxĂ arctgyj ; 8x; y 2 R. Chứng minh rằng a) d là một mêtric trên R. b) (R; d) là không gian mêtric không đầy đủ. 2. Chứng minh rằng mọi ánh xạ từ không gian mêtric N (là tập hợp các số tự nhiên với mêtric thông thường) vào không gian mêtric Y là liên tục đều. Điều này còn đúng không khi thay N bằng một không gian mêtric rời rạc. Câu 2. Cho L là không gian véctơ các ánh xạ Lipschitz từ [0; 1] đến R và đặt E1 = C1([0; 1]; R). a) Chứng minh rằng k:k : L! xác định bởi 8f 2 L; kfk = jf (0)j+ sup (x;y)2[0;1]2;x 6=y jf(x)Ă f(y)j jxĂ yj là một chuẩn trên L, và chuẩn đó không tương đương với kfk1 = sup t2 [0;1] jf (t)j. b) Chứng minh rằng N : E1 ! xác định bởi 8f 2 E1; N (f) = jf (0)j + sup t2 [o;1] jf 0(t)j là một chuẩn trên E1 và chuẩn này trùng với k:k. Câu 3. Cho E = C([0; 1]; R) được trang bị chuẩn k:k1 và ánh xạ T : E ! E được xác định như sau: 8f 2 E; 8x 2 [0; 1]; (T (f))(x) = xR 0 f(t)dt: Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính kTk. Câu 4. Giả sử f(x; y) = ẵ xy jxj+jyj nếu x 2 + y2 6= 0 0 nếu x2 + y2 = 0 Chứng minh rằng khắp nơi trong hình vuông A = [Ă1; 1]Ê [Ă1; 1] hàm f có các đạo hàm riêng, các đạo hàm riêng này bị chặn trong A nhưng không kh vi tại (0; 0). Câu 5. Giả sử f là một hàm đo được trên đoạn [a; b] và có một số M > 0 và 0 = MjxĂx0jđ với a < x0 < b. Hãy chứng minh f khả tích Lebesgue trên [a; b]. Câu 6. Cho M là một không gian véctơ con của không gian định chuẩn E trên trường â và T là một ánh xạ tuyến tính từ M vào E. Giả sử có một đ 2 â để cho (đId + T ) là một song ánh từ E vào E. và (đId + T )Ă1 liên tục trên E, trong đó ánh xạ Id là ánh xạ đồng nhất. Chứng minh rằng đồ thị của T là một tập đóng trong E Ê E. 1Typeset by Đặng Xuân Cương – Cao học 12 – Giải tích – Đại học Vinh . 6Bộ giáo dục và đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005 Ngành: Toán học Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. 1. Cho k, n là những số nguyên dương lớn hơn 1 và f : Rn ! Rn là một phép biến đổi tuyến tính thoả mãn fk = 0. Đặt g : Rn ! Rn cho bởi g(x) = xĂ f (x); 8x 2 Rn. Chứng minh rằng g là một tự đẳng cấu của Rn. 2. Ký hiệu M(n;R) là không gian tuyến tính các ma trận thực vuông cấp n. Với A = (aij) 2M(n;R) , đặt Tr(A) = nP i=1 aii (vết của ma trận A). a) Chứng minh rằng ánh xạ v : M(n;R)! R2 xác định bởi: v(A) = (Tr(A); a11); 8A = (aij) 2M(n;R) là một ánh xạ tuyến tính. b) Tính sốư chiều của hạt nhân Ker(v). c) Với n = 3 hãy chỉ ra một c sở của không gian Ker(v) và xác định không gian con bù của Ker(v) trong không gian M(n;R). Câu 2. Cho nhóm G với phép toán nhân và A; B là những nhóm con chuẩn tắc của G sao cho A \ B = feg(e là đn vị của nhóm G) và G sinh bởi A [B. 1. Mỗi phần tử x 2 G biểu diễn được dưới dạng x = ab; a 2 A; b 2 B và biểu diễn là duy nhất. 2. G đẳng cấu với nhóm tích trực tiếp AÊ B của hai nhóm A và B. 3. Nếu A và B là những nhóm Cyclic cấp tưng ứng là m và n sao cho (m;n) = 1 thì G là nhóm Cyclic. Câu 3. Cho R là một vành giao hoán có đn vị khác 0. Ideal P 6= R của R được gọi là cực đại nếu R không chứa Ideal Q 6= R nào sao cho P ẵ Q; P 6= Q.Chứng minh các khẳng định sau: 1. Ideal P là cực đại khi và chỉ khi vành thưng R/P là một trường. 2. Vành R chứa ít nhất một Ideal cực đại. 3. Nếu P là Ideal cực đại duy nhất của vành R thì với mỗi phần tử a 2 R phần tử a hoặc 1 - a là kh nghịch. 1Typeset by Đặng Xuân Cương – Cao học 12 – Giải tích – Đại học Vinh .