Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2009 môn thi : toán, khối b,d.ngày thi : 02.03.2009

Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục và Đào tạo ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn thi : TOÁN, khối B,D. Ngày thi : 02.03.2009 Thi thử miễn phí thứ 2;5;CN (sau 12h30) hàng tuần ĐỀ 03 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : 2 3 2 x y x + = − ( )C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2 0x y m− + = cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt mà 2 tiếp tuyến của ( )C tại đó song song với nhau. Câu II: ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình : ( ) ( ) ( )2 22 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0x x x x x+ + + + + + + = 2. Giải phương trình : sin 3 sin2 .sin 4 4 x x x pi pi    − = +        Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân ( ) 2 3 0 sin sin 3 cos x I dx x x pi = + ∫ Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằng a ,góc ở đáy của mặt bên là α . Chứng minh : ( ) ( )3 2 0 02 cos sin 30 sin 30 3 V a α α α= + − . Câu V: ( 1 điểm ) Chứng minh rằng phương trình ( ) ( ) 1ln 1 ln 2 0 2 x x x + − + + = + không có nghiệm thực. II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 1.Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian cho hai tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D , trong đó ( ) ( ) ( ) ( )5;3;1 , 4; 1;3 , 6;2;4 , 2;1;7A B C D− − ( ) ( ) ( )' 6;3; 1 , ' 0;2; 5 , ' 3;4;1 .A B C− − 1. Tìm tọa độ điểm 'D sao cho hai tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D có cùng trọng tâm. 2. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho 3 2MA MB MC MD MA MB− + + = −





















 . Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho ,x y là hai số không âm và thỏa mãn 1x y+ = .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 23 3x yA = + 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho ( )2;5;3A và đường thẳng ( ) 1 2: 2 1 2 x y z d − − = = 1. Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa ( )d sao cho khoảng cách từ Ađến ( )Q lớn nhất. 2. Viết phương trình mặt cầu ( )C có tâm nằm trên đường thẳng ( )d đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) ( ): 3 4 3 0, : 2 2 39 0x y x y zα β+ + = + − + = . Câu VII.b ( 1 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : ( ) 242x xf x + −= GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh Đà Lạt . Đáp án đăng tải tại và một số trang web toán sau 15h cùng ngày . I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : 2 3 2 x y x + = − ( )C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. Học sinh tự làm . 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2 0x y m− + = cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt mà 2 tiếp tuyến của ( )C tại đó song song với nhau. Giả sử ( )d cắt ( )C tại ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y , tiếp tuyến tại ,A B lần lượt có hệ số góc là : ( ) ( )1 21 7 ' , 2 y x x − = − ( ) ( )2 22 7 ' 2 y x x − = − . Đường thẳng ( ) : 2d y x m= + cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt mà 2 tiếp tuyến của ( )C tại đó song song với nhau khi và chỉ khi phương trình : ( )2 3 2 1 2 x x m x + = + − có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa mãn ( ) ( )1 2' 'y x y x= Hay phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khác 2 thỏa mãn ( ) ( ) 1 22 21 2 7 7 4 2 2 x x x x − − = ⇔ + = − − ( ) ( ) ( ) 2 2 6 8 2 3 0 2.2 6 .2 2 3 0 2 6 4 2 m m m m m m  ∆ = − + + >  ⇔ + + − − ≠ ⇔ = −  −  =  Câu II: ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0 1x x x x x+ + + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3 2x x x x f x f x   ⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = −        Xét hàm số ( ) ( )22 3f t t t= + + liên tục trên R Ta có : ( ) ( )2 2 ' 2 3 3 . 0,f t t t t t t R f t= + + + + > ∀ ∈ ⇒ liên tục và đồng biến trên R Khi đó ( ) 12 2 1 3 5 x x x⇔ + = − ⇔ = − . 2. Giải phương trình : sin 3 sin2 .sin 4 4 x x x pi pi    − = +        Đặt : 3 3 sin 3 sin(3 ) sin 3 4 4 4 2 2 sin2 sin 2 sin2 2 2 x t x t t t x x t x t t pi pi pi pi pi pi pi    − = − ⇒ − = − = −      = + ⇒    = − ⇒ = − = −    Phương trình cho viết lại : 3 2sin 3 sin2 .sin 3 sin 4 sin 2 cos .sint t t t t t t= ⇔ − = . Bài toán đến đây khá dễ dàng . Lưu ý trước khi giải bài toán này , ta cần chứng minh 3sin 3 3 sin 4 sint t t= − . Cách khác : Ta có thể dùng trực tiếp khai triển công thức ( )sin sin .sin cos .cosa b a b a b± = ± Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân ( ) 2 3 0 sin sin 3 cos x I dx x x pi = + ∫ Cách 1 : ( ) ( ) 2 2 3 3 0 0 sin 1 cos 6sin 3 cos cos 6 x I dx d x x x x pi pi pi pi    = = − −     + −    ∫ ∫ Cách 2: ( ) ( ) 2 2 3 3 0 0 sin 6 6sin sin 3 cos sin 3 cos x x I dx dx x x x x pi pi pi pi   − −      = = + + ∫ ∫ Cách 3: ( ) 2 3 0 sin sin 3 cos x I dx x x pi = + ∫ , ( ) 2 3 0 cos sin 3 cos x J dx x x pi = + ∫ ( ) 2 0 2 2 0 1 3 t n 4 6 ? 1 3 2 sin 3 cos I J a x I J I x x pi pi pi    + = −     ⇒ =  − + = −  + Cách 4 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 323 0 0 0 0 sin sin t n 1 t n . . t n cossin 3 cos cos t n 3 t n 3 t n 3 x x a x a x I dx dx dx d a x xx x x a x a x a x pi pi pi pi = = = = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Cách 5: Đặt : t n 2 x t a= Cách 6 : Đặt : 6 t x pi = − Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằng a ,góc ở đáy của mặt bên là α . Chứng minh : ( ) ( )3 2 0 02 cos sin 30 sin 30 3 V a α α α= + − . Gọi ,SH SI lần lượt là đường cao, trong đoạn của hình chóp . Theo giả thiết , ta có
;SBC SB aα= = . 2 21 1 3 3. . 3 3 4 12ABC BC V S SH SH BC SH= = = SBI∆ vuông, .cos .cos 2 2. .cosBI SB a BC BI aα α α= = → = = SBH∆ vuông, 2 3 2 3. cos 3 2 3 BC a BH α= = ( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 cos3 4 cos 3 3 a SH SB BH SH a α α − = − = − → = ( ) 3 2 2 2 0 1 cos 3 4 cos 3 1 cos2 1 3 4 cos 3 4 2 cos2 2 cos60 cos2 2 2 V a α α α α α α = −  +  − = − = − = −    ( ) ( )3 2 0 02 cos sin 30 sin 30 3 V a α α α= + − Câu V: ( 1 điểm ) Chứng minh rằng phương trình ( ) ( ) 1ln 1 ln 2 0 2 x x x + − + + = + không có nghiệm thực. Xét hàm số : ( ) ( ) ( ) 1ln 1 ln 2 2 f x x x x = + − + + + , xác định và liên tục trên khoảng ( )1;− +∞ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 1 1 ' 0, 1 1 2 2 1 2 2 f x x f x x x x x x x = − − = − > ∀ > − ⇒ + + + + + + liên tục và đồng biến trên khoảng ( )1;− +∞ và ( ) ( ) 1 lim lim 0 x x f x f x +→ →+∞ = −∞ = , suy ra ( ) 0, 1f x x − . Vậy phương trình cho không có nghiệm thực. II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 1.Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian cho hai tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D , trong đó ( ) ( ) ( ) ( )5;3;1 , 4; 1;3 , 6;2;4 , 2;1;7A B C D− − ( ) ( ) ( )' 6;3; 1 , ' 0;2; 5 , ' 3;4;1 .A B C− − 1. Tìm tọa độ điểm 'D sao cho hai tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D có cùng trọng tâm. Giả sử ( )' '; '; 'D x y z là tọa độ cần tìm và , 'G G lần lượt là trọng tâm của tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên có tọa độ 5 5 15; ; 4 4 4 G       . Theo bài toán hai tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D có cùng trọng tâm, nên 5 5 15' ; ; 4 4 4 G       'G là trọng tâm của tứ diện ' ' ' 'A B C D , nên ta luôn có : ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' 4 4 4 ' 4 ' 4;20 4 20 4 A B C D G D A B C D G D D A B C D G x x x x x x y y y y y y D zz z z z z  + + + =  = − + + +  = ⇔ = − ⇒ − −    =+ + +  =   2. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho 3 2MA MB MC MD MA MB− + + = −





















 . Giả sử tồn tại điểm ( )0 0 0; ;I x y z thỏa mãn hệ thức 3 2 0IA IB IC ID− + + =








  . Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2; 4; 1 1; 4; 1 3 2 3 8;3 10;3 1 2; 4; 3 2; 2; 1 IA x y z IB x y z IA IB IC ID x y z IC x y z ID x y z  = − − +   = − − + ⇒ − + + = − − − = − − −  = − − +

















 Tọa độ điểm ( )0 0 0; ;I x y z thỏa mãn hệ thức 0 0 0 3 8 0 8 10 1 3 2 0 3 10 0 ; ; 3 3 3 3 1 0 x IA IB IC ID y I z  − =    − + + = ⇔ − = ⇔     − = 








  . ( )3 2 3 3 2 3 , .MA MB MC MD MI IA IB IC ID MI I MA MB AB− + + = + − + + = ∀ − =







































 . 1 3 2 3 3 MA MB MC MD MA MB MI AB MI AB− + + = − ⇔ = ⇔ =



























 . Vậy quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm 8 10 1; ; 3 3 3 I       , bán kính 1 1 3 3 R AB= = và có phương trình mặt cầu : 2 2 2 8 10 1 1 3 3 3 9 x y z       − + − + − =            . Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho ,x y là hai số không âm và thỏa mãn 1x y+ = .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 23 3x yA = + 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho ( )2;5;3A và đường thẳng ( ) 1 2: 2 1 2 x y z d − − = = 1. Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa ( )d sao cho khoảng cách từ A đến ( )Q lớn nhất. Giả sử mặt phẳng ( )Q có phương trình dạng : 2 2 20, 0ax by cz d a b c+ + + = + + > . ( )d có vectơ chỉ phương là ( )2;1;2u = và qua điểm ( )1;0;2N , ( )Q có vectơ pháp tuyến là ( ); ; 0n a b c= ≠
  . Mặt phẳng ( )Q chứa ( )d khi ( ) ( ) 2 2 0 122 0 2 d a ba b cn u a ba c dN Q c  = +  + + =⊥   ⇔ ⇔   ++ + =∈ = −  
  . Khoảng cách từ A đến ( )Q : ( )( ) ( ) / 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 2 5 3 2 2 2 A Q a b a b a b a b c d d a b c a b a b  + + + − + + + + +   = = + +  + + + −    do ( )1 Thu gọn rồi chia hai trường hợp : 0b • = , trường hợp này không thỏa đề bài . 0b • ≠ , chia cả tử và mẫu cho b . Khoảng cách từ A đến ( )Q lớn nhất khi 1, 4 1, 3a b c d= = − ⇒ = = − . Mặt phẳng ( ) : 4 3 0Q x y z− + − = . Cách khác ( hay ) Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng ( )d , khi đó ( ) ( )... 3;1;4M d M AM u  ∈ ⇔ ⇔ ⊥



  . Giả sử ( )P là mặt phẳng tùy ý chứa ( )d , khi đó ( )M P∈ .Kẻ ( )AH P⊥ , khi đó AH AM≤ . Mặt phẳng ( )Q chứa ( )d sao cho khoảng cách từ A đến ( )Q lớn nhất chính là mặt phẳng chứa ( )d đồng thời vuông góc với AM . Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 3;1;4 : : 4 3 0 / / 1; 4;1 qua M Q Q x y z vtpt n AM  ⇔ − + − = = −




 . 2. Viết phương trình mặt cầu ( )C có tâm nằm trên đường thẳng ( )d đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) ( ): 3 4 3 0, : 2 2 39 0x y x y zα β+ + = + − + = . Câu VII.b ( 1 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : ( ) 242x xf x + −= GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh –Đà Lạt .