Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi - Năm học 2009-2010 Môn thi toán

Sở giáo dục và đào tạo HảI dương Đề thi chính thức Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trãi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phương trình: 2) Tìm m nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên: Câu II (2.5 điểm): 1) Rút gọn biểu thức: với 2) Cho trước số hữu tỉ m sao cho là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: Câu III (2.0 điểm): 1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết . Chứng minh rằng: là hợp số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Câu IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lượt lấy D, E sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho . Chứng minh rằng: MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK. Câu V (1.0 điểm): Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất. -----------------------Hết----------------------- Họ và tên thí sinh : ......................................................Số báo danh :....................... Chữ kí của giám thị 1 : .............................Chữ kí của giám thị 2:............................ Hướng dẫn chấm Câu Phần nội dung Điểm câu I 2,5 điểm 1) 1,5điểm Từ (2) x 0. Từ đó , thay vào (1) ta có: 0.25 0.25 0.25 Giải ra ta được 0.25 Từ ; 0.25 Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1);; 0.25 2) 1,0điểm Điều kiện để phương trình có nghiệm: 0.25 . Vì (m - 2) > (m - 3) nên: m = 2 hoặc m = 3. 0.25 Khi m = 2 = 0x = -1 (thỏa mãn) Khi m = 3 = 0 x = - 1,5 (loại). 0.25 Vậy m = 2. 0.25 câu II 2,5 điểm 1) 1,5điểm Đặt 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2) 1,0điểm (1) Giả sử có (1) Từ (1), (2) 0.25 Nếu là số hữu tỉ. Trái với giả thiết! 0.25 . Nếu b0 thìlà số hữu tỉ. Trái với giả thiết! . Từ đó ta tìm được c = 0. 0.25 Ngược lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0 0.25 câu III 2 điểm 1) 1,0điểm Theo bài ra f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a nguyên dương. 0.25 Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) 0.25 Ta có f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 0.25 Vì a nguyên dương nên 16a + 2010>1 . Vậy f(7)-f(1) là hợp số 0.25 2) 1,0điểm Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) 0.25 Ta chứng minh được: , 0.25 Mặt khác ta có: 0.25 Dấu “=” xảy ra khi A thuộc đoạn OB hoặc B thuộc đoạn OA .Thử lại x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn OB. Vậy Maxkhi x = 7. 0.25 câuIV 2 điểm 1) 0,75điểm Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp , MCAP nội tiếp . 0.25 Lại có (cùng phụ góc NMP) (1) 0.25 Do DE // NP mặt khác MANP (2) Từ (1), (2) cân tại A MA là trung trực của DE MD = ME 0.25 2) 1,25điểm Do DE//NP nên , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: 0.25 Theo giả thiết Tứ giác MDEK nội tiếp 0.25 Do MA là trung trực của DE 0.25 . 0.25 Vì DM là phân giác của góc CDK, kết hợp với AM là phân giác DABM là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK. 0.25 câu V 1 điểm Không mất tổng quát giả sử:ABAC. Gọi B’ là điểm chính giữa cung Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA 0.25 Ta có: (1) ; (2) (3);Từ (1), (2), (3) 0.25 Hai tam giác A’BB’ và ABB’ bằng nhau Ta có = AB + BC ( B’A + B’C không đổi vì B’, A, C cố định). Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’. 0.25 Hoàn toàn tương tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung thì ta cũng có AD’ + CD’ AD + CD. Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’. Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các cung của đường tròn (O) 0.25 Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải đúng vẫn cho điểm tối đa.