Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Nguyễn Trãi năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán (chuyên)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Kè THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYấN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2012- 2013 Mụn thi: TOÁN (chuyờn) Thời gian làm bài: 150 phỳt Đề thi gồm : 01 trang Cõu I (2,0 điểm) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử . Cho x, y thỏa món . Tớnh giỏ trị của biểu thức . Cõu II ( 2,0 điểm) Giải phương trỡnh . Giải hệ phương trỡnh . Cõu III (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ (n2 + n + 1) khụng chia hết cho 9. Xột phương trỡnh x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của m để phương trỡnh (1) cú nghiệm nguyờn. Cõu IV (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB < AC ngoại tiếp đường trũn tõm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với cỏc cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trờn đoạn CE. Tớnh . Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thỡ tứ giỏc ABHI nội tiếp. Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hỡnh chiếu của N trờn cỏc đường thẳng DE, DF. Xỏc định vị trớ của điểm M để PQ lớn nhất. Cõu V (1,0 điểm) Cho 3 số a, b, c thỏa món . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức . ----------------------------Hết---------------------------- Họ và tờn thớ sinh………………………………. Số bỏo danh………………...……………… Chữ kớ của giỏm thị 1: ……………………… Chữ kớ của giỏm thị 2: …………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG Kè THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYấN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MễN TOÁN (chuyờn) Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG. Thớ sinh làm bài theo cỏch riờng nhưng đỏp ứng được yờu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. Việc chi tiết điểm số (nếu cú) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Cõu Nội dung Điểm Cõu I (2,0đ) 1) 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 2) 1,0 điểm Cú 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu II (1,0đ) 1)1,0 điểm phương trỡnh đó cho tương đương với (1) 0,25 Do 0,25 0,25 x=2 0,25 2)1,0 điểm (Do ) 0,25 Do 0,25 Thay y=-x vào(2) 0,25 Vậy hệ cú nghiệm (x;y;z)=(-2;2;2). 0,25 Cõu III (2,0đ) 1)1,0 điểm Đặt A = n2 + n + 1 do n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k ) 0,25 * n = 3k => A khụng chia hết cho 9 (vỡ A khụng chia hết cho 3) 0,25 * n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 khụng chia hết cho 9. 0,25 * n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 khụng chia hết cho 9 Vậy với mọi số nguyờn n thỡ A = n2 + n + 1 khụng chia hết cho 9. 0,25 2)1,0 điểm Giả sử tồn tại m để phương trình có nghiệm x1, x2 Theo vi-et: (x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m + 3 0,25 Với m. Ta có x1x2 và x1 + x2 mà x1hoặc x2 nguyên và 0,25 Với m = 1; m = 2 thay vào ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm. 0,25 Với m = 3 thay vào phương trình ta được nghiệm của phương trình đã cho là x =1; x = 8 thoả mãn. Vậy m= 3 0,25 Cõu IV (2,0đ) 1) 1,0 điểm Vẽ hỡnh đỳng theo yờu cầu chung của đề 0,25 Gọi K là giao điểm của BO với DF => vuụng tại K 0,25 Cú 0,25 0,25 2) 1,0 điểm Khi AM = AB thỡ vuụng cõn tại A => .Cú => Tứ giỏc BDHF nội tiếp 0,25 => 5 điểm B, D, O, H, F cựng thuộc một đường trũn. 0,25 => => , mà => A, O, H thẳng hàng 0,25 => Tứ giỏc ABHI nội tiếp. 0,25 3) 1,0 điểm Cú tứ giỏc PNQD nội tiếp = > . Tương tự cú => và đồng dạng 0,25 => 0,25 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P F; Q E => DN là đường kớnh của (O) => PQ lớn nhất bằng EF. 0,25 Cỏch xỏc định điểm M : Kẻ đường kớnh DN của (O), BN cắt AC tại M thỡ PQ lớn nhất. 0,25 Cõu V (1,0đ) Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do = >1z yx2 Khi đú A= (x+y+z)()=3+ 0,25 0,25 Đặt = t => Do A 0,25 Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thỡ A=10 nờn giỏ trị lớn nhất của A là 10 0,25