Đề thi tuyển sinh vào 10 của tỉnh Nam Định từ năm 1995 đến 2008 - Môn Toán

Sở giáo dục - đào tạo Nam hà đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 1995 – 1996 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (3 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a/ A = b/ B = c/ C = với x < , x Bài 2 (2,5 điểm) Cho hàm số y = (P) a/ Vẽ đồ thị của hàm số (P). b/ Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt A và B. Khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B. Bài 3 (3 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B (B ạ C) và vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ một dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt đường tròn (O’) tại điểm I. a/ Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao? b/ Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng. c/ Chứng minh rằng MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) và MI2 = MB. MC Bài 4 (1,5 điểm) Giả sử x và y là hai số thoả mãn x > y và xy = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Sở giáo dục - đào tạo Nam hà đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 1996 – 1997 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (3 điểm) Cho hàm số y = . Tìm tập xác định của hàm số. Tính y biết : a) x = 9 ; b) x = Các điểm : A(16 ; 4) và B(16 ; - 4) điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số ? Tại sao ? Không vẽ đồ thị, hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đồ thị hàm số y = x – 6. Bài 2 (1 điểm) Xét phương trình: x2 – 12x + m = 0 (x là ẩn số). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x2 = x12. Bài 3 (5 điểm) Cho đường tròn tâm B bán kính R và đường tròn tâm C bán kính R’ cắt nhau tại A và D. Kẻ các đường kính ABE và ACF. Tính các góc ADE và ADF. Từ đó nhứng minh 3 điểm E, D, F thẳng hàng. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC và N là giao điểm của các đường thẳng AM và EF. Chứng minh tứ giác ABNC là hình bình hành. Trên các nửa đường tròn đường kính ABE và ACF không chứa điểm D ta lần lượt lấy các điểm I và K sao cho góc ABI bằng góc ACK (điểm I không thuộc đường thẳng NB; K không thuộc đường thẳng NC). Chứng minh tam giác BNI bằng tam giác CKN và tam giác NIK là tam giác cân. Giả sử rằng R < R’. Chứng minh AI < AK. Chứng minh MI < MK. Bài 4 (1 điểm) Cho a, b, c là số đo của các góc nhọn thoả mãn: cos2a + cos2b + cos2c ³ 2. Chứng minh: (tg a. tg b. tg c)2 Ê Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 1997 – 1998 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau: x2 – x – 12 = 0; 2) x = Bài 2 (3,5 điểm) Cho parabol y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = 2mx – m2 + 4 1) Tìm hoành độ của các điểm thuộc parabol y = x2 biết tung độ của chúng y = 2) Chứng minh rằng parabol y = x2 và đường thẳng (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm của chúng. Với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 3 (4 điểm) Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H; M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp được trong đường tròn. P là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh: Tứ giác BHCP là hình bình hành. P thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Chứng minh: Chứng minh: Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 1999 – 2000 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức: A = 1) Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa? 2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1,999 Bài 2 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: Bài 3 (2 điểm) Tìm giá trị của a để phương trình: (a2 – a – 3)x2 + (a + 2)x – 3a2 = 0 nhận x = 2 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại của phương trình? Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D không trùng với đỉnh A và B. Đường tròn đường kính BD cắt cạnh BC ở E. Đường thẳng AE cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai là G. Đường thẳng CD cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai là F. Gọi S là giao điểm của các đường thẳng AC và BF. Chứng minh: Đường thẳng AC song song với đường thẳng FG. SA.SC = SB.SF Tia ES là phân giác của góc AEF Bài 5 (1 điểm) Giải phương trình: Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2000 – 2001 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm thoả mãn đẳng thức: A = - a2 Bài 2 (2 điểm) Trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2; 1); N(5; ) và đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Tìm a và b để đường thẳng (d) đi qua các điểm M và N? Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng MN với các trục Ox và Oy. Bài 3 (2 điểm) Cho số nguyên dương gồm 2 chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng của hai chữ số bằng số đã cho, nếu thêm 13 vào tích của hai chữ số sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho. Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác PBC. Gọi A là chân đường cao kẻ từ đỉnh P xuống cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh PB và PC lần lượt ở M và N. Nối N với A cắt đường tròn đường kính BC tại điểm thứ hai là E. Chứng minh bốn điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn ấy? Chứng minh EM vuông góc với BC. Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh : AM.AF = AN.AE Bài 5 (1 điểm) Giả sử n là số tự nhiên. Chứng minh bất đẳng thức: Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2001 – 2002 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: M = với Bài 2 (1,5 điểm) Tìm hai số x và y thoả mãn các điều kiện: Bài 3 (2 điểm) Hai người cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi người làm riêng để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc? Bài 4 (2 điểm) Cho hàm số: y = x2 (P) y =3x + m (d) (x là biến số, m là số cho trước) 1) Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. 2) Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm m để có đẳng thức: y1 + y2 =11y1y2 Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A. Trên cạnh AC lấy điểm M (khác với các điểm A và C). Vẽ đường tròn (O) đường kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn (O). Nối BM và kéo dài cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là S. Chứng minh: Tứ giác ABTM nội tiếp được trong một đường tròn. Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi. Đường thẳng AB song song với đường thẳng ST. Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2002 – 2003 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức: S = , với x > 0; y > 0 và x ạ y a) Rút gọn biểu thức trên. b) Tìm giá trị của x và y để S = 1 Bài 2 (2 điểm) Trên parabol lấy hai điểm A và B. Biết hoành độ của điểm A là xA = -2 và tung độ của điểm B là yB = 8. Viết phương trình đường thẳng AB. Bài 3 (1 điểm) Xác định giá trị của m trong phương trình bậc hai: x2 – 8x + m = 0 để là nghiệm của phương trình. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại ấy? Bài 4 (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD và AB > CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và tại D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của các đường chéo AC và BD. Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp được trong một đường tròn. Chứng minh các đường thẳng EI và AB song song với nhau. Đường thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S. Chứng minh: I là trung điểm của đoạn RS Bài 5 (1 điểm) Tìm tất cả các cặp số (x, y) nghiệm đúng phương trình: (16x4 + 1)(y4 + 1) = 16x2y2 Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2003 – 2004 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (2 điểm). Giải hệ phương trình: Bài 2 (2 điểm) Cho biểu thức P = với x > 0 và x ạ 1 Rút gọn biểu thức P. Tính giá trị của P khi Bài 3 (2 điểm) Cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b. Biết rằng đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và song song với đường thẳng y = - 2x + 2003. a) Tìm a và b. b) Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) của d và parabol Bài 4 (3 điểm) Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn (O), P và Q là các tiếp điểm. Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng AQ tại M. Chứng minh rằng MO = MA Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) cắt các tia AP và AQ tương ứng tại B và C. 1 – Chứng minh rằng AB + AC – BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N. 2 – Chứng minh rằng nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường tròn thì PQ // BC. Bài 5 (1 điểm) Giải phương trình: Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2004 – 2005 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (3 điểm) 1, Đơn giản biểu thức: P = 2, Cho biểu thức: Q = , với x > 0 và x ạ 1 a) Chứng minh Q = b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên? Bài 2 (3 điểm) Cho hệ phương trình: (a là tham số) Giải hệ khi a = 1 Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hệ luôn có nghiệm duy nhất (x, y) sao cho x + y 2 Bài 3 (3 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm phân biệt, chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q. Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh: Tích BM.BN không đổi. Tứ giác MNPQ nội tiếp được trong đường tròn. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R. Bài 4 (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2005 – 2006 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (2 điểm) 1, Tính giá trị của biểu thức: P = 2, Chứng minh: , với a > 0 và b > 0. Bài 2 (3 điểm) Cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình: (P): ; (d): y = mx – m + 2 (m là tham số). Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Giả sử (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Chứng minh rằng: Bài 3 (4 điểm) Cho BC là dây cung cố định của đường tròn tâm O, bán kính R (0 < BC < 2R). A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của ∆ABC cắt nhau tại H (D ẻ BC, E ẻ CA và F ẻ AB). Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong một đường tròn. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2A’O. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích của ∆ABC, 2p là chu vi của ∆DEF. Chứng minh: d // EF. Chứng minh: S = pR. Bài 4 (1 điểm) Giải phương trình: Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2006 – 2007 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức: A = , với x > 0; x ạ 1 và x ạ 4 Rút gọn A Tìm x để A = 0 Bài 2 (3,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình: (P): y = x2 ; (d): y = 2(a – 1)x + 5 – 2a (a là tham số) 1) Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) 2) Chứng minh rằng với mọi a đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. 3) Gọi hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là x1; x2. Tìm a để: x12 + x22 = 6 Bài 3 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N và B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh : Tứ giác IECB nội tiếp. AM2 = AE.AC. AE.AC – AI.IB = AI2 Bài 4 (1 điểm) Cho a ³ 4, b ³ 5, c ³ 6 và a2 + b2 + c2 = 90 Chứng minh: a + b + c ³ 16 Sở giáo dục - đào tạo Nam định đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2007 – 2008 Môn : TOáN Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức: 1, Rút gọn P 2, Tìm x để P > 1. Bài 2 (3 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1), (m là tham số). 1, Giải phương trình (1) với m = -5. 2, Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 phân biệt với mọi m. 3, Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2,). Bài 3 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đường thẳng AB không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A, từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đường tròn (O), (E và F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB; các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OM và OH. 1, Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đường tròn. 2, Chứng minh: OH.OI = OK.OM 2, Chứng minh IA, IB là các tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 4 (1 điểm) Tìm tất cả các cặp số (x ; y) thoả mãn: để x + y là số nguyên.