Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Phan Bội Châu năm học 2010 - 2011

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề thi chính thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (7,0 điểm) Giải phương trình: Giải hệ phương trình: Câu 2. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n để là số chính phương. Câu 3. (4,0 điểm). Cho tam giác ABC và AD là đường phân giác trong. Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N (M, N khác A và D) sao cho . Đường thẳng BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại điểm thứ hai là F. Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng. Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M khác B, C). Đường tròn (O’; R’) tiếp xúc trong với đường tròn (O; R) tại điểm M (với R’ < R). Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt đường tròn (O’; R’) tại điểm thứ hai là D, E, F. Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O’; R’) trong đó I, J, K là các tiếp điểm. Chứng minh DE song song với AB và AI = BJ + CK. Câu 5 (4,0 điểm) a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = . b) Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh rằng trong 2010 điểm đã cho, có thể dựng được một đường tròn đi qua 3 điểm, chứa 1000 điểm và không chứa 1007 điểm còn lại. --------------------------- Hết ---------------------------- Họ và tên thí sinh:.................................................................. Số báo danh:....................... SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2010 - 2011 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: TOÁN ---------------------------------------------- CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 7.0 a 4.0 Đặt 1.0 Phương trình đã cho trở thành ( loại) 1,5 Khi đó V ậy phương trình có nghiệm 1.5 b 3,0 Hệ đã cho trở thành 0,5 Suy ra 0.5 0,5 0.75 Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là: 0.75 2 2.0 Ta có A = 0.25 Với n = 0 thì A = 0 (thỏa mãn) 0.25 Với n0 thì A là số chính phương khi và chỉ khi là số chính phương. 0.25 Khi đó . 0.25 Vì nên 0.5 (thỏa mãn) 0.25 (loại) Vậy 0.25 3 3,0 F B C D N A E M Ta có Vì tứ giác AFBN nội tiếp nên (1) (2) 0.5 0.25 Tương tự (3) 0.5 Theo giả thiết (4) Từ (2), (3), (4) suy ra 1.0 Do đó tứ giác BCEF nội tiếp Suy ra (5) 0.75 Theo giả thiết (6) Từ (1), (5), (6) ta có 0,75 Do đó A, E, F thẳng hàng. 0.25 5 3.0 A B C M E F D I J K x ’ Kẻ tiếp chung Ax của (O) và (O’) tại M Khi đó 0.5 Suy ra (1) 0.25 Ta có 0.5 ( do (1) ) Þ (2) 0,5 Tương tự (3) 0.25 Từ (2), (3) suy ra 0,25 Ta chứng minh được kết quả MA = MB +MC 0.5 Do vậy = 1, từ đó AI = BJ + CK 0.25 5 4.0 a 2.0 Đặt Khi đó P = 0,25 Không mất tính tổng quát, giả sử x là số nằm giữa y và z Khi đó . 0.5 Suy ra Do dó P 0.75 Dấu bằng xảy ra khi hoặc , và các hoán vị. 0.25 Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 0.25 b 2,0 M A B C D Vì các điểm đã cho là hữu hạn nên tồn tại 2 điểm A,B sao cho 2008 điểm còn lại nằm về 1 phía đối với đường thẳng AB. 0,5 Do không có 4 điểm nào cùng nằm trên một đường tròn nên ta có thể đặt tên 2008 điểm còn lại là sao cho 0.5 Vẽ đường tròn đi qua A,B, M1001. 0.5 Khi đó các điểm nằm trong đường tròn này và các điểm còn lại nằm ngoài đường tròn này. 0.5 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.