Đề thi tuyển vào THPT chuyên Toán 10

đề thi tuyển vao thpt chuyên toán Năm học: 2007 – 2008 ( Vòng 2 ) Thời gian làm bài: 150 phút. ------------------------------------------------------------------------------------------------ Bài 1: ( 4 Điểm ) Chứng minh rằng: số là một nghiệm của phương trình x4 – 16x2 + 32 = 0. Giải phương trình: Bài 2: ( 4 Điểm ) Cho x, y, z > 0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Tìm đa thức f(x) và g(x) với các hệ số nguyên sao cho: . Bài 3: ( 4 Điểm ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + xy + y2 = x2y2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì tổng không thể là số nguyên. Bài 4: ( 5 Điểm ) Cho hình vuông ABCD , M là điểm thay đổi trên cạnh BC ( M khác B ) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD ( N khác D ) sao cho BD cắt AN và AM thứ tự tại P và Q. Chứng minh 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M, N thay đổi. Đặt SAPQ= S1; SPQMN= S2 chứng minh không đổi khi M, N thay đổi. Bài 5: ( 2 Điểm ) Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a1, a2 , ., an+2. thoả mãn điều kiện Chứng minh rằng: Luôn tồn tại hai số ai, aj sao cho n < ai – aj < 2n.