Đề thi và đáp án Máy tính cầm tay - Đề 15

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRấN MÁY TÍNH CASIO Quy ước: Khi tớnh gần đỳng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phõn. Bài 1 (5 điểm). Tớnh gần đỳng nghiệm (độ, phỳt, giõy) của phương trỡnh: 4cos2x + 3cosx = -1 Cỏch giải Kết quả Bài 2 (5 điểm). Tớnh gần đỳng giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số: Cỏch giải Kết quả Bài 3 (5 điểm). Tớnh giỏ trị của a, b, c, d nếu đồ thị hàm số đi qua cỏc điểm A, B; f(x) chia cho có sụ́ dư là 1 và chia cho có sụ́ dư là . Kờ́t quả là các phõn sụ́ hoặc hụ̃n sụ́. Cỏch giải Kết quả a = b = c = d = Bài 4 (5 điểm). Cho tam giỏc ABC có các đỉnh , và . a) Tính diợ̀n tích tam giác ABC và bán kính đường tròn nụ̣i tiờ́p tam giác ABC. b) Xác định tõm và tính bán kính đường tròn ngoại tiờ́p tam giác ABC Cỏch giải Kết quả SABC = r R Bài 5 (5 điểm). Tớnh gần đỳng nghiệm của hệ phương trỡnh Cỏch giải Kết quả Bài 6 (5 điểm). Tớnh giỏ trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điờ̉m của đụ̀ thị có hoành đụ̣ . Cỏch giải Kết quả Bài 7 (5 điểm). Cho tứ giỏc ABCD nụ̣i tiờ́p trong đường tròn (O) bán kính R = 4.20 cm, AB = 7,69 cm, BC = 6,94 cm, CD = 3,85 cm. Tìm đụ̣ dài cạnh còn lại và tính diợ̀n tích của tứ giác ABCD. (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phõn) Cỏch giải Kết quả AD Bài 8 (5 điểm). Gọi a và b là hai nghiệm khỏc nhau của phương trỡnh . Xét dãy sụ́: (n là sụ́ nguyờn dương). Tớnh u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9 Lập cụng thức truy hồi tớnh un+1 theo un và un-1. Tính u10 với kờ́t quả chính xác dạng phõn sụ́ hoặc hụ̃n sụ́. Cỏch giải Kết quả a) u1 = , u2= ,u3 = u4 = , u5 = , u6 = u7 = , u8 = , u9 = Bài 9 (5 điểm). Tớnh gần đỳng thờ̉ tích và diện tớch toàn phần của hỡnh chúp đờ̀u S.ABCD với cạnh đỏy AB = 12 dm, góc của mụ̃i cạnh bờn và mặt đáy là . Cỏch giải Kết quả Bài 10 (5 điểm). Tớnh gần đỳng giỏ trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đường tròn và đi qua điờ̉m . Cỏch giải Kết quả CÁCH GIẢI, ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN CHO ĐIỂM Bài Cỏch giải Đỏp số Điểm từng phần Điểm toàn bài 1 Đặt t = cosx thỡ và . Phương trỡnh đó cho chuyển thành phương trỡnh . Giải phương trỡnh này ta được hai nghiệm và Sau đú giải cỏc phương trỡnh và . 2,5 5 2,5 2 Hàm số có tọ̃p xác định: Tớnh đạo hàm của hàm số rồi tỡm nghiệm của đạo hàm. Tớnh giỏ trị của hàm số tại hai nghiệm của đạo hàm. và hàm sụ́ liờn tục trờn R, nờn: và 1,0 1,0 1,5 5 1,5 3 Thay tọa độ của cỏc điểm đó cho vào phương trỡnh , ta được 2 phương trỡnh bậc nhất 4 ẩn, trong đú cú một phương trỡnh cho . Ta có: , từ đó ta có thờm 2 phương trình bậc nhất 4 ẩn. Thay vào 3 phương trỡnh cũn lại, ta được 3 phương trỡnh bậc nhất của cỏc ẩn a, b, c. Giải hệ 3 phương trỡnh đú, ta tỡm được a, b, c. 1 5 1,5 1,5 1 4 a) Tỡm tọa độ cỏc vectơ và Tớnh diện tớch tam giỏc ABC theo cụng thức Bán kính đường tròn nụ̣i tiờ́p tam giác ABC là: (p là nửa chu vi của tam giác) 0,5 0,5 5 1,0 1,0 b) Gọi là tõm đường tròn ngoại tiờ́p tam giác ABC, ta có: IA = IB và IA = IC, nờn tìm được hợ̀ pt. Giải hợ̀ pt ta được tọa đụ̣ tõm của đường tròn (ABC) Bán kính đường tròn: R = IA 1,0 0,5 0,5 5 Đặt và thỡ u , v là nghiệm của hệ phương trỡnh Hệ phương trỡnh đú tương đương với hệ phương trỡnh Từ đú tỡm được u, v rồi tỡm được x, y. 2,5 5 2,5 6 Đường thẳng y = ax + b là tiờ́p tuyờ́n của đụ̀ thị hàm sụ́ nờn a = y'(x0) Tính y0 . Tiờ́p tuyờ́n y = ax + b đi qua điờ̉m nờn: 2,5 5 2,5 7 1 điờ̉m 1 điờ̉m 1 điờ̉m SABCD = 29,64 cm2 1,0 1,0 1,0 2,0 5 8 Gọi a là nghiệm nhỏ của phương trỡnh đó cho thỡ Gán giá trị của a và b cho các biờ́n A và B. 0 STO D, Alpha :, Alpha AD + Alpha BD, ṍn = nhiờ̀u lṍn đờ̉ tìm các giá trị của u1, ...,u9. Dãy sụ́ có tính chṍt qui hụ̀i, nờn: Thay các bụ̣ ba và , ta được hợ̀ phương trình và giải. Tính tay: 2,0 2,0 1,0 5 9 Chỳ ý rằng cỏc mặt bờn của hỡnh chúp đó cho đều là tam giỏc cõn.Góc SAH (H là tõm của đáy) là góc của mụ̃i cọ̃n bờn và đáy: . Tính SH theo a =AB và góc , tính trung đoạn SM, từ đó tính V và Stp. Gán các kờ́t quả trung gian cho các biờ́n. Xác định được góc 1,0 1,0 0,5 1,0 1,5 5 10 Đường thẳng đi qua , nờn (1) Đường tròn có tõm và bán kính R = 4. Đường thẳng d: y = ax + b Đường thẳng d là tiờ́p tuyờ́n của đường tròn nờn khoảng cách từ I đờ́n d bằng bán kính R: (2) Từ (1) và (2) ta tìm được phương trình theo a. Giải ta tìm được 2 giá trị của a ứng với 2 tiờ́p tuyờ́n 2,5 5 2,5 Cộng 50