Đề thi và đáp án tuyển sinh vào 10 THPT Bình Định năm học 2007 – 2008

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2007 – 2008 Thời gian: 120 phút Ngày thi: 25/7/2007 Câu 1: (2 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = b/ Chứng minh đẳng thức: với a 0; a 0 và a b Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0 Câu 3: (2 điểm) Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km, thời gian cả đi và về hết 11 giờ. Hãy tìm vận tốc ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h. Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M không trùng với B và C). Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẽ tử M đến AB và AC, O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng: a/ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn. b/ Tứ giác OPHQ là hình gì? c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (1 điểm) Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: --------------------------------------------------------------------------- ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPTNĂM HỌC 2007 – 2008 Câu 1: a/ A = b/ Với a 0; b 0 và a b, ta có: Câu 2: Ta có: = (-3)2 – 4.1.(-108) = 9 + 432 = 441 > 0 Þ = 21 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = = -12; x2 = = 9 Câu 3: Gọi x (km/h) là vận tốc ca nô khi nước yên lặng (x > 2) Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng: x +2 (km/h) Vận tốc của ca nô khi ngược dòng: x – 2 (km/h) Thời gian ca nô xuôi dòng: (h) Thời gian ca nô ngược dòng: (h) Theo đề bài ta có pt: Û 120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2) Û 11x2 – 240x – 44 = 0; = 1202 + 11.44 = 14400 + 484 = 14884 > 0 Þ = 122 x1 = - (loại); x2 = 22 (TM) Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 22km/h A B C H M P O Q Câu 4: a/ Chứng minh A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn Ta có: = 900 (Gt) Þ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn đường kính AM b/ Tứ giác OPHQ là hình gì? O là trong điểm AM nên O là tâm đường tròn đường kính AM Þ OP = OH = OQ Ta có: = 300 (Vì DABC đều có AH là đường cao) Þ 600 Tương tự ta cũng có được: 600 Þ OPH và OHQ là các tam giác đều bằng nhau. Þ OP = PH = HQ = OQ Þ Tứ giác OPHQ là hình thoi. c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất. Ta có: PQ = OQ = OM = Þ PQ nhỏ nhất Û AM nhỏ nhất Þ AM ^ BC Û M trùng H. Cách 2: Ta có: PQ ≤ OP + OQ = OA + OM = AM Þ PQ nhỏ nhất Û AM nhỏ nhất Þ AM ^ BC Û M trùng H. Câu 5: Ta có: (1) Với a, b > 0 Þ a + b; 2a3 + 3b3; 2b3 + 3a3 > 0 ( 1) Û 4(2a3 + 3b3)(2b3 + 3a3) - (2a2 + 3b2)(a + b)(2b3 + 3a3) - (2b2 + 3a2)(a + b)(2a3 + 3b3) ≥ 0 Û 26a3b3 + 12a6 + 12b6 - 13a2b4 - 13a4b2 - 12ab5 - 12a5b ≥ 0 Û (13a3b3 - 13a2b4) + (13a3b3 - 13a4b2) + (12a6 - 12ab5) + (12b6 - 12a5b) ≥ 0 Û 13a2b2(a-b)(b-a) + 12(a5 – b5)(a- b) ≥ 0 Û 12(a5 – b5)(a- b) - 13a2b2(a-b)2 ≥ 0 Û 12(a – b)2 (a4 + a3 b + a2b2 + ab3 + b4) - 13a2b2(a-b)2 ≥ 0 Û (a-b)2(12a4 + 12a3 b + 12ab3 + 12b4 - a2b2) ≥ 0 (2) Ta có: (a-b)2 ≥ 0 với mọi a, b. Và 12a4 + 12a3 b + 12ab3 + 12b4 - a2b2 > 0 với mọi a, b > 0. Vì: Nếu a = b > 0 Þ a2b2 = a4 0 < a < b Þ a2b2 < ab3 a > b > 0 Þ a2b2 < a3b Do đó (2) ≥ 0 với mọi a, b > 0 Vậy (1) ≥ 0 với mọi a, b > 0, dấu “=” xảy ra Û a = b.