Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hoá năm học 2012 - 2013 môn thi toán

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Môn chung cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài :120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 24 tháng 6 năm 2013 (Đề gồm có 01 trang) Câu 1: (2.0 điểm ) Cho biểu thức : (Với x > 0 ) 1. Rút gọn biểu thức P 2. Tìm giá trị của x để P = 3 Câu 2: (2.0 điểm ) Cho hệ phương trình: 1. Giải hệ phương trình với m = 3 2. Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất thỏa mãn x2 – x – y > 0 Câu 3: (2.0 điểm ) Giải phương trình: Câu 4: . (3.0 điểm ) Cho ba điểm A; B; C phân biệt, thẳng hàng và theo thứ tự đó, sao cho: AB ≠ BC. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC dựng các hình vuông ABDE và BCFK. Gọi I là trung điểm EF, đường thẳng đi qua I và vuông góc với EF cắt đường thẳng BD và AB lần lượt tại M và n. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác AEIN và EMDI là các tứ giác nội tiếp trong đường tròn. 2. ba điểm A; I; D thẳng hàngvà năm điểm B; N; E; N; F cùng nằm trên một đường tròn. 3. Các đường thẳng AK, EF, CD đồng quy. Câu 5: (1 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z t/m: x + y = z = 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của BT: SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Môn chung cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài :120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 24 tháng 6 năm 2013 (Đề gồm có 01 trang) Gợi ý “ĐÁP ÁN” Câu Lời giải Điểm 1 Cho biểu thức : (Với x > 0 ) 1. Rút gọn biểu thức P Với x > 0 ta có 2. Với x > 0, P = 3 (T/m đ/k) 1,0 1.0 2 Cho hệ phương trình: 1. Giải hệ phương trình với m = 3 Thay m = 3 vào hpt ta có: Công vế ta được 10x = 30 Û x = 3 Þ y = 2 Vậy hệ có 1 nghiệm (x;y) = (3;2) 2. Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất thỏa mãn x2 – x – y > 0 Từ (1) Þ x = 3m – my thay vào (2) có: m(3m – my) – y = m2 – 2 Û3m2 - m2 y – y = m2 – 2 Û Þ x = m Þ hệ có 1 nghiệm duy nhất (x;y) = (m;2) thay vào x2 – x – y > 0 ta có: m2 – m – 2 > 0 Û m 2 Hệ PT có 1 nghiệm ! t/m x2 – x – y > 0 khi m 2 1.0 0.5 0.5 3 Giải phương trình: ĐK: x ≠ ± 2 Đặt Với a = b ta có (T/m đ/k) Với a = 3b ta có (T/m đ/k) Vậy PT có 3 nghiệm 1.0 1.0 4 1. Tứ giác AEIN và EMDI là các tứ giác nội tiếp trong đường tròn. 2. ba điểm A; I; D thẳng hàngvà năm điểm B; N; E; N; F cùng nằm trên một đường tròn. ∆EBF vuông tại B có BI là trung tuyến Þ BI = ½ EF Þ IB = IE Ta lại có: AE = AB và DE = DB Þ A; D; I cùng thuộc đường trung trực của [EB] Þ A; D; I thẳng hàng. □AEIN nt Þ ÐIEN = ÐIAN = 45o, Þ ∆IEN cân Þ IE = IN C/m tương tự có IE = IM. Theo c/m trên có IB = IE Þ 5 điểm B; E; M; F; N cùng nằm trên đường tròn tâm I 3. Các đường thẳng AK, EF, CD đồng quy. C1, C/m □EDCN và □AEMK là hình bình hành và khoảng cách giữa DC và EN bằng khoảng cách giữa AK và EM Þ Giao điểm H của DC và AK cách đều EN và EM Þ H Îtia p/g của góc MEN Þ H ÎEF. Vậy ba đường thẳng AK; EF và CD đồng quy. C1, Gọi giao điểm của AK và CD là H. C/m □EDCN và □AEMK là hình bình hành Þ CD ^ AK. E và H cùng Î đường tròn đường kính AD. □AEHD nt Þ Ð DHx = ÐDAE = 45o. ÐHEN = ÐxHD (đ/v) Þ ÐEHN = 45o, Mà ÐFEN = 45o Þ EH ≡ EF Hay ba điểm E; H; F thẳng hàng tức ba đường thẳng AK; EF và CD đồng quy. 1,0 0,5 0,5 1,0 5 Cho ba số thực dương x, y, z t/m: x + y = z = 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của BT: C1. Ta có: Áp dung BĐT Co-Si cho 3 số dương ta có: C/m tương tự ta có: Cộng vế ta được với " x; y; z dương t/m x + y = z = 9, dấu bằng xảy ra Û x = y = z = 3 Vậy GTNN của Bt S là 3 đạt tại x = y = z = 3 C2, Ta có: Mà mà tương tự Cộng vế ta có: 2S dấu = xảy ra khi x = y = z = 3 1.0 1.0