Đề và đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn thi giải toán trên máy tính cầm tay mã đề 11

Phßng GD & §T Ninh giang Tr­êng THCS an ®øc M· ®Ò: 11 K× thi chän häc sinh giái líp 9 M«n thi: Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay Thêi gian 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Đề bài Bài toán 1. Tìm 2 chữ số tận cùng của số A = 20072008 + 20082009 Bài toán 2: Tìm số dư trong phép chia số: 17762010 cho 2000 Bài toán 3: Tìm số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 Bài toán 4: Tìm 2 chữ số tận cùng của Tổng 39999 + 29999 Bài toán 5: Cho dãy số U0 = 1; U1 = 9; Un= 10Un-1- Un-2 (n ÎN, n ³ ) 1. Tính U6; U7; U8; U9; U10. 2. Chứng minh rằng: " k Î IN, k ³ 1 thì: Uk2 + U2k+1 - 10Uk . Uk-1 = -8 Bài toán 6: Cho Un = n 1. Tính U9 , U11 , U13 , U15 , U17 của dãy số trên. 2. Tìm số dư trong phép chia (U17)2008 cho 49 Bài toán 7: Cho dãy số = (5+2)n + (5 - 2)n Với n = 1, 2, 3 .. 1. Tính 5 số hạng đầu của dãy. 2. Chứng minh rằng; Un+2 = 10Un+1 - Un. Bài8. Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d. Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480. 1. Tìm các hệ số b , c, d , của f(x). 2. Tìm hệ số của x2 trong phép chia f(x) cho x + 3. Bài 9. Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4 1. T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị : -; ; 1; -. 2. Trong trường hợp x là một số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x) 16. Bài 10. Cho đa thức f(x) = x5 + x3 + x + 2008 1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; -; . 2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên. Bài 11 Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x . 1. Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6 2. Với m vừa tìm được ở câu 1. T ính giá trị của đa thức khi cho: x = + Đáp án Thang điểm Bài toán 1. 1. Ta tìm 2 chữ số tận cùng của 20072008 = 20078 . 20072000 20072 º 49(mod 100) Þ(20072)4 º 494(mod 100) º 01(mod 100) 20072000 = (20078)250 º 01(mod 100) Vậy: 20072008 º 01(mod 100) 2. Tìm 2 chữ số tận cùng của 20082009 Ta có: 20082009 = 2008 . 20088 . 20082000 * 20082 º 64(mod 100) Þ(20082)4 º 644(mod 100) º 16(mod 100) 20088 º 16(mod 100) Þ(20088)5 º 165(mod 100) º 76(mod 100) * 200840 º 76(mod 100) do đó: 20082000 º 76(mod 100) Þ20088 .20082000º 16.76(mod 100) º 16(mod 100) Do đó: 2008 . 20082008 º 2008.16(mod 100) º 28(mod 100) Vậy A có 2 chữ số tận cùng là 29 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài toán 2. 17761 º 1776(mod 2000) 17762 º 176(mod 2000) 17763 º 576(mod 2000) 17764 = (17762)2 º 976(mod 2000) 17765 = 17762 . 17763 º 176 . 576(mod 2000) º 1376(mod 2000) 17766= 1776 . 17765 º 176 . 1736(mod 2000) º 1776(mod 2000) 17767 º 976(mod 2000) Vậy chu kỳ được lặp lại sau 5 bước mà: 2010 = 5 . 402 có dạng 5k. Do đó số 17762010 chia 2000 cho số dư là 1376. 1.0 1.0 0.5 Bài toán 3. * Ta t ìm số dư khi chia 182008 cho 49 Ta có: 182008 = 18.182007 = (183)669 . 18 183 º 1(mod 49) Þ (183)669 º 1(mod 49) 18. (183)669 º 18(mod 49) * Ta tìm số dư khi chia 82009 chia cho 49 Ta có 82009 = (87)287 87 º 1(mod 49) Þ (87)287 º 01(mod 49) Kết luận: Vậy số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 là 19. 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 Bài toán 4 Học sinh tính đúng kết quả cho 2.5 đ U6 U7 U8 U9 U10 854569 8459361 83739041 828931049 8205571449 * Un = 10.Un-1- Un-2 Û Un - 5Un-1 = 5Un-1- Un-2 Þ(Un - 5Un-1)2 = (5Un-1- Un-2)2 Û Un2 - 10Un. Un-1 = -10Un-1. Un-2 + U2n-2 Thay n lần lượt bằng 2, 3, 4, ,k ta được U22 - 10U2. U1 = -10U1. U0 + U20 U32 - 10U3. U2 = -10U2. U1 + U21 U42 - 10U4. U3 = -10U3. U2 + U22  Uk-12 - 10Uk-1. Uk-2 = -10Uk-2. Uk-3 + U2k-3 Uk2 - 10Uk. Uk-1 = -10Uk-1. Uk-2 + U2k-2 Cộng vế theo vế ta được: Uk2 + U2k+1 - 10Uk . Uk-1 = -8 2.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài toán 5: * Có 39999 = 320.499.319 319 = 1162261467 º 67(mod 100) 320 = 3486784401 º 01(mod 100) Þ (320)499 º 01(mod 100) Do đó (320)499.319 º 67(mod 100) * Có 29999 = 220.499.219 219 = 524288 º 88(mod 100) 220 = 1048576 º 76(mod 100) Þ (220)499 º 76(mod 100) Do đó (220)499.219 º 76.88(mod 100) º 88(mod 100) Þ39999 + 29999 º (67+88)(mod 100) = 55(mod 100) Vậy chữ số tận cùng của tổng là 55 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài toán 6. 1. U9 U11 U13 U15 U17 34 89 233 610 1597 2.Ta tìm số dư khi chia 15972008 cho 49 Ta có: 1597 º 29(mod 49) Suy ra 15972008 º 292008 (mod 49) 292008 = (294 )502 294 º 15(mod 49) Þ (294 )502 º 15502 (mod 49) 15502 º (157)71. 155 Có 157 º 1(mod 49) Þ (157)71º 1(mod 49) 155 º 22( mod 49) Nên (157)71. 155 º 22( mod 49) Kết luận: Vậy số dư khi chia số 15972008 cho 49 là 22. 2.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 7. Tính đúng và điền KQ vào từng ô U1 U2 U3 U4 U5 10 98 970 9602 95050 Giả sử Un+2 = aUn+1 + bUn Thay n=1 ta được: U3 = aU2+bU1 hay 970 = a.98+b10 Thay n=2 ta được: U4 = aU3+bU2 hay 9602 = a.970+b98 Giải hệ ta được: a = 10 b = -1 V ậy: Un+2 = 10Un+1 - Un. 2.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC Bài 1. Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d. Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480. 1. Tìm các hệ số b , c, d , của f(x). 2. Tìm hệ số của x2 trong phép chia f(x) cho x + 3. Bài 2. Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4 1. T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị : -; ; 1; -. 2. Trong trường hợp x là một số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x) 16. Bài 3. Cho đa thức f(x) = x5 + x3 + x + 2008 1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; -; . 2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên. Bài 4. Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x . 1. Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6 2. Với m vừa tìm được ở câu 1. T ính giá trị của đa thức khi cho: x = + ĐÁP ÁN BÀI TẬP VỀ ĐA THỨC Bài 1. Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d. Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480. 1. Tìm các hệ số b , c, d , của f(x). 2. Tìm hệ số của x2 trong phép chia f(x) cho x + 3 1. Theo bài ra ta có: f(1) = 2 + 1 + b + c + d = - 18 f(2) = 64 + 8 + 4b + 2c + + d f(3) = 486 + 27 + 9b + 3c + d Tức là ta có hệ: Gi ải hệ pt trên ta được: b= -2; c=2; d=- 15 Vậy f(x) = 2x5 + x3 - 3x2 - 2x - 15 2. Dùng lược đồ hoocne chia f(x) cho x+3 ta đ ược: F(x) = (x+3)(2x4 - x3 + x2 - 60x + 182) - 561 Vậy hệ số của x2 trong phép chia trên là 1. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2.0 0.5 Bài 2. Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4 1. T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị : -, , 1, -. 2. Trong trường hợp x là một số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x) 16. 1.HS tính đúng và điền kết quả vào bảng: (2.5đ)( Mỗi ý đúng cho 0.5 đ) 1 -. Bài 3. Cho đa thức f(x) = x5 + x3 + x + 2008 1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; -; . 2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên. HD 1.HS tính đúng và điền kết quả vào bảng: (2.5đ)( Mỗi ý đúng cho 0.5 đ) 2 -1 3 - 2. f(x) = x5 + x3 + x + 2008 Đặt A = x5 + x3 + x Ta CM: A là một số nguyên với mọi x nguyên dương từ đó f(x) là một số nguyên. Thật vậy: A = x5 + x3 + x = x5 + x3 + x - =x5 + x3 + x - x -x - + x Ta CM x5 - x Chia hết cho 5; x3 - x chia hết cho 3. thật vậy: x5 - x = x(x4 - 1)= x(x2 - 1)(x2 + 1) =x(x2 - 1)(x2 - 4 + 5) = x(x2 - 1)(x2 - 4) + 5x(x2 - 1) (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) + 5(x-1)x(x+1) (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5. nên nguyên 5(x-1)x(x+1) chi hết cho 5 x3 - x = x(x2-1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 nên nguyên Vậy bài toán CM xong. 1.0 0.5 0.5 Bài 4 Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x . 1. Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6 2. Với m vừa tìm được ở câu 1. T ính giá trị của đa thức P(x) = f(x) + m khi cho: x = + 1. f(x) + m chia hết cho x+6 nên f(x) + m viết được dưới d ạng f(x) + m = Q(x)(x+6) do đ ó f(-6) + m = 0 m = - f(-6) HS lập quy trình tính đ úng k ết quả m = - f(-6) = - (- 642)= 642 2. Với m = 642 ta được đa thức P(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x + 642 Học sinh tính được x = 1. Thay x = 1 vào và tính đ úng P(1) = 665 0.5 0.5 1.5 0.5 1 1